侵权必究,24.2,直线和圆的位置关系,第,3,课时 切线长定理,1.,掌握切线长的定义及切线长定理,.,（重点）,2.,初步学会运用切线长定理进行计算与证明,.,（难点）,学习目标,目录页,讲授新课,当堂练习,课堂小结,新课导入,新课导入,教学目标,教学重点,情境引入,同学们玩过空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球的旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？,新课导入,前面我们已经学习了切线的判定和性质，已知,O,和,O,外一点,P,，你能够过点,P,画出,O,的切线吗？,1.,猜想：图中的线段,PA,与,PB,有什么关系？,2.,图中还有哪些量？猜想它们之间有什么关系？,新课导入,讲授新课,典例精讲,归纳总结,1,知识点,切线长定理,下面研究经过圆外一点所作的两条切线之间的关系,.,如图，过圆外一点,P,有两条直线,PA,PB,分别与,O,相切,.,经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长,.,讲授新课,如图，连接,OA,和,OB,.,PA,和,PB,是,O,的两条切线，,OA,AP,，,OB,BP,.,又,OA,=,OB,OP,=,OP,.,Rt,AOP,Rt,BOP,.,PA,=,PB,APO,=,BPO,.,讲授新课,B,P,O,A,切线长定理,:,过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等,.,圆心与,这一点,的连线平分两条切线的夹角,.,P,A,、,PB,分别切,O,于,A,、,B,PA,=,PB,OPA,=,OPB,几何语言,:,切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法,.,注意,知识要点,讲授新课,O,.,P,已知，如图,PA,、,PB,是,O,的两条切线,，,A,、,B,为切点,.,求证：,PA=PB,，,APO=BPO.,证明：,PA,切,O,于点,A,，,OAPA.,同理可得,OBPB.,OA=OB,，,OP=OP,，,Rt,OAP,Rt,OBP,，,PA=PB,，,APO=BPO.,推理验证,A,B,讲授新课,想一想：,若连结两切点,A,、,B,，,AB,交,OP,于点,M,.,你又能得出什么新的结论,?,并给出证明,.,OP,垂直平分,AB.,证明：,PA,，,PB,是,O,的切线,点,A,，,B,是切点,PA=PB,，,OPA=OPB,PAB,是等腰三角形，,PM,为顶角的平分线,OP,垂直平分,AB.,O,.,P,A,B,M,讲授新课,想一想：,若延长,PO,交,O,于点,C,，连结,CA,、,CB,，你又能得出什么新的结论,?,并给出证明,.,PA,，,PB,是,O,的切线,点,A,，,B,是切点，,PA,=,PB,，,OPA,=,OPB,.,PC,=,PC,.,PCA,PCB,，,AC,=,BC.,CA,=,CB,O,.,P,A,B,C,讲授新课,证明：,延长,PO,交,O,于点,C,，连接,AC,、,BC,，,典例精析,讲授新课,如图，,PA,，,PB,是,O,的切线，,A,，,B,是切点，点,C,是,AB,上一点，过点,C,作,O,的切线分别交,PA,，,PB,于点,D,，,E,.已知,APB,60，,O,的半径为 ，则,PDE,的周长为_，,DOE,的度数为_,6,60,例题,1,为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径，若三角板与圆相切且测得PA=5cm，求铁环的半径,解析：欲求半径OP，取圆的圆心为O，连OA，OP，由切线性质知OPA为直角三角形，从而在RtOPA中由勾股定理易求得半径,O,讲授新课,例题,2,在,Rt,OPA,中，,PA,5,，,POA,30,，,O,Q,解：过,O,作,OQ,AB,于,Q,，设铁环的圆心为,O,，连接,OP,、,OA,.,AP,、,AQ,为,O,的切线，,AO,为,PAQ,的平分线，即,PAO,QAO,.,又,BAC,60,，,PAO,QAO,BAC,180,，,PAO,QAO,60.,即铁环的半径为,讲授新课,B,P,O,A,PA,、,PB,是,O,的两条切线，,A,B,是切点，,OA,=3.,（,1,）,若,AP,=4,则,OP,=,;,（,2,）,若,BPA,=60,则,OP,=,.,5,6,练一练,讲授新课,2,知识点,三角形的内切圆,图是一块三角形的铁片，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使截下来的圆与三角形的三条边都相切？,讲授新课,归,纳,如图，分别作,B,，,C,的平分线,BM,和,CN,，设它们相交于点,I,，那么点,I,到,AB,，,BC,，,CA,的距离都相等,.,以点,I,为圆心，点,I,到,BC,的距离,ID,为半径作圆，则,I,与,ABC,的三条边都相切，圆,I,就是所求作的圆,.,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的,内切圆,.,讲授新课,如图，,ABC,的内切圆,O,与,BC,，,CA,AB,分别相切于点,D,E,F,且,AB,=9,，,BC,=14,，,CA,=13.,求,AF,BD,CE,的长,.,解：,设,AF,=,x,，则,AE,=,x,.,CD,=,CE,=,AC,-,AE,=13-,x,BD,=,BF,=,AB,-,AF,=9-,x,.,由,BD,+,CD,=,BC,可得（,13-,x,）,+,（,9-,x,）,=14.,解得,x,=4.,因此,AF,=4,，,BD,=5,，,CE,=9.,例题,3,讲授新课,1.,与三角形三边都相切的圆叫作三角形的,内切圆,.,2.,三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的,内心,.,3.,这个三角形叫做这个圆的,外切三角形,.,B,A,C,I,I,是,ABC,的内切圆，点,I,是,ABC,的内心，,ABC,是,I,的外切三角形,.,知识要点,讲授新课,B,A,C,I,问题,1,如图，,I,是,ABC,的内切圆，那么线段,OA,，,OB,OC,有什么特点？,互动探究,线段,OA,，,OB,OC,分别是,A,，,B,，,C,的平分线,.,3,知识点,三角形的内心的性质,讲授新课,B,A,C,I,问题,2,如图，分别过点作,AB,、,AC,、,BC,的垂线，垂足分别为,E,、,F,，,G,，那么线段,IE,、,IF,、,IG,之间有什么关系？,E,F,G,IE=IF=IG,讲授新课,知识要点,三角形内心的性质,三角形的内心在三角形的,角平分线上,.,三角形的内心到三角形的三边距离相等,.,B,A,C,I,E,F,G,IA,，,IB,，,IC,是,ABC,的角平分线，,IE=IF=IG,.,讲授新课,如图，,ABC,中，,B,=43,，,C,=61,，点,I,是,ABC,的内心，求,BIC,的度数,.,解：连接,IB,，,IC,.,A,B,C,I,点,I,是,ABC,的内心，,IB,，,IC,分别,是,B,，,C,的平分线，,在,IBC,中，,讲授新课,例题,4,如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱,.,圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为,3cm,，求圆柱底面圆的半径,.,该木模可以抽象为几何如下几何图形,.,例题,5,讲授新课,C,A,B,r,O,D,解：如图，设圆,O,切,AB,于点,D,，连接,OA,、,OB,、,OD,.,圆,O,是,ABC,的内切圆,AO,、,BO,是,BAC,、,ABC,的角平分线,ABC,是等边三角形,OAB,=,OBA,=30,o,OD,AB,，,AB,=3cm,，,AD,=,BD,=,AB,=1.5(cm),OD,=,AD,tan30,o,=(cm),答,:,圆柱底面圆的半径为,cm.,讲授新课,ABC,的内切圆,O,与,BC,、,CA,、,AB,分别相切于点,D,、,E,、,F,，,且,AB,=13cm,，,BC,=14cm,，,CA,=9cm,，,求,AF,、,BD,、,CE,的长,.,想一想：,图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？,B,A,C,E,D,F,O,讲授新课,例题,6,解,:,设,AF,=,x,cm,，则,AE,=,x,cm.,CE=CD=AC-AE,=9-,x,(cm),，,BF=BD=AB-AF,=13-,x,(cm),.,由,BD+CD=BC,，,可得,(13-,x,)+(9-,x,)=14,，,AF,=4(cm),，,BD,=9(cm),，,CE,=5(cm).,方法小结：,关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程,.,解得,x=,4.,A,C,E,D,F,O,讲授新课,比一比,名称,确定方法,图形,性质,外心：,三角形外接圆的圆心,内心：,三角形内切圆的圆心,三角形三边,中垂,线的交,点,1.,OA=OB=OC,2.,外心不一定在三角形的内部,三角形三条,角平分,线的,交点,1.,到三边的距离相等；,2.,OA,、,OB,、,OC,分别平分,BAC,、,ABC,、,ACB,3.,内心在三角形内部,A,B,O,A,B,C,O,讲授新课,C,A,B,O,D,1.,求边长为,6 cm,的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径,.,解：如图，由题意可知,BC,=6cm,ABC,=60,，,OD,BC,，,OB,平分,ABC,.,OBD,=30,，,BD=3cm,OBD,为直角三角形,.,内切圆半径,外接圆半径,练一练,讲授新课,变式：,求边长为,a,的等边三角形的内切圆半径,r,与外接圆半径,R,的比,.,sin,OBD,=,sin30,=,C,A,B,R,r,O,D,讲授新课,A,B,C,O,D,E,F,A,B,C,D,E,F,O,2.,设,ABC,的面积为,S,，周长为,L,，,ABC,内切圆,的半径为,r,，则,S,，,L,与,r,之间存在怎样的数量关系？,讲授新课,A,B,C,O,c,D,E,r,3.,如图，直角三角形的两直角边分别是,a,、,b,斜边为,c,，则其内切圆的半径,r,为,_,（以含,a,、,b,、,c,的代数式表示,r,）,.,解析：过点,O,分别作,AC,，,BC,，,AB,的垂线，垂足分别为,D,，,E,，,F,.,F,则,AD=AC,-,DC=b,-,r,BF=BC,-,CE=a,-,r,因为,AF=AD,，,BF=BE,，,AF+BF=c,所以,a,-,r+b,-,r=c,所以,讲授新课,当堂练习,当堂反馈,即学即用,A,2.,如图，已知点,O,是,ABC,的内心，且,ABC,=60,ACB,=80,则,BOC,=,.,1.,如图，,PA,、,PB,是,O,的两条切线，切点分别是,A,、,B,，如果,AP,=4,APB,=40 ,则,APO,=,PB,=,.,B,P,O,A,第,1,题,B,C,O,第,2,题,20,4,110,当堂练习,（,3,）若,BIC=100,，则,A=,度,.,（,2,）若,A=80,，则,BIC=,度,.,130,20,3.,如图，在,ABC,中，点,I,是内心，,（,1,）若,ABC=50,，,ACB=70,，,BIC=_.,A,B,C,I,（,4,）试探索：,A,与,BIC,之间存在怎样的数量关系？,120,当堂练习,4,.如图所示，已知在,ABC,中，,B,90,，,O,是,AB,上一点，以,O,为圆心，,OB,为半径的圆与,AB,交于,E,，,与,AC,相切于点,D,.求证：,DE,OC,.,证明：连接,OD，,AC,切,O,点,D，,OD,AC，,ODC=B,=90,.,在Rt,OCD,和Rt,OCB,中，,ODOB，OCOC,Rt,ODC,Rt,OBC,（HL），,DOC=BOC,.,OD=OE，,ODE=OED，,DOB=ODE+OED，,BOC=OED,，,DEOC,当堂练习,方法二：,证明：连接,B,D，,AC,切,O,于,点,D，,AC,切,O,于,点,B,，,DC=BC,，,OC,平分,DCB.,OC,BD.,BE,为,O,的直径，,DE,BD.,DEOC,当堂练习,5.,如图。