第四章：计算机控制系统分析授课人：李会军中国矿业大学信息与电气工程学院李会军稳定性分析• 稳定性的概念 – 什么是稳定性：任何系统在扰动作用下，都会偏离原来的平衡状态所谓 稳定性，是指当扰动作用消失以后，系统能否恢复到原平衡状态的性能 如果系统能恢复平衡状态，则系统是稳定的；反之，系统不稳定；– 稳定性的特点：稳定性是系统的固有特性，与扰动的形式无关，只取决于 系统本身的结构参数；– 稳定性的判别方法连续系统拉氏变换在S平面上判断稳定性 离散系统Z变换在Z平面上判断稳定性2中国矿业大学信息与电气工程学院李会军稳定性分析• S平面和Z平面的关系 – 复变量z和s的关系– S平面与Z平面的映射关系 1、S平面的虚轴映射为Z平面的单位圆；S左半平面映射在Z平面单位圆内 ，右半平面映射在单位圆外；几何位置虚轴 左半平面 右半平面单位圆上任意值几何位置任意值任意值 任意值任意值任意值 单位圆外 单位圆内3中国矿业大学信息与电气工程学院李会军稳定性分析• S平面和Z平面的关系 – S平面与Z平面的映射关系 2、角频率 与Z平面相角的关系Z平面上某点的相角公式为 ，当S平面上某点沿虚轴方向由 变化 到 时，Z平面上对应的点的相角也从 变化到 ；但是，当 变化一 个 时，Z平面上对应点的相角 变化了 ，即转了一周。
因此，若S平面 上某点沿虚轴从 变化到 ，Z平面上对应的点将围绕原点转无穷圈；4中国矿业大学信息与电气工程学院李会军稳定性分析• S平面和Z平面的关系 – S平面与Z平面的映射关系 3、S平面上的主带与旁带在Z平面上的映射 S平面可划分为许多宽度为 的平行带子，其中 的带子称 为主带，其余的称为旁带由于Z平面的相角每隔 转一周，所以S平面的 主带映射为整个Z平面，其余的旁带也都重叠映射在Z平面上；5中国矿业大学信息与电气工程学院李会军稳定性分析• S平面和Z平面的关系 – S平面与Z平面的映射关系 4、S平面的平行线与Z平面的映射关系 等衰减系数线：S平面上与虚轴平行的直线，映射为Z平面上的同心圆； 等频率线：S平面上与实轴平行的直线，映射为Z平面从原点出发的射线；6中国矿业大学信息与电气工程学院李会军稳定性分析• 离散系统的稳定条件 – 连续系统闭环稳定的充要条件：当且仅当系统的闭环特征根全部分布在S 平面的左半平面上；如果有根分布在虚轴或右半平面上，系统不稳定；– 从连续系统到离散系统：离散系统闭环稳定的充要条件是系统的特征根全 部位于Z平面的单位圆内；如果有特征根分布在Z平面的单位圆外或单位圆 上，则系统不稳定；假设离散系统的脉冲传递函数为：当输入信号为单位脉冲信号 时，系统的输出为：7中国矿业大学信息与电气工程学院李会军稳定性分析• 离散系统的稳定条件假设脉冲传递函数有n个互不相同的极点 ，可用部分分式展开如下：进行Z反变换后，得到输出信号的时域形式如下：如果系统稳定，则：该结论在脉冲传递函数具有重根时，仍然成立8中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 朱利-阿斯特隆姆稳定判据 离散系统的特征方程： ， 构造朱利表：—）—）—）—）9中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 朱利-阿斯特隆姆稳定判据– 朱利表的构造方法 1、将特征方程的系数从高次幂到低次幂按顺序排列，作为第1行； 2、将特征方程的系数从低次幂到高次幂按顺序排列，作为第2行； 3、第3行的系数按如下公式计算第三行系数 = 第1行系数 - 第2行系数×上两行末列系数之商计算后，最后一个系数必为 0，这样，每计算一次，系 数就会少一个；10中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 朱利-阿斯特隆姆稳定判据– 朱利表的构造方法 4、第4行(偶数行)系数是第3行系数的倒序； 5、第5行(奇数行)系数的计算方法同第3行，如此反复，直到最后一行的系 数只剩一个元素为止；朱利-阿斯特隆姆稳定判据：如果离散系统特征方程中 ，那么当且仅当 朱利表中所有奇数行第1列系数均大于零时，该方程的全部特征根才位于 单位圆内，系统才是稳定的；如果奇数行第1列的系数中存在小于零的值，则小于零的系数的个数等于 分布在Z平面单位圆外特征根的个数；如果奇数行第1列的系数出现零或存在全零行，需进行特殊处理；11中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 朱利-阿斯特隆姆稳定判据 例1：已知系统的特征方程为 ，判断其稳定性 解：构造朱利表如下：不符合朱利判据，系统不稳定离散系统稳定的必要条件：可先判断特征方程是否符合必要条件，如果不符合，则系统肯定不稳定； 如果符合，在构造朱利表，使用朱利判据判断；—）—）12中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 二阶离散系统的稳定判据 – 已知二阶离散系统的特征方程为 ，系统稳定的充分必 要条件是证明：该二阶系统稳定的必要条件是构造朱利表如下—）根据朱利稳定判据，要使系统稳定，必须：13中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 – 原理：连续系统的劳斯稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来 判断系统的稳定性。
这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平 面的左半部如果将z平面单位圆内区域映射为另一复平面的左半平面， 就可以使用劳斯稳定判据来判断离散系统的稳定性可首先采用双线性变 换方法进行映射变换；–双线性变换I– 双线性变换IIZ平面与W平面的映射关系14中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 – 劳斯判据 1、第一步，假设给定的线性定常系统的特征方程为：将特征方程的系数按照如下形式排成两行：15中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 – 劳斯判据 2、第二步，根据第一步的系数排列，通过规定的运算求取劳斯计算表其中：16中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 – 劳斯判据劳斯计算表的运算工作一直进行到 行，运算完毕的劳斯计算表呈一个 三角形为了简化运算，可以将其中某一行乘以或除以一个正数，不会改 变系统稳定性的结论；劳斯判据描述：一个线性定常系统稳定的充分必要条件是该系统的特征方 程的全部系数都是正数，并且其劳斯计算表中第一列中所有项均为正数； 如果劳斯计算表第一列中出现小于等于零的数值，则该线性定常系统就不 稳定，并且第一列元素符号改变的次数，等于特征方程实部为正数的特征 根的个数；17中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 – 劳斯判据的第一种特殊情况：劳斯表中某一行的第一列项为零，而其余各 项不为零，或不全为零；例2：系统的特征方程为 ，分析稳定性 解：该系统的劳斯表为在计算过程中，由于第3行第一个元素出现了0，致使第四行元素为无穷大 ，使得劳斯表无法继续计算下去18中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 – 解决方法1：用一个很小的正数代替第1 列元素中等于零的元素，继续完成 劳斯表的计算 例如：对上例采用该种解决方法，则劳斯表如下由于劳斯表中第一列存在负数，所以系统不稳定；因为第一列中元素符号 变化了两次，所以存在两个正实部的特征根；19中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 – 解决方法2：使用 乘以原有特征方程，其中 为任意正数，再对新的 特征方程应用劳斯判据 例3：系统特征方程为 ，试用劳斯判据确定具有正实部特征 根的个数 解：由特征方程的系数，可计算劳斯表如下劳斯表第一列出现了0元素，可以将原特征方程乘以 如下20中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法列出新的劳斯表如下：由劳斯表可知，劳斯表第一列元素的符号变化了两次，因此存在两个具有正 实部的特征根21中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 – 第二种特殊情况 • 情况描述：劳斯表中的某一行中的元素全部为零• 产生原因：系统中存在大小相等符号相反的实根或共轭纯虚根等• 系统稳定性：出现这种情况时，系统肯定是不稳定的• 处理方法：利用元素全为零的行上面一行的元素作为系数，构造一个 辅助方程 ，将此辅助方程对复变量 求导，用所得导数方程的 系数取代全为零行的元素，然后完成劳斯表的计算；• 辅助函数的求解：通过求解构造的辅助方程，可以求解出系统大小相 等符号相反的实根或共轭纯虚根；22中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 – 第二种特殊情况 例4：特征方程 ，判断系统的稳定性 解：由系统的特征方程计算劳斯表如下23中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法其中，第4行出现了全零行，以第3行的元素作为系数，构造辅助方程如下：对此辅助方程求 的导数，可得：用上述方程的系数代替原劳斯表中第4行中的零元素，即可完成劳斯表的计算因为劳斯表中第一列元素全部为正数，所以，系统特征方程在 平面的右半平 面没有特征根。
但由于劳斯表中出现了全为零元素的行，故特征方程存在对 称于原点的特征根，即共轭纯虚根，所以该控制系统是不稳定的；求解辅助方程，可得：24中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 例5：已知离散系统如下，其中K=1，T=1s，分析其稳定性解：系统的开环和闭环脉冲传递函数如下25中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法 系统的特征方程为：如果采用双线性变换I，即 ，代入特征方程式如下：劳斯表根据劳斯判据，采样系统是稳定的26中国矿业大学信息与电气工程学院李会军离散系统的稳定判据• 修正劳斯判据法如果采用双线性变换II，即 ，代入特征方程式如下：劳斯表根据劳斯判据，采样系统是稳定的27中国矿业大学信息与电气工程学院李会军采样周期与系统稳定性• 采样周期对系统稳定性的影响 例6：采样系统如图所示， ，分析采样周期对稳定性的影响解：系统的开环脉冲传递函数为系统的闭环特征方程为：28中国矿业大学信息与电气工程学院李会军采样周期与系统稳定性• 采样周期对系统稳定性的影响 要使系统稳定，特征根必须在Z平面的单位圆内，即：当T=1，则 时系统稳定 当T=0.1，则 时系统稳定 当T=0.01，则 时系统稳定因此，采样周期越小，使系统稳定的k的取值范围越大。
一般来说，随着 采样周期的减小，系统的稳定性将增强；29中国矿业大学信息与电气工程学院李会军课后作业– 课后题4-530。