第十章 波动,物理学,第五版,简谐波,（harmonic waves),:,波源的振动是简谐振动，介质中的质元都作简谐振动平面简谐波,（plane harmonic waves）,波面是平面的简谐波波线,波面,平面简谐波,等幅平面简谐波,：,介质不吸收波动的能量，介质中的质元都作振幅相等的简谐振动,10-2 平面简谐波的波函数,1,一、（等幅）平面简谐波的波函数,波函数:能够描述波动中所有质点运动状态的函数 y=y(x,t),介质中所有质点均作同频率、,同振动方向、同振幅的简谐振动平面简谐波函数的一般形式应为：,关键问题：确定位于,x,处的质点的振动初相,(,x,),右行波:沿x轴正向传播,左行波:沿x轴负向传播,2,沿波的传播方向,各质元的振动相位依次落后波动是振动相位的传播,图中,b,点比,a,点的相位落后,a,点的振动传到,b,点需时间：,在这段时间内,a,点的振动相位增加量,（即旋转矢量又转过的角度）,为：,沿着波动传播的方向上相距L的两个质元间的振动相位差如何？,x,a,b,L,u,传播方向,3,设原点振动表达式为：,沿波线上相距为一个波长的两点，振动的相位差为2,4,所以，,p,点的振动方程为：,P点的振动,初相位：,P点与O点的相位差为：,为坐标原点O点在t=0时刻的振动相位,设为已知.,右行波,这就是平面简谐波的波函数，或称为波动方程,P,点在t时刻的位移等于原点处质点,在 时刻的位移,5,左行波的波函数：,p,点的相位超前于O点相位：,所以,p,点的振动方程，也就是左行波的波函数为：,6,波函数的几种常用形式,7,演示实验安排,周三,第3节 7班,第4节 8班,8,二 波函数的物理含义,（波具有时间的周期性）,1,一定，变化,表示 点处质点的振动方程（的关系）,9,波线上各点的简谐运动图,10,y,o,x,2,一定 变化,该方程表示 时刻波传播方向上各质点的位移,即 时刻的波形（的关系）,11,O,O,时刻,时刻,3,.,t,与,x,都发生变化,波在t时刻x处的相位经,t,时间后传到x+,x,处，传播的距离是u,t,总之：当,t,x,都发生变化时，波函数就描述了波的传播过程。
波函数就是普适性的振动方程.,12,三、有关波函数的应用,1、已知波函数即 均为已知.,1)从波函数表达式中求:,利用比较法:将所给的波函数化为标准形式,再与标准式比较,得到所求.,13,例1 已知某一简谐波的波函数为：,求该波的波长、波速、周期、和坐标原点的振动初相,解,将原式变形为标准形式：,立即可得：,14,2）利用波函数研究质点的运动,任意,x 处,质点的运动方程为：,该质点的速度和加速度分别为：,该质点的振动初相位为：,15,例2 已知某一简谐波的波函数为：,求波线上x=10m处的质元在t=5s时的位移，速度与加速度；再求该质元与x=25m处质元的振动相位差解,将x=10m带入波函数：,这就是该质元的运动方程速度和加速度分别为：,16,将t=5s分别带入三个式子，即得所求17,2、建立平面简谐波的波函数,已知质元的振动情况，确定波函数难点是确定坐标原点的初相,例3 已知一沿X轴正向传播的平面简谐波的振幅A、周期T、波速ut=0时，x=0处的质点位于-A/2处且向位移的负方向运动试求该波的波函数解,确定坐标原点的振动初相,0,由：t=0时，x=0处的质点位于-A/2处,且向位移的负方向运动，知,18,例4.一平面简谐波，波长为12m，沿 ox轴负向传播.图（a）所示为x=1.0m处质点的振动曲线，求波动方程。
0.40,0.20,5.0,t/s,y/m,o,0.4,0.2,t=0,t=5,t,解：t=0时此质点的相位,t=5s时质点第一次回到平衡位置所以,x=1m处质点的运动方程为,19,把u=1.0m/s，x=1.0m代入波动方程一般形式,并与x=1.0m处的运动方程作比较，得,波动方程为,20,例5 已知一沿X轴负向传播的平面简谐波在t=0时的波形曲线如图所示试求该波的波函数,解,确定坐标原点的振动初相,0,由图知：t=0时，x=0处的质点位于A/2处,且向位移正方向运动,由图知：t=0时，x=1m处的质点位于平衡位置处且向位移负方向运动,X(m),A,-A,A/2,Y,u=100m/s,0,1,21,22,复 习,23,15-3,波的能量和能流,一、波的能量和能量密度,波不仅是振动状态(相位)的传播，而且也是伴随着振动,能量的传播,以棒中的纵波为例,有一,平面简谐波：,质量为,在x处取一体积元,+,振动动能 形变势能,=,波的能量,x,O,x,O,24,质元的动能为：,（可以证明）因为形变该质元的弹性势能为：,体积元内媒质质点的总能量为：,dW,k,=d,W,p,质元的振动速度,25,波动质元：,26,(1)固定,x,物理意义,dW,k,=d,W,p,(2)固定,t,o,y,x,W,k,W,p,t=t,0,u,(1/4),2,A,2,y,x=x,0,o,t,T,W,k,W,p,(1/4),2,A,2,dW,p,均随,t,周期变化,dW,k,、,dW,p,均随,x,周期变化,dW,k,、,y,=0,、d,W,p,最大,d,W,k,y,最大,、,dW,p,为 0,d,W,k,能量,极小,能量,极大,27,说明：,2）在波传动过程中,任意质元的能量不守恒.其与邻近,的质元进行能量交换,表明了波的传播正是能量的传播.,3)以上结论针对棒中的纵波得出,对其余的波虽能量的,具体形式不同,但动能势能同相位的结论仍成立.,1)任意时刻，质元动能与势能相等，即动能与势能同时达到最大或极小。
即同相的随时间变化这不同于孤立振动系统28,孤立,谐振子,振动,y,x=x,0,o,t,T,W,k,W,p,(1/4),2,A,2,波动,29,说明：,2、能量密度与振幅平方,频率平方 和质量密度,均成正比能量密度：介质中单位体积内的波动能量平均能量密度：一个周期内能量密度的平均值1、能量密度随时间周期性变化，其周期为波动周期的一半30,能流密度:(波的强度),通过垂直于波动传播方向单位面,积的能流,平均能流：,在一个周期内能流的平均值能流（flow of energy):,单位时间内垂直通过某一面积的能量称为波通过该截面的能流P,二.,能流和能流密度,dt时间内通过S的能量应等于体积Sudt中的能量,声学中声波的强度称为声强能流密度是矢量，其方向与波速方向相同u,d,t,S,31,。