第二章 曲面论内 容 提 要1、曲面的概念（简单曲面、光滑曲面、切平面和法线）2、曲面的第一基本形式(第一基本形式、曲线的弧长 、正交轨线、曲面域的面积、等距变换、保角变换）3、曲面的第二基本形式(第二基本形式、曲面曲线的曲率、杜邦指标线、渐近线、曲率线等）4、直纹面和可展曲面（直纹面、可展曲面）5、曲面论的基本定理（基本方程、基本定理）6、曲面上的测地线（测地曲率、测地线、高斯—波涅 公式、曲面上向量的平行移动）7、常高斯曲率曲面（常高斯曲率的曲面、伪球面、罗氏几何）第一节 曲面的概念1、1 简单曲面及其参数表示一、初等区域 平面上的不自交的闭曲线称为约当曲线约当曲线将平面分 成两部分，并且每一部分都以它为边界，它们中有一个是有限的 ，另一个是无限的，有限的区域称为初等到区域约当曲线的内 部称为初等区域如矩形的内部、园的内部等如果平面上的初等区域到三维欧氏空间的对应是一一的、在 上的、双方连续的映射（拓朴映射），则把三维空间中的象称为 简单曲面今后我们所用的都是简单曲面或曲面如：一矩形纸片（初等区域）可以卷成有裂缝的园柱面如果 它是橡皮膜，还可变成园环面二、简单曲面三、曲面的方程初等区域G中的点的的笛氏坐标为(u,v)，它的拓朴象为曲面 S，其上的点的笛氏坐标为(x,y,z)，故有 x = f1(u,v) , y = f2(u,v) , z = f3(u,v) , (u,v)∈G 称为曲面S的参数表示或参数方程，u和v称为曲面S的参数或曲 纹坐标。
习惯上写作x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) , (u,v)∈G 例：园柱面；球面；旋转面四、坐标曲线；曲纹坐标网曲面上一点 P 的直角坐标为（x , y ,z），它的曲纹坐标为 （u ,v）现在取 v = 常数而 u 变化时的曲线叫 u -曲线 ( u线） u = 常数而 v 变化时的曲线叫 v -曲线（v线） 面上构成坐标网，称为曲面上的曲纹坐标网对于曲面上任一 点 P ，两族曲线中各有一条经过它 （例题）1、2 光滑曲面、曲面的切平面和法线一、光滑曲面、正常点、正规坐标网1、若曲面 x = x(u,v) , y = y(u,v) , z = z(u,v) 或 r = r (u,v) 中的函数有直到 k 阶的连续微商，则称为 k 阶正则曲面或 类曲面类的曲面又称为光滑曲面2、过曲面上一点( u0 ,v0 ) 有一条u--曲线： r = r (u,v0)和一条v—曲线： r = r (u0 ,v) ,该点处这两条坐标曲线的切向量为 如果它们不平行，即 ru× rv在该点不为零，则称该点为曲面 的正常点。
3、正规坐标网由ru， rv 的连续性，若 ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总 存在该点的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零， 于是在这片曲面上，有一族 u 线和一族 v 线，它们不相切 ，构成一正规坐标网4、曲面在正常点的邻域中总可用显函数的形式表示，即有 z = z ( x , y ),事实上，由3 ，ru× rv在( u0 ,v0 )点不为零，则总存在该点 的一 个邻域U，使在这个邻域内有ru× rv不为零，故的坐标中 的三个二级子式中至少有一个不为0，不妨设第一个不为0， 即 由隐函数定理， x = x (u ,v) , y = y (u ,v) 在 U 中存在唯 一的单值连续可微函数 u = u (x , y ), v = v( x , y) , 代入得 z = z [ u( x, y),v(x,y)] = z(x,y) 二、曲面的切平面设曲面曲线为 (c)：u = u (t) , v = v (t) ,或 r = r [u (t) ,v (t) ] = r (t)，这条曲线在曲面上( u0 ,v0 )处的切方向称为曲面在该点的切方向或方向，它平行于其中 分别是在( u0 ,v0 )点处的两条坐标曲线的切向量。
以下切方向几种表示通用：du : dv , (d) 和 1、切平面的定义可以看出，切向量 与 共面，但过( u0 ,v0 )点有无数条曲面曲线，因此在正常点处有无数方向，且有命题2：曲面上正常点处的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量 所确定的平面上这个平面我们称作曲面在该点的切平面3、切平面的方程设面上一点为 P0( u0 ,v0 )，R (X,Y,Z)为平面上任一点， 则有或写成坐标表示式如果用显函数 z = z ( x , y ) 表示曲面时，有三、法方向与法线1、定义：曲面在正常点处垂直于切平面的方向称为曲面的法方向，过该点平行于法方向的直线称作曲面在该点的法线 由定义，曲面的法方向为单位法向量为2、法线的方程设曲面上任一点 r (u,v) 的径矢为 R (u,v)则法线的方程为用坐标表示为 若用 z = z (x,y) 表示曲面，则有四、参数变换如果曲纹坐标 (u,v) 变为新的曲纹坐标 ：则得到曲面关于新曲纹坐标 的方程对 求导：因此（1） ， 则两个法向量平行。
2） ，所有参数法向量的正向保持不变，称这个方向为曲面的正向3）交换参数，则正向改变为负向，曲面为双侧1、3 曲面上的曲线簇和曲线网设光滑曲面上的曲线为 (c)： u = u (t) , v = v (t) ,或者 r = r [ u ( t ) , v ( t ) ] = r ( t ) , 消去 t ，可得曲面上 曲线的方程为1、一阶线性微分方程表示曲面上的一簇曲线——曲线簇，设 则有解之得 特别 当 A = 0 或 B = 0 时，有 d u = 0 或 d v = 0 此时为坐标曲线 u = c 或 v = c 2、二阶微分方程则表示曲面上的两簇曲线 —— 曲线网设 分别解这两个一阶微分方程，可得两簇曲线，它们构成曲面 上的曲线网 特别有它们表示坐标曲线。