主页主页 主页主页 一、一、空间直角坐标系空间直角坐标系的建立及相关概念的建立及相关概念：：以以单位正方体位正方体ABCD—A'B'C'D'的的顶点点O为原点原点,分分别以射以射线OA，，OC，，OD' 的的方向方向为正方向正方向,以以线段段OA,OC, OD'的的长为单位位长度度,建立三条数建立三条数轴:x轴,y轴,z轴,这时我我们建立了一个建立了一个空空间直角直角坐坐标系系O－－xyz . ABCOzyx点点O叫做叫做坐标原点坐标原点，，x轴、轴、y轴、轴、z轴叫做轴叫做坐标轴坐标轴，，这三条这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面平面、、 yoz平面平面、、和和 zox平面平面．． 在空间直角坐标系中，让右在空间直角坐标系中，让右手拇指指向手拇指指向x轴的正方向，轴的正方向，让食指让食指指向指向y轴的正方向，如果中指能轴的正方向，如果中指能指向指向z轴的正方向，则称坐标系为轴的正方向，则称坐标系为右手直角坐标系右手直角坐标系xyz空间直角坐标系的画法：空间直角坐标系的画法： 1.x轴与轴与y轴、轴、x轴与轴与z轴均成轴均成1350,而而z轴垂直于轴垂直于y轴．轴． 2.y轴和和z轴的的单位位长度相同，度相同，x轴上的上的单位位长度度为y轴(或或z轴)的的单位位长度的一半．度的一半．yzx1351350 01351350 0 ⅡⅦ面面ⅤⅥⅠ面面面面ⅢⅣⅧ•O空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限1、空间直角坐标系的划分：、空间直角坐标系的划分： 2、空间点的坐标：、空间点的坐标：设点设点P、、Q和和R在在x轴、轴、y轴和轴和z轴上的坐标分别是轴上的坐标分别是x,y和和z,这样空间一点这样空间一点M的坐标可以用有序实数组的坐标可以用有序实数组(x，，y，，z)来表示来表示, (x，，y，，z)叫做点叫做点M 在此在此空间直角坐标系中的空间直角坐标系中的坐标坐标，，记作记作M(x，，y，，z)．．其中其中x叫做点叫做点M的的横坐标横坐标，，y叫做点叫做点M的的纵坐标纵坐标，，z叫做点叫做点M的的竖坐标竖坐标．．yzxRQP (1)坐标平面内的点坐标平面内的点:xoy平面上的点竖坐标为平面上的点竖坐标为0yoz平面上的点横坐标为平面上的点横坐标为0xoz平面上的点纵坐标为平面上的点纵坐标为0(2)坐标轴上的点坐标轴上的点:x轴上的点纵坐标和竖坐标都为轴上的点纵坐标和竖坐标都为0y轴上的点横坐标和竖坐标都为轴上的点横坐标和竖坐标都为0z轴上的点横坐标和纵坐标都为轴上的点横坐标和纵坐标都为0•Oxyz111•A•D•C•B•E•F 二、二、空间空间向量向量：：1. 1. 空间向量的有关概念及表示法空间向量的有关概念及表示法定义定义表示法表示法向量向量向量的模向量的模零向量零向量单位向量单位向量相等向量相等向量相反向量相反向量平行向量平行向量(共共线向量向量)具有大小和方向的量具有大小和方向的量向量的大小向量的大小长度为零的向量长度为零的向量模为模为 1 的向量的向量常用常用 e 表示表示长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相反的向量长度相等且方向相反的向量方向方向相同相同或或相反相反的非零向量的非零向量与任一向量共线与任一向量共线. 平面向量平面向量空间向量空间向量概念概念加法加法减法减法数乘数乘运算运算运运算算律律具有大小和方向的量具有大小和方向的量具有大小和方向的量加法加法: :三角形法则或平行四边形法则减法减法:三角形法则数乘数乘:ka, k为正数,负数,零加法交换律加法结合律数乘分配律加法交换律加法结合律数乘分配律 2. 2. 空间向量的有关定理及推论空间向量的有关定理及推论 共线向量共线向量共面向量共面向量定定义义 向量所在直线互相平向量所在直线互相平行或重合行或重合 平行于同一平面的向量平行于同一平面的向量,叫叫做共面向量做共面向量.定定理理推推论论运运用用A, P, B三点三点共线共线判断三点共线判断三点共线, ,或两直线平行或两直线平行P, A, B,C四点四点共面共面(A, B, C三点不共线三点不共线)判断四点共面判断四点共面, ,或直线平行于平面或直线平行于平面 三、三、空间空间向量的运算向量的运算：：1.1.数量积的定义：数量积的定义：2.2.向量的夹角定义：向量的夹角定义：3.3.向量的垂直：向量的垂直：4.4.投影：投影：5.数量积的几何意义：数量积的几何意义：数量积数量积 等于等于 的长度的长度 与与 在在 的方向上的投影的方向上的投影 的乘积的乘积. . 6.数量积的运算律：数量积的运算律：7.7.数量积的主要性质数量积的主要性质: :(判断两个向量是否垂直判断两个向量是否垂直)(求向量的长度求向量的长度(模模)的依据的依据)(求两个向量的夹角求两个向量的夹角)(向量不等式向量不等式) 8.8.空间空间向量的直角坐标运算向量的直角坐标运算. . 设设 A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), 则则 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. .M=(x,y,z),若若M是线段是线段AB的中点，的中点， 9. 9. 平面向量与平面向量与空间向量的坐标计算空间向量的坐标计算平面向量平面向量空间向量空间向量 题型一题型一 空间向量的线性运算空间向量的线性运算 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．间仍然成立． 题型二题型二 空间向量共线、共面问题空间向量共线、共面问题 例例3题型三题型三 空间向量数量积空间向量数量积 利用空间向量数量积，解决几何体中夹利用空间向量数量积，解决几何体中夹角长度是高考重点、难点，解决思路一，选角长度是高考重点、难点，解决思路一，选取合适的一组基底，借助向量的代数式运算，取合适的一组基底，借助向量的代数式运算，二，选取两两垂直的三条线建立空间直角坐二，选取两两垂直的三条线建立空间直角坐标系．标系． 例例4 【训练【训练4】】如如图，四棱，四棱锥S-ABCD中，中，AB∥∥CD，，BC⊥⊥CD，，侧面面SAB为等等边三角形．三角形．AB＝＝BC＝＝2，，CD＝＝SD＝＝1.(1)证明：明：SD⊥⊥平面平面SAB；；(2)求求AB与平面与平面SBC所成的角的正弦所成的角的正弦值．．本题可以通过计算边边关系证明本题可以通过计算边边关系证明SD⊥⊥平面平面SAB，第，第2问也可问也可作出作出AB与平面与平面SBC所成的角，利用解三角形来计算，但这种所成的角，利用解三角形来计算，但这种方法必须加辅助线，且易找错角，故考虑用向量法，建立恰方法必须加辅助线，且易找错角，故考虑用向量法，建立恰当的空间直角坐标系是解题关键．当的空间直角坐标系是解题关键． 1 1．向量的分解是用空间向量证明有关问题的常用方法，．向量的分解是用空间向量证明有关问题的常用方法，分解的依据是向量的加法、减法及实数与向量的积，而与之相分解的依据是向量的加法、减法及实数与向量的积，而与之相联系的是线段的倍联系的是线段的倍( (分分) )关系．关系．2 2．证明四点共面问题常转化为证明有公共顶点的四个．证明四点共面问题常转化为证明有公共顶点的四个向量满足共面向量定理，即向量满足共面向量定理，即 且且x＋＋y＋＋z＝＝1⇔⇔P、、A、、B、、C共面．证明三点共线问题亦可共面．证明三点共线问题亦可转化为具有公共顶点的三个向量的转化为具有公共顶点的三个向量的““共面向量定理的形式共面向量定理的形式””，即，即 且且x＋＋y＝＝1⇔⇔P、、A、、B共线．共线．3 3．空间向量数量积在判断或证明垂直，求夹角、长度．空间向量数量积在判断或证明垂直，求夹角、长度等方面比几何方法有较明显的优势，必须掌握好．等方面比几何方法有较明显的优势，必须掌握好．4 4．空间直角坐标系的建立，使空间的点坐标化，也使．空间直角坐标系的建立，使空间的点坐标化，也使几何问题代数化，利用空间向量的坐标运算解决立体几何几何问题代数化，利用空间向量的坐标运算解决立体几何问题问题( (证明、计算证明、计算) )就有一定的规律可循．就有一定的规律可循． 。