中小学1对1课外专家 第二章 勾股定理类型一：勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b； (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用 2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长. 举一反三【变式1】如图，已知：，，于P. 求证：. 【变式2】已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2求：四边形ABCD的面积 类型三：勾股定理的实际应用 （一）用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离 （2）确定目的地C在营地A的什么方向 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? （二）用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分．请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线． 举一反三 【变式1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程． 【变式2】如图①是一个长方体盒子，长AB＝4，宽BC＝2，高CG＝1． (1) 一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点G，那么它所行走的最短路线的长是______． (2)这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为______．点评：把题中的长方体变成正方体或圆柱时，找直角三角形运用勾股定理的思想方法不变，在计算的过程中，可尝试总结计算的公式，如长方体内最长线段的长度为．【变式3】如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B到点C的距离为5，如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B，那么它需要爬行的最短距离是 ( ) A．5 B．25 C．15 D．35【变式4】一个长方体同一顶点处的三条棱长分别是3、4、12，则这个长方体内能容下的最长木棒的长度为______．【变式5】如图，将一根25 cm长的细术棒放入长、宽、高分别为8 cm、6 cm和cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是__________cm． 类型四：利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。
思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作 作法：如图所示 （1）作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边； （2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角斜边为； （3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是 、、、举一反三 【变式】在数轴上表示的点 解析：可以把看作是直角三角形的斜边，， 为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1 作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为类型五：逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1．原命题：猫有四只脚．（正确） 2．原命题：对顶角相等（正确） 3．原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．（正确） 4．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确） 7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ΔABC的形状。
举一反三【变式1】四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积 【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2－n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m＞n),判断△ABC是否为直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=AB 请问FE与DE是否垂直?请说明 经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2，求它的面积 注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a 【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n 【变式4】（1）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40 （2）已知直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长是______．【变式5】如图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在Rt△ABC中，若直角边AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图②所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长(图②中的实线)是______．【变式6】如图，在直线l上依次摆放着七个正方形，其中，斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝______．【变式7】如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为 ( ) A．11 B．15 C．10 D．22【变式8】在△ABC中，∠B＝90°，两直角边AB＝7，BC＝24，三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离是______．类型二：勾股定理的应用 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形 （1）直接写出单位正三角形的高与面积 （2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少？ （3）求出图中线段AC的长（可作辅助线） 类型三：数学思想方法（一） 转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决． 3、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF的长。
（二）方程的思想方法 4、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，，求、、的值 总结升华：在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半 举一反三：【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长 类型四：平方根、立方根与实数5、(1)若，则x－y的值为 ( )A．－1 B．1 C．2 D．3 (2)已知a为实数，那么等于 ( )A．a B．－a C．－1 D．0【变式】（1）已若“＋(b＋27) 2＝0，则______． （2）已知x、y都是实数，且y＝，则xy＝_______． （3）若＋(y＋6) 2＝0，则x＋y＝_______． (4)若，则a－b＋c＝_______．6、 已知的整数部分是a，小数部分是b，则(－a)3＋(b＋2)2＝______． 【变式1】（1）估计20的算术平方根在 ( )A．2与3之间 B．3与4之间 C．4与5之间 D．5与6之间 （2）估算－2的值在 ( ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 （3）估算＋1的值在 ( ) A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间【变式2】若的整数部分为a，的整数部分为b，求的值．7、已知2a－l的平方根是±，3a－2。