椭圆典型题型归纳 ( 学生版 )龙鳞数理化 高二数学精品教程椭圆典型题型归纳题型一 . 定义及其应用例 1. 已知一个动圆与圆 C : (x 4) 2 y2 100 相内切，且过点 A(4,0) ，求这个动圆圆心 M 的轨迹方程；例 2. 方程 3 ( x 1)2 ( y 1)2 x 2 y 2 所表示的曲线是练习：1. 方 程 ( x 3)2y2( x 3)2y26对应的图形是（）A.直线B. 线段C. 椭圆D. 圆2. 方程 (x 3)2y2( x 3)2y210 对应的图形是（）A.直线B.线段C.椭圆D. 圆3. 方程 x2( y 3)2x2( y 3)210 成立的充要条件是（）A. x2y21B.x2y21C.x2y 2125162591625D. x2y21925MRgong 第 2页龙鳞数理化 高二数学精品教程4. 如果方程 x2 ( y m) 2 x2 ( y m)2 m 1表示椭圆，则m 的取值范围是5. 过椭圆 9x2 4 y2 1 的一个焦点 F1 的直线与椭圆相交于 A, B 两点，则 A, B 两点与椭圆的另一个焦点F2 构成的 ABF2 的周长等于 ；6. 设圆 ( x 1)2 y2 25 的圆心为 C ，A(1,0) 是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段 AQ 的垂直平分线与CQ的连线交于点M ，则点M 的轨迹方程为 ；题型二 . 椭圆的方程（一）由方程研究曲线例 1. 方程 x2y21 的曲线是到定点和1625的距离之和等于的点的轨迹；（二）分情况求椭圆的方程例 2. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的 3 倍，并且过点 P(3,0) ，求椭圆的方程；（三）用待定系数法求方程例 3. 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 P( 6,1)、P( 3,2) ，求椭圆的方程；12MRgong 第 3页龙鳞数理化 高二数学精品教程例 4. 求经过点 (2, 3) 且与椭圆 9x2 4 y2 36 有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆x2y21 共焦点的椭圆可设其a2b2方程为x2y22) ；a2k b2k1(kb（四）定义法求轨迹方程；例 5. 在 ABC 中， A, B,C 所对的三边分别为 a,b,c ，且B( 1,0), C (1,0) ，求满足 b a c且 sinB，sinA ，sinC 成等差数列时顶点 A 的轨迹；练习：1.三角形 ABC 中， B（-2,0），C（2，0），AB 、 AC 边上的中线长之和为 30，求三角形 ABC 的重心的轨迹方程。
2 22.已知动圆 C 和定圆 O：（x-3） +y = 64 相内切，且 A（3，0）在动圆 C 上，求动圆圆心的轨迹MRgong 第 4页龙鳞数理化 高二数学精品教程方程五）相关点代入法求轨迹方程；例 6. 已知 x 轴上一定点 A(2 ，-3)，Q 为椭圆 x2 y2 14上任一点，求 AQ 的中点 M 的轨迹方程；（六）直接法求轨迹方程；例 7. 设动直线 l 垂直于 x 轴，且与椭圆 x2 2 y2 4 交于 A, B 两点，点 P 是直线 l 上满足 PA gPB 1的点，求点P 的轨迹方程；（七）列方程组求方程例 8. 中心在原点， 一焦点为 F (0, 50) 的椭圆被直线y 3x 2 截得的弦的中点的横坐标为1 ，求此椭圆的2方程；MRgong 第 5页龙鳞数理化 高二数学精品教程题型三 . 焦点三角形问题例 1. 已知椭圆 x2y21 上一点 P 的纵坐标为 5，椭16253圆的上下两个焦点分别为F2、 F1 ，求 PF1 、 PF2 及cos F1PF2 ；题型四 . 椭圆的几何性质例 1. 已知 P是椭圆x2y21 上的点，的纵坐标为5，a2b23、 分别为椭圆的两个焦点， 椭圆的半焦距为c，F1 F2则 PF1 gPF2 的最大值与最小值之差为例 2. 椭圆 x2y2的四个顶点为 A, B, C, D ，若22 1 (a b 0)ab四边形 ABCD 的内切圆恰好过焦点， 则椭圆的离心率为；例 3. 若 椭 圆 x2y21的离心率为1， 则k 142MRgong 第 6页龙鳞数理化 高二数学精品教程k ；例 4. 若 P为椭圆两个焦点，且心率为x2 y2a2 b2 1(a b 0) 上一点， F1 、 F2 为其 PF1F2 150 ， PF2 F1 750 ，则椭圆的离题型五 . 求范围例 1.方程x2y21表示准线平行于x轴的椭圆，m2(m 1)2求实数 m 的取值范围；题型六 . 椭圆的第二定义的应用例 1. 方程 2 ( x 1)2 ( y 1)2 x y 2 所表示的曲线是例 2. 求经过点 M (1,2) ，以 y 轴为准线，离心率为 1 的2椭圆的左顶点的轨迹方程；例 3. 椭圆 x2 y2 1 上有一点 P ，它到左准线的距离25 9等于 5 ，那么 P 到右焦点的距离为2例 4．已知椭圆 x2y 21，能否在此椭圆位于 y 轴43左侧的部分上找到一点 M ，使它到左准线的距离为它到两焦点 F1 , F2 距离的等比中项，若能找到，MRgong 第 7页龙鳞数理化 高二数学精品教程求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。
例 5．已知椭圆 x2y21内有一点 A(1, 1) ， F1 、 F2 分别95是椭圆的左、右焦点，点P 是椭圆上一点．求PA3 PF2 的最小值及对应的点 P 的坐标．2题型七 . 求离心率例1. 椭圆 x2y21 (a b 0) 的左焦点为 F1 ( c,0) ， A( a,0) ，22abB(0, b) 是两个顶点，如果 F1 到直线 AB 的距离为b ，则椭圆的离心率 e7例 2. 若 P为椭圆两个焦点，且率为x2 y2a2 b2 1(a b 0) 上一点， F1 、 F2 为其PF1F2 ， PF2 F1 2 ，则椭圆的离心MRgong 第 8页龙鳞数理化 高二数学精品教程例 3. F1 、 F2 为椭圆的两个焦点，过 F2 的直线交椭圆于 P, Q 两点， PF1 PQ ，且 PF1PQ ，则椭圆的离心率为；题型八 . 椭圆参数方程的应用例1. 椭圆 x2y21 上的点 P 到直线 x 2 y 7 0 的距离43最大时，点 P 的坐标例 2. 方程 x2 sin y2 cos 1( 0 ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆，求 的取值范围；题型九 . 直线与椭圆的关系 （1）直线与椭圆的位置关系例 1.当 m 为 何 值 时 ， 直 线 l : y x m 与 椭 圆9x2 16 y2144 相切、相交、相离？例 2. 曲线 2 x2 y2 2a2（ a 0）与连结 A( 1,1)， B(2,3) 的线段没有公共点，求 a 的取值范围。
MRgong 第 9页龙鳞数理化 高二数学精品教程例 3. 过点 P( 3, 0) 作直线 l 与椭圆 3x24y 212 相交于A, B 两点， O 为坐标原点，求OAB 面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值例 4.求直线 x cosy sin2 和椭圆 x23y 26 有公共点时，的取值范围 (0) 二）弦长问题例 1. 已知椭圆 x2 2y2 12 ， A 是 x 轴正方向上的一定点。