高等数学 05 第五节 函数极限与最大值最小值

第五节 函数极限与最大值最小值在讨论函数的单调性时，曾遇到这样的情形，函数先是单调增加（或减少） ，到达某一 点后又变为单调减少（或增加） ，这一类点实际上就是使函数单调性发生变化的分界点. 如 在上节例 3 的图 3-4-5 中，点和就是具有这样性质的点，易见，对的某个邻1x2x1x域内的任一点，恒有 ，即曲线在点处达到“峰顶” ；同样，对x) 1( x) 1 ()(fxf))1 (, 1 (f的某个邻域内的任一点，恒有 ，即曲线在点处达到2xx)2( x)2()(fxf))2(, 2(f“谷底”. 具有这种性质的点在实际应用中有着重要的意义. 由此我们引要入函数极值的概 念.分布图示分布图示 ★ 函数极值的定义★函数极值的求法 ★ 例 1★例 2★例 3★第二充分条件 ★ 例 4★例 5★例 6★最大值最小值的求法★例 7★ 例 8★例 9★例 10 ★ 例 11★例 12★例 13 ★内容小结★课堂练习★习题 3-5★返回内容要点内容要点一、一、极值的概念极值的概念 二、二、极值的必要条件极值的必要条件三、三、第一充分条件与第二充分条件第一充分条件与第二充分条件四、四、求函数的极值点和极值的步骤求函数的极值点和极值的步骤：：（1） 确定函数的定义域，并求其导数;)(xf)(xf （2） 解方程求出的全部驻点与不可导点;0)( xf)(xf（3）讨论在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极)(xf 值点;（4） 求出各极值点的函数值，就得到函数的全部极值.)(xf五、五、求函数的最大值与最小值求函数的最大值与最小值在实际应用中，常常会遇到求最大值和最小值的问题. 如用料最省、容量最大、花 钱最少、效率最高、利润最大等. 此类问题在数学上往往可归结为求某一函数（通常称为 目标函数目标函数）的最大值或最小值问题.求函数在上的最大（小）值的步骤如下：],[ba（1）计算函数在一切可能极值点的函数值，并将它们与相比较，这)(xf),(af)(bf些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；（2） 对于闭区间上的连续函数，如果在这个区间内只有一个可能的极值],[ba)(xf点，并且函数在该点确有极值，则这点就是函数在所给区间上的最大值（或最小值）点.例题选讲例题选讲求函数的极值求函数的极值例例 1 (E01) 求出函数的极值.593)(23xxxxf解解 ,令得驻点)3)(1(3963)(2xxxxxf, 0)( xf. 3, 121xx列表讨论如下：x) 1,(1)3, 1(3), 3( )(xf ＋0－0＋ )(xf↑极大值↓极小值↑所以, 极大值极小值,10) 1(f.22)3(f例例 2 (E02) 求函数的极值.32) 1()4()(xxxf解解 函数在内连续，除外处处可导，且) 1 ()(xf),(1x;13) 1(5)(3xxxf令得驻点为的不可导点;)2(, 0)( xf; 1x1x)(xf列表讨论如下:)3(x) 1,(1) 1, 1(1), 1 ( )(xf ＋不存在－0＋ )(xf↑极大值↓极小值↑极大值为极小值为)4(, 0) 1(f. 43) 1 (3f例例 3 求函数 的单调增减区间和极值. 3/2 23xxxf解解 求导数当时而 时不存在 ,,1)(3/1xxf1x, 0)0( f0x)(xf 因此，函数只可能在这两点取得极值. 列表如下:x)0 ,(0) 1, 0(1), 1 ( )(xf ＋不存在－0＋)(xf↗极大值 0↘极小值21↗由上表可见：函数在区间单调增加, 在区间单调减少. 在点)(xf), 1 (),0 ,() 1 , 0(处有极大值, 在点处有极小值如图.0x1x,21) 1 (f例例 4 (E03) 求出函数的极值.20243)(23xxxxf解解 令得驻点),2)(4(32463)(2xxxxxf, 0)( xf. 2, 421xx又故极大值, 66)( xxf, 018)4(  fQ,60)4(f, 018)2(  f故极小值.48)2(f注意注意：：时, 在点 处不一定取极值, 仍用第一充分条件进行判断.0)(. 10  xf)(xf0x函数的不可导点,也可能是函数的极值点.. 2例例 5 (E04) 求函数的极值.1) 1()(32 xxf解解 由得驻点, 0) 1(6)(22xxxf, 11x. 1, 032xx).15)(1(6)(22 xxxf因故在处取得极小值，极小值为因故用, 06)( xf)(xf0x. 0)0(f, 0) 1 () 1(  ff定理 3 无法判别.考察一阶导数在驻点及左右邻近的符号:)(xf 11x13x当取 左侧邻近的值时, x1; 0)( xf当取右侧邻近的值时, x1; 0)( xf因的符号没有改变，故在处没有极值. 同理，在)(xf )(xf1x)(xf1x处也没有极值. 如图所示.例例 6 求出函数 的极值.3/2)2(1)(xxf解解 是函数的不可导点.).2()2(32)(31 xxxf2x当时, 当时, 为的极大值.2x; 0)( xf2x. 0)( xf1)2( f)(xf例例 7 (E05) 求的在上的最大值与最小值.14123223xxxy]4 , 3[解解 解方程得),1)(2(6)(xxxfQ, 0)( xf. 1, 221xx计算 ;23)3(f;34)2(f; 7) 1 (f;142)4(f比较得最大值最小值,142)4(f. 7) 1 (f例例 8 求函数在上的最大值及最小值.xxy2sin  2,2解解 函数在上连续,xxy2sin  2,2, 12cos2)(xyxf令得, 0 y.6x,22 f,22 f,623 6 f.623 6 f故在 上最大值为最小值为y  2,2,2.2例例 9 (E06) 设工厂 A 到铁路线的垂直距离为 20km, 垂足为 B. 铁路线上距离 B 为 100km 处有一原料供应站 C, 如图 3-5-4. 现在要在铁路 BC 中间某处 D 修建一个原料中转 车站, 再由车站 D 向工厂修一条公路. 如果已知每 km 的铁路运费与公路运费之比为 3:5, 那么, D 应选在何处, 才能使原料供应站 C 运货到工厂 A 所需运费最省?解解 (km), (km), xBD xCD100.2022xAD铁路每公里运费公路每公里记那里目标函数目标函数(总运费)的函数关系式:,3k,5ky CDkADky35即 ).1000()100(340052xxkxky 问题归结为：取何值时目标函数最小. xy求导得令得(km).,3 40052     xxky0 y15x由于.26100)100(,380)15(,400)0(kykyky从而当(km)时，总运费最省.15BD例例 10 某房地产公司有 50 套公寓要出租, 当租金定为每月 180 元时, 公寓会全部租出 去. 当租金每月增加 10 元时, 就有一套公寓租不出去, 而租出去的房子每月需花费 20 元的 整修维护费. 试问房租定为多少可获得最大收入?解解 设房租为每月元，租出去的房子有套，每月总收入为x 1018050x,1068)20(1018050)20()(  xxxxxR解得(唯一驻点).,570101)20(1068)(xxxxR  , 0)( xR350x故每月每套租金为 350 元时收入最高.最大收入为 (元).10890)350(R求函数的最大值最小值求函数的最大值最小值例例 11 求内接于椭圆而面积最大的矩形的各边之长.12222 by ax解解 设为椭圆上第一象限内任意一点，则),(yxM以点为一顶点的内接矩形的面积为M,0 ,422)(22axxaxabyxxS且. 0)()0(aSS22222222244)( xaxa abxaxxxaabxS    由 求得驻点为唯一的极值可疑点. 依题意, 存在最大值,故, 0)( xS20ax )(xS是是的最大值,最大值20ax )(xSabaaa abS22242 2 max   对应的值为 即当矩形的边长分别为时面积最大.y,2b,2ab2例例 12 由直线及抛物线围成一个曲边三角形, 在曲边上求8, 0xy2xy 2xy 一点, 使曲线在该点处的切线与直线及所围成三角形面积最大.0y8x解解 根据几何分析, 所求三角形面积为),80)(16(21821 02 000 xxxxS由, 0)1616643(41 02 0xxS解得(舍去).,316 0x160x, 08316 nSQ为极大值.274096 316 S故三角形为所有中面积的最大者.274096 316 S例例 13 求数列的最大项(已知).  nnenna122}{2 3723e解解 令则,1),122()(22xxxexfx)86(21)(22xxexfx由得唯一驻点, 0)( xf.173x当时, 当时, )173 , 1 (x; 0)( xf),173(x; 0)( xf所以当时, 时, 函数取得极大值 ,173x)(xf由于又, 81737,23)7( 7ef,36)8(4ef, 13637 3623 )8()7(e ff因此当时, 得数列的最大项7n,7a.23)7( 77efa课堂练习课堂练习1. 下列命题正确吗?若为的极小值点, 则必存在的某领域, 在此领域内, 在的左侧下0x)(xf0x)(xf0x降, 而在的右侧上升.0x2 .若是在[a, b]上的最大值或最小值, 且存在, 是否一定有?)(af)(xf)(af 0)( af。