会计学1教育教育(jiàoyù)统计学第三章统计学第三章第一页，共44页 一、算术平均数的概念一、算术平均数的概念一、算术平均数的概念一、算术平均数的概念算术平均数是一组同质算术平均数是一组同质算术平均数是一组同质算术平均数是一组同质(tónɡ zhì)(tónɡ zhì)数数数数据值的总和除以数据总个数所得的商简据值的总和除以数据总个数所得的商简据值的总和除以数据总个数所得的商简据值的总和除以数据总个数所得的商简称平均数、均数或均值，用称平均数、均数或均值，用称平均数、均数或均值，用称平均数、均数或均值，用 （读（读（读（读X X杠）杠）杠）杠）表示 （（3.1））第一节第一节 算术算术(suànshù)平均数平均数二、算术二、算术(suànshù)平均数的计算方法平均数的计算方法 1.原始数据计算法原始数据计算法第1页/共43页第二页，共44页 例例1 某班选八名同学参加年级某班选八名同学参加年级(niánjí)数学竞赛，成绩分别为数学竞赛，成绩分别为82，，90，，95，，88，，90，，94，，80，，93求其平均成绩其平均成绩解：把解：把n=8，，X1=82,…,X8=93代代入公式（入公式（3.1），得），得第2页/共43页第三页，共44页。
2.频数分布频数分布(fēnbù)表计表计算法算法 （3.2）用下列公式计算：用下列公式计算：为第一组到第为第一组到第K组的组中值组的组中值各组组中值与频数乘积之和各组组中值与频数乘积之和为频数总和为频数总和例例2：：P26第3页/共43页第四页，共44页 例例3 某年级四个班的学生人数某年级四个班的学生人数分别分别(fēnbié)为为50人，人，52人，人，48人，人，51人，期末数学考试各班的平均成人，期末数学考试各班的平均成绩分别绩分别(fēnbié)为为90分，分，85分，分，88分，分，92分，求年级的平均成绩分，求年级的平均成绩解：由公式解：由公式(gōngshì)（（3.2）得）得第4页/共43页第五页，共44页 例4 某班50人外语期末考试成绩的次数(cìshù)分布如下，求全班学生的平均成绩表表3-1 某班某班50人外语成绩次数人外语成绩次数(cìshù)分布表分布表第5页/共43页第六页，共44页 解：将表中数据解：将表中数据(shùjù)代入公式（代入公式（3.2），），得得 说明：利用次数分布求得的算术说明：利用次数分布求得的算术(suànshù)平均数是一个近似值。
因为我们先假设组内的数据是均匀分布的，利用各组中值分别代表各组数据，这显然与实际不符，把这一误差叫分组误差平均数是一个近似值因为我们先假设组内的数据是均匀分布的，利用各组中值分别代表各组数据，这显然与实际不符，把这一误差叫分组误差(P26)第6页/共43页第七页，共44页 三、算数三、算数(suàn shù)平均数的应用及其平均数的应用及其优缺点优缺点1、算术平均数具备一个良好的集中量所应具备的一些、算术平均数具备一个良好的集中量所应具备的一些条件条件 （（1）反应灵敏）反应灵敏 （（2）严密）严密(yánmì)确定确定 （（3）简明易懂，计算方便）简明易懂，计算方便 （（4）适合代数运算）适合代数运算 （（5）受抽样变动的影响较小）受抽样变动的影响较小第7页/共43页第八页，共44页 2、算术平均数的优点、算术平均数的优点 （（1）只知一组观测值的总和及总频数即可求出；）只知一组观测值的总和及总频数即可求出； （（2）用加权法可以求出几个平均数的总平均数；）用加权法可以求出几个平均数的总平均数； （（3）用样本数据推断总体集中量时，算术平均数最接）用样本数据推断总体集中量时，算术平均数最接近总体集中量的真值，它是总体平均数的最好估计值；近总体集中量的真值，它是总体平均数的最好估计值； （（4）在计算方差、标准差、相关系数以及进行）在计算方差、标准差、相关系数以及进行(jìnxíng)统计推断时，都要用到它。
统计推断时，都要用到它 3、算术平均数的缺点、算术平均数的缺点 （（1）易受两极端数值的影响）易受两极端数值的影响(yǐngxiǎng)；； （（2）有个别数据模糊不清时，无法计算）有个别数据模糊不清时，无法计算 综上知，算术平均数的适用条件是：一组数据中综上知，算术平均数的适用条件是：一组数据中所有数据都比较准确、可靠；无两极端所有数据都比较准确、可靠；无两极端(jíduān)数值数值的影响第8页/共43页第九页，共44页 一、中位数的概念及适用一、中位数的概念及适用(shìyòng)(shìyòng)条件条件1. 1. 概念概念中位数是位于一组有序数据中间位置的中位数是位于一组有序数据中间位置的量数也称中数，用量数也称中数，用MdMd表示它是将一组表示它是将一组有序数据的个数分为相等两部分的那个数有序数据的个数分为相等两部分的那个数据，它可能是原始数据中的一个，也可能据，它可能是原始数据中的一个，也可能是通过计算得到的一个数是通过计算得到的一个数第二第二节 中位数中位数第9页/共43页第十页，共44页 2. 适用条件适用条件(tiáojiàn)(1) 当一组数据有极端值出当一组数据有极端值出现时。
现时2) 当一组有序数据两端有当一组有序数据两端有个别数据模糊不清或分组资料个别数据模糊不清或分组资料有不确定组限时有不确定组限时3) 当需要快速估计一组数当需要快速估计一组数据的代表值时据的代表值时第10页/共43页第十一页，共44页 二、中位数的计算方法二、中位数的计算方法1. 原始数据计算法原始数据计算法 一组数据未分组，先排序一组数据未分组，先排序(pái xù)，中位，中位数取决于数据的个数是奇数还是偶数数取决于数据的个数是奇数还是偶数 当数据的个数为奇数时，则以第当数据的个数为奇数时，则以第（（N+1））/2个位置上的数据作为中位数当数个位置上的数据作为中位数当数据的个数为偶数时，则取居中间的两个数据的据的个数为偶数时，则取居中间的两个数据的平均数为中位数即取第（平均数为中位数即取第（N+1））/2处作为中处作为中位数的位置，其位置左右两数据的平均值即为位数的位置，其位置左右两数据的平均值即为中位数第11页/共43页第十二页，共44页 例如求例如求例如求例如求8080，，，，9393，，，，9090，，，，8181，，，，8585，，，，8888，，，，9292，，，，8484的的的的中位数。
中位数 先排序：先排序：先排序：先排序： 80 80，，，，8181，，，，8484，，，，8585，，，，8888，，，，9090，，，，9292，，，，9393 再求再求再求再求(N+1)/2=4.5(N+1)/2=4.5，这说明中位数的位置，这说明中位数的位置，这说明中位数的位置，这说明中位数的位置(wèi zhi)(wèi zhi)在第四个和第五个数的中间，即在第四个和第五个数的中间，即在第四个和第五个数的中间，即在第四个和第五个数的中间，即 Md=(85+88)/2=86.5 Md=(85+88)/2=86.5第12页/共43页第十三页，共44页 （二）频数分布（二）频数分布(fēnbù)表计算法表计算法 对分组数据常将对分组数据常将n/2位置对应的数位置对应的数据看成中位数据看成中位数计算公式为：计算公式为：（（3.3））（由小向大计算）（由小向大计算）—中位数所在组的下限中位数所在组的下限—总频数总频数—小于中位数所在组下限的频数总和小于中位数所在组下限的频数总和—频数分布表上的组距频数分布表上的组距—中位数所在组的频数中位数所在组的频数第13页/共43页第十四页，共44页。
（（3.4））（由大向小计算）（由大向小计算）—中位数所在组的上限中位数所在组的上限—总频数总频数—大于中位数所在组上限的频数总和大于中位数所在组上限的频数总和—频数分布表上的组距频数分布表上的组距—中位数所在组的频数中位数所在组的频数以表以表3-2为例，说明为例，说明(shuōmíng)中位数的计算中位数的计算.第14页/共43页第十五页，共44页 表表3-2 48个学生数学个学生数学(shùxué)成绩频数分布表成绩频数分布表第15页/共43页第十六页，共44页 第16页/共43页第十七页，共44页 2. 百分位数的计算方法百分位数的计算方法 在频数在频数(pín shù)分布表上用内插法计算百分位数，分布表上用内插法计算百分位数，计算公式为计算公式为 三、百分位数的概念及其计算方法三、百分位数的概念及其计算方法 1. 百分位数的概念百分位数的概念 百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据(shùjù)中某一百分位置的数值一般用中某一百分位置的数值一般用Pp表示 如第如第70百分位数（百分位数（P70）就是依从小到大排）就是依从小到大排列的一组数据列的一组数据(shùjù)中小于此数值有中小于此数值有70%个频个频数，大于此数值有数，大于此数值有30%个频数的那个数值。
个频数的那个数值 中位数就是第中位数就是第50百分位数百分位数第17页/共43页第十八页，共44页 （（3.5））——百分位数百分位数——与百分位数相对应的比数与百分位数相对应的比数——总频数总频数——百分位数所在组的下限百分位数所在组的下限——小于百分位数所在组下限的频数总和小于百分位数所在组下限的频数总和——百分位数所在组的频数百分位数所在组的频数——组距组距例如例如(lìrú)表表3—2资料的第资料的第30百分位数百分位数Pp=P30=74第18页/共43页第十九页，共44页 表表3-2 48个学生个学生(xué sheng)数学成绩频数分布表数学成绩频数分布表第19页/共43页第二十页，共44页 第三节第三节 众众 数数 一、众数的概念（用一、众数的概念（用Mo表示）表示） 1.理论众数：与频率分布曲线最高点相对应理论众数：与频率分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点的横坐标上的一点 2.粗略众数：一组数据中频数粗略众数：一组数据中频数(pín shù)出现出现最多的那个数最多的那个数 实际中，一般求理论众数的近似值，或直接实际中，一般求理论众数的近似值，或直接寻找粗略众数。
寻找粗略众数 二、众数的计算方法二、众数的计算方法 1.用观察法直接寻找粗略用观察法直接寻找粗略(cūlüè)众数众数 在一组原始数据中，频数出现最多的那个在一组原始数据中，频数出现最多的那个数值就是众数数值就是众数 第20页/共43页第二十一页，共44页 例如例如(lìrú)：：2、、4、、3、、6、、4、、5、、4 在频数分布在频数分布(fēnbù)表中，频数最多一组的组中表中，频数最多一组的组中值就是粗略众数例如下表的数据的粗略众数为值就是粗略众数例如下表的数据的粗略众数为Mo=77.5 表表3.3 50个学生语文个学生语文(yǔwén)分数的频数分布表分数的频数分布表第21页/共43页第二十二页，共44页 2.用公式求理论众数的近似值用公式求理论众数的近似值 （（1）皮尔逊的经验法）皮尔逊的经验法 只有当频数分布呈正态或接近只有当频数分布呈正态或接近(jiējìn)正态时，才能使正态时，才能使用表表3.3 50个学生语文个学生语文(yǔwén)分数的频数分布表分数的频数分布表第22页/共43页第二十三页，共44页。
（（1）金氏插补法）金氏插补法 当频数分布呈偏态，即众数所在组以上各组频数总当频数分布呈偏态，即众数所在组以上各组频数总和相差和相差(xiānɡ chà)较多时，可以使用金氏插补法较多时，可以使用金氏插补法——众数所在组的下限众数所在组的下限——大于众数所在组上限那个相邻组的频数大于众数所在组上限那个相邻组的频数——小于众数所在组下限那个相邻组的频数小于众数所在组下限那个相邻组的频数——组距组距例如例如(lìrú)：下表数据：下表数据第23页/共43页第二十四页，共44页 表表3.4 66个学生作文个学生作文(zuò wén)分数的频数分布表分数的频数分布表第24页/共43页第二十五页，共44页 二、众数的应用及其优缺点二、众数的应用及其优缺点 众数虽然简明易懂，较少受两极端数值的众数虽然简明易懂，较少受两极端数值的影响，但它并不具备一个良好集中量数的基影响，但它并不具备一个良好集中量数的基本条件如极不准确、稳定，反应不灵敏，本条件如极不准确、稳定，反应不灵敏，不适合代数不适合代数(dàishù)运算，受抽样的影响较运算，受抽样的影响较大等。
因此，在一般情况下，众数应用也不大等因此，在一般情况下，众数应用也不广泛，但在一些特殊情况下也常有应用广泛，但在一些特殊情况下也常有应用 众数适用的情况众数适用的情况 （（1）当需要快速而粗略地寻求一组数据）当需要快速而粗略地寻求一组数据的代表值时；的代表值时； （（2）当一组数据出现不同质的情况时；）当一组数据出现不同质的情况时； （（3）当次数分布中有两极端的数目时；）当次数分布中有两极端的数目时； （（4）当粗略估计次数分布的形态时当粗略估计次数分布的形态时第25页/共43页第二十六页，共44页 1.1.当次数分布呈正态时：当次数分布呈正态时：2.2.当次数分布呈正偏态时：当次数分布呈正偏态时： 且 且 3.3.当次数分布呈负偏态时： 当次数分布呈负偏态时： 且 且 四、算术平均数、中位数、众数四、算术平均数、中位数、众数(zhònɡ shù)三者的关系三者的关系第26页/共43页第二十七页，共44页。
补充：平均数、中位数与众数的比较补充：平均数、中位数与众数的比较(bǐjiào)1.从对数据次数分布形态的适用性来看从对数据次数分布形态的适用性来看对称分布：平均数对称分布：平均数非对称分布：中位数、众数非对称分布：中位数、众数2.从计算的精确性看从计算的精确性看平均数最精确、中位数次之、众数最差平均数最精确、中位数次之、众数最差3.从对统计分析的适用性看从对统计分析的适用性看平均数既可作描述统计量，又可作推论统计平均数既可作描述统计量，又可作推论统计量中位数与众数常用作描述统计量中位数与众数常用作描述统计量第27页/共43页第二十八页，共44页 第28页/共43页第二十九页，共44页 第四节第四节 加权平均数、几何加权平均数、几何(jǐ hé)平均数、调和平均平均数、调和平均数数一、加权平均数l l 加权平均数的概念加权平均数的概念加权平均数的概念加权平均数的概念 加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，加权平均数是不同比重数据（或平均数）的平均数，用 用 用 用 或或或或 表示。
表示l l 加权平均数的计算方法加权平均数的计算方法加权平均数的计算方法加权平均数的计算方法一一一一 式中 为权数式中 为权数式中 为权数式中 为权数l l 加权平均数的应用加权平均数的应用加权平均数的应用加权平均数的应用l l 当测量所得 当测量所得 当测量所得 当测量所得(suǒ dé)(suǒ dé)的数据，其单位权重并不相等时，要的数据，其单位权重并不相等时，要的数据，其单位权重并不相等时，要的数据，其单位权重并不相等时，要用加权平均数来求平均数用加权平均数来求平均数用加权平均数来求平均数用加权平均数来求平均数第29页/共43页第三十页，共44页 例如，一个学生某门学科期中测验成绩为例如，一个学生某门学科期中测验成绩为72分，期末分，期末(qī mò)测验成绩为测验成绩为86分，而期中与期末分，而期中与期末(qī mò)分数之比为分数之比为4:6，求，求此门课程学期总平均成绩此门课程学期总平均成绩l l 加权平均数的计算方法加权平均数的计算方法加权平均数的计算方法加权平均数的计算方法二二二二 例如例如(lìrú)，小学三年级英语测验，甲班，小学三年级英语测验，甲班32人平均分人平均分72.6，，乙班乙班40人平均分为人平均分为80.2，丙班，丙班36人平均分为人平均分为75，求全年级英语，求全年级英语测验总平均分数。
测验总平均分数第30页/共43页第三十一页，共44页 二、几何平均数二、几何平均数二、几何平均数二、几何平均数 （一）概念（一）概念（一）概念（一）概念(gàiniàn)(gàiniàn) 它是它是它是它是n n个数值连乘积的个数值连乘积的个数值连乘积的个数值连乘积的n n次方根，用符号次方根，用符号次方根，用符号次方根，用符号 表示表示表示表示, ,计算公式为计算公式为计算公式为计算公式为（二）应用时机（二）应用时机1、求一组等比或近似等比数据的平均数时求一组等比或近似等比数据的平均数时2、一组数据中，有少数偏大或偏小的数据，、一组数据中，有少数偏大或偏小的数据，数据分布呈现偏态，求平均数时数据分布呈现偏态，求平均数时3、在教育上，主要应用几何、在教育上，主要应用几何(jǐ hé)平均数求平均数求平均发展速度或对某项目标进行预测估计平均发展速度或对某项目标进行预测估计第31页/共43页第三十二页，共44页 例例6 求求2，，8，，32，，125，，502的几何平均数的几何平均数解：由于这组数属于近似解：由于这组数属于近似(jìn sì)等比数列，直接利用公式，得等比数列，直接利用公式，得=31.72第32页/共43页第三十三页，共44页。
例例7 已知某校四年中各年度的学已知某校四年中各年度的学生人数分别为上一年的生人数分别为上一年的1.12倍，倍，1.09倍，倍，1.08倍和倍和1.06倍，求每年倍，求每年(měinián)的平均增长率的平均增长率解：先求出平均解：先求出平均(píngjūn)发展速度发展速度 然后然后(ránhòu)用公式：平均增长率用公式：平均增长率=平均发平均发展速度展速度-1，求出年平均增长率求出年平均增长率平均增长率平均增长率=1.09-1=0.09故所求的年平均增长率为故所求的年平均增长率为9%第33页/共43页第三十四页，共44页 l只用首末项求几何平均数只用首末项求几何平均数l设设a0,a1,…,an是是n个年度个年度中各年度某种数量值，其中中各年度某种数量值，其中(qízhōng)a0是初期量，是初期量， an是末期是末期量X1,X2,…,Xn为各年度发展速为各年度发展速度，即度，即l （3.6）第34页/共43页第三十五页，共44页 例例8 某重点高中某重点高中1994-1999年招年招收新生人数收新生人数(rén shù)如下表，求年如下表，求年平均增长率。
平均增长率表表3-2 某高中某高中(gāozhōng)招生人数统计表招生人数统计表解：由于解：由于(yóuyú)a0=594,an=700,n=5, 所以年平所以年平均发展速度为均发展速度为 故年平均增长率为（故年平均增长率为（10.3-1)*100%=3%第35页/共43页第三十六页，共44页 例例9 某校办工厂在某校办工厂在1984年创产年创产值值10万元，该厂计划万元，该厂计划(jìhuà)以年平以年平均增长率为均增长率为5%的速度递增，试估计的速度递增，试估计到到2004年该厂可创产值多少万元年该厂可创产值多少万元解：解： an=a0(1+平均平均(píngjūn)增长率增长率)n =10×（（1+0.05））20=26.53（万元）（万元）第36页/共43页第三十七页，共44页 l调和平均数的应用调和平均数的应用l 调和平均数在心理与教育研究调和平均数在心理与教育研究(yánjiū)方面的应用，方面的应用，主要是用以描述学习速度方面的问题主要是用以描述学习速度方面的问题 三三、、调和调和平均数平均数l调和平均数的调和平均数的概念概念 调和平均数是一组数据倒数的算术平均数的倒数，亦称倒调和平均数是一组数据倒数的算术平均数的倒数，亦称倒数平均数。
用数平均数用 表示 例如例如(lìrú)：一个学生阅读两页书，读前一页的速度是每小时：一个学生阅读两页书，读前一页的速度是每小时20页，读后一页的速度是每小时页，读后一页的速度是每小时40页，问平均每小时阅读速度是多少页，问平均每小时阅读速度是多少？？第37页/共43页第三十八页，共44页 如果用算术平均数计算该生阅读速度，则每小时为如果用算术平均数计算该生阅读速度，则每小时为30页，即：页，即：但与实际但与实际(shíjì)情况不符，因为情况不符，因为读第一页用时读第一页用时 （分），读第二页用时（分），读第二页用时 （分）（分）两页共用两页共用 （分）如果用算术平均数每小时为如果用算术平均数每小时为30页的阅读速度，则页的阅读速度，则分钟应当阅读分钟应当阅读 （页），而实际只读了（页），而实际只读了2页第38页/共43页第三十九页，共44页 l调和平均数的计算公式调和平均数的计算公式l 调和平均数是一组数据倒数调和平均数是一组数据倒数(dǎo shù)的算术平均的算术平均数的倒数数的倒数(dǎo shù)，用公式，用公式 可表示为：可表示为： 利用此公式求出上例平均利用此公式求出上例平均(píngjūn)阅读速度，并验阅读速度，并验证其合理性。
证其合理性第39页/共43页第四十页，共44页 即每小时读即每小时读 页，每分钟则读页，每分钟则读 页，页， 分分钟钟就读就读 页，恰与事实相符页，恰与事实相符 又如：又如：4个学生每小时解题个学生每小时解题(jiě tí)数目分别为数目分别为3、、4、、6、、8问平均每小时解题问平均每小时解题(jiě tí)速度如何？速度如何？调和平均数可这样解释：调和平均数可这样解释：调和平均数，即四个人的平均解题速度（而算术平均数为调和平均数，即四个人的平均解题速度（而算术平均数为平均每人在每小时内的解体数目），首先要求出每人解平均每人在每小时内的解体数目），首先要求出每人解1道题所用的时间，即道题所用的时间，即 ，四个人平均每解，四个人平均每解1题所用时间题所用时间为为 ，再求其倒数，再求其倒数 就是平均每小时解题速度就是平均每小时解题速度第40页/共43页第四十一页，共44页 1、某班、某班60名学生名学生(xué sheng)的外语的外语成绩列成次数分布如下，试求其算成绩列成次数分布如下，试求其算术平均数和中位数。
术平均数和中位数作业作业(zuòyè)第41页/共43页第四十二页，共44页 2、某县教师人数、某县教师人数(rén shù)1990年为年为2000人，人，1994年为年为2800人，人，求其平均增长率；若照此速度求其平均增长率；若照此速度增长，试估计增长，试估计2002年该县的教年该县的教师人数师人数(rén shù)为多少？为多少？第42页/共43页第四十三页，共44页 内容(nèiróng)总结会计学1、算术平均数具备一个良好的集中量所应具备的一些条件百分位数是位于依一定顺序排列的一组数据中某一百分位置的数值一般用Pp表示1.理论众数：与频率分布曲线最高点相对应的横坐标上的一点只有当频数分布呈正态或接近正态时，才能使用(shǐyòng)平均数既可作描述统计量，又可作推论统计量1、求一组等比或近似等比数据的平均数时调和平均数在心理与教育研究方面的应用，主要是用以描述学习速度方面的问题第四十四页，共44页。