现代设计方法优化设计部分黄正东，吴义忠 2015 年自然现象• 蚂蚁 搬家 • 鸟群觅食 • 人类进 化本章主要内容Ø 优化设计概述 Ø 优化设计的数学基础 Ø 一维探索优化方法 Ø 无约束优化方法 Ø 约束问题优化方法 Ø 优化设计若干问题本章重难点• 优化设计数学模型的构建方法（模型的组成与设计要求的定量表述）• 最优化数学理论（模型的性质与最优解的表征） • 优化模型的求解方法(一维搜索、无约束方法、有约束方法)• Matlab工具的使用本章主要内容Ø 优化设计概述 Ø 优化设计的数学基础 Ø 一维探索优化方法 Ø 无约束优化方法 Ø 约束问题优化方法 Ø 优化设计若干问题Ø 优化设计的作用 Ø 优化设计的数学模型 Ø 求解方法分类 Ø 优化设计的软件实现 优化设计概述优化设计的作用 Ø 逆向确定设计方案中的待定参数 Ø 所确定的设计参数能保证实现预定的设计要求 Ø 参数确定过程的自动化 Ø 基于设计方案定量化的产品性能优化 例 1：篱笆围墙设计 优化设计的数学模型例 2：阶梯型悬臂粱设计 优化设计的数学模型截面尺寸弹性模量最大容许应力总长工作载荷确定尺寸b, h, l 使端部偏转最小、 用材最少，同时不 会断裂！例 3：压缩弹簧设计有一个螺旋压缩弹簧，已知载荷为F，弹簧材料的剪切弹性模量 为G，能承受的剪切应力上限为[ ]，弹簧的非工作圈数为n2， 轴向变形量为δ。
试设计这个弹簧使其体积最小弹簧钢丝直径 d； 弹簧的平均直径 D2； 弹簧的工作圈数 n1.其它参数： 旋绕比 C= D2/d ，取值5~8 曲度系数p 设计变量：（1）弹簧钢丝直径 d；（2）弹簧的平均直径 D2；（3）弹簧的工作圈数 n1.强度条件：稳定性条件：变形条件：p 目标函数p 约束条件 性能约束几何约束d>0 mm； D2>0 mm； n1>0.p=(0.28~0.5)D2, H=pn1+(1.5~2)d人生规规划也是一个优优化问题问题目标标：财财富、学术术？ 要求：健康、家庭？ 怎么做：哪些能力、身体锻炼锻炼 、学什么、找对对象，…优化模型的一般形式工程优化问题模型Find: x=(x1,x2,…,xn) RnMinimize: F(x)=Subject to: hi(x)=0, i=1,2,…, p gi(x)0, i=1,2,…, q min F(x) s. t. hi(x)=0, i=1,2,…, p gi(x)0, i=1,2,…, q Find x Minimize F(x) Subject to h(x)=0 and g(x) 0 优化模型三要素1. 设计变量 x=(x1,x2,…,xn) 2. 目标函数 F(x)=(f1(x), f2(x), …, fm(x)) 3. 约束条件 •等式约束 hi(x)=0, i=1,2,…, p •不等式约束 gi(x)0, i=1,2,…, q优化问题分类 1. 单目标优化问题 2. 多目标优化问题设计变量1.设计变量设计过程中，进行选择和调整，最终必须确定的独立参数称为设计变量；固定不变，需要事先给定的参数 称为设计常量。
1）维数：设计变量的个数称为设计问题的维数设计 变量愈多，设计自由度愈大，可供选择方案愈多，设计 愈灵活，难度愈大，求解愈复杂设计变量（2）设计空间: n 个设计变量的坐标轴所形成的n维实空间称为设计空间，用Rn表示设计空间中，n 个设计变量的坐标值组成一个设计点，并代表一个设计方案，可采用如下向量表示： 其中，最优设计方案用 表示，称为最优点或优化点设计变量二维设计空间三维设计空间x2x1X =[x1 x2]Tx1x2x3X=[ x1 x2 x3 ]T目标函数 目标函数优化设计的任务是在许多可行的方案中找出最优的方案，所谓最优方案是在设计变量中能最好的满足所追求的某些特点的目 标，而这些目标又可表达为设计变量的函数，称为目标函数目 标函数可用来评价设计方案的好坏，又称为评价函数常表示为 ：目标函数表征的是设计的某项或某些最重要的特征优化设计就是要通过优选设计变量使目标函数达到最优值 目标函数总可以转化成求最小值的统一形式目标函数等值曲线（面）: 目标函数值相等的所有设计点的集合称为目标函数的等值曲面二维：等值线；三维：等值面；三维以上：等超越面z等值线族（投影）形象地 反映了目标函数值的变化 规律，越靠近极值点的等 值线，表示的目标函数值 越小，其分布也越密集。
xyo等高线x*（中心极值点）等值线族二维设计变量下的等值线投影约束条件（函数）对任何设计都有若干不同的要求和限制，将这些要求和限制表示成设计变量的函数，并写成一系列不等式和等式表达式，就构成了设计的约束条件简称约束其作用是对设计变量的取值加以限制约束条件（函数）Ø 根据对设计变量取值的限制形式：Ø显约束（直接限制）: 如 a
X*=(20,24)优化模型的几何解释最优解是等值线在函数值下降方向上与可行域的最后一个交点优化模型的几何解释 注意！Ø 非线性问题的最优解要么是一个内点，要么是 一个边界点；Ø 非线性问题的最优解如果是一个边界点，那么 它必定是等值线（面）在函数值下降方向上与 可行域的最后一个交点；Ø 线性问题的最优解必定是等值线（面）在函数 值下降方向上与可行域的最后一个交点；一般情况下：优化问题分类单目标 多目标无约束优化 约束优化线性规划 非线性规划确定性 非确定性Ø 线性规划 Ø 二次规划 Ø 动态规划 Ø 几何规划 Ø 整数规划 Ø 随机规划 Ø 凸规划按模型特征的二分类：常见特殊优化问题：优化问题求解方法1. 基于一维搜索 2. 基于区域搜索 3. 基于方程求解 4. 基于直接采样f(x)=0基于一维搜索的优化过程开始给定 x、d 的初始值计算a* 使f(x+ad)极小x x + a*d满足收敛 条件？形成新的d结束迭代法的基本思想：从一个初始点 出发，按照一个可行的搜索方向 和适当的步长走一步，到达 ，再从 出发， 选一个可行的搜索方向和适当的步长走一步，达到 ，并保证每一步函数值都是下降的，即必须满足 （这称为新点的适用性） ，这样一步一步地重复 进行数值计算，直至达到目标函数的极小点。
Ø 无约束优化问题初始点 用某种优化方法确定 确定前进步长 计算 检查 若不满足则改变步长，满足则进入下一步从 出发 用某种优化方法确定 确定前进步长 计算 检查 若不满足则改变步长，满足则进入下一步从 出发 用某种优化方法确定 确定前进步长 计算 检查 若不满足则改变步长，满足则进入下一步从 出发 用某种优化方法确定 确定前进步长 计算 检查 若不满足则改变步长，满足则进入下一步——第k个迭代点——从第k个迭代点出发寻找下一个迭代点的搜索方向——沿 前进的步长基本迭代公式由于每次迭代求得的新点均为使函数值有 所下降的适用点（如果不是适用点，可改变方向和步长另行搜索适用点），则所得 各点必将逐步向该函数的极小值点逼近， 最后总可求得非常接近该函数理论最优点 的近似最优点 Ø 约束优化问题对于约束优化问题，除了检查每个新点的适用性外，还要检查其可行性，即是否满足 的约束条件，如果适用性和可行性兼备，再进行下一次迭代，最终自然也能求得非常接近约束最优点的近似最优点 。
综上所述，采用数值法进行迭代寻优时，除了选择初始点 以外，如何确定迭代方向 和步长 成为非常重要的环节，他们将直接决定着搜索的效率、函数值逐步下降的稳定性和优化过程所需的时间等A. 点距准则根据相邻两迭代点 与 间的距离足够小而建立的准则，点距准则可表示为或 Ø 数值迭代终止准则（计算精度 的确定） 有什么缺陷？B. 值差准则根据相邻的两迭代点的函数值下降量足够小而建立的准则绝对下降量准则：相对下降量准则：有什么缺陷？C. 梯度准则根据迭代点的函数梯度达到足够小而建立的准则，表示为或Ø 迭代法必须要解决的三个问题u 迭代算法具有收敛性；u 在收敛性前提下，选择比较好的初始点X(0) 和适宜的终止判据及收敛精度 ；u 选取使目标函数值下降较快的迭代探索方向 S(k) 和最优的迭代步长 α(k) ，确保较快的收敛速度如何确定 S(k) 、α(k) 优化方法 优化设计软件MATLAB 优化工具箱LINGO 交互式的线性和通用优化求解器 (Lingo System Inc.) iSight、ModelCenter等集成优化软件系统CAD/CAE 软件中优化功能作 业P58： 2-1 至 2-4。