第8 章 季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列，因此我们为其单辟一章在引 入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广，用 来描述季节时间序列另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子8.1 基本概念 许多商业和经济时间序列都包含有季节现象，即在一段时期后不断地对自 身作有规律的重复重复现象出现的最小时间间隔称为季节周期例如，并吉林 小玲的季度序列在夏季最高，序列在每年都重复这一现象，相应的季节周期为 4 类似地，汽车的月度销量和销售额在每年 7 月和 8 月也趋于下降，因为这是经常 更换新的车型而玩具的月销售量在每年的12 月增加后两种情形的季节周期 是 12 季节现象源于一些因素，如气候影响许多商业和经济活动，如旅游和房 屋建筑；一些习惯性事件，如圣诞节就与珠宝、玩具、贺卡及邮票的销售密切相 关；夏季几个月的毕业典礼直接关系到这几个月的劳动力状况作为说明的例子，图8-1 给出了 1971-1981年美国月度就业人数，调查对象 是美国16-19 周岁的男性序列的季节特性是明显的，在夏季几个月人数急剧增 加，在学期结束的 6 月出现高峰，而在秋季学校开学后就下降了。
这种现象每 12个月重现一次，因而季节周期是 128.2 传统 方法s=和代期忖览T=全删呼刊总和i23■… s总利平均…瓦乙+丄■■瓦+3■■ ■ ■ 血■ ■T.2■■纽 n m+2^（TI-I ）.^+3… Znj爲总和rLT2.T3.…几’TT/s2i.… £n・T/nT/ns巧.=第J个季节总和 迅.=第J个季节侍均通常，时间序列被看做由趋势项（Pt），季节项（St）以及不规则分量（et）混合而 成如果这些分量被假定为是可加的，可以将时间序列Zt写成Zt =Pt+ St+ et （8.2.1）为了估计这些分量，文献中引入了一些分解方法8.2.1 回归方法 在回归方法中，可加性时间序列可以写成下面的回归模型Z =P+ S+ et t t t=a + 工m a U +工 B V + e （8.2.2）0 i=1 i it j jt tj =1其中p =a +X m a U , U,是趋势-循环变量；St=工B V和V是季节t 0 i=1 i it it t j jt jtj=1变量例如，线性的趋势-循环分量Pt可以写成P =a +a t （8.2.3）t 0 1更一般地，循环-趋势分量可以写成关于时间的 m 次多项式：P =a + Y m ati （8.2.4）t 0 i =1 i类似地，季节分量 St 可以表示为季节虚拟（示性）变量的线性组合，或表示成 各种频率正弦-余弦函数的线性组合。
例如，一个周期为 s 的季节序列可以写成S =YB D （8.2.5）t j jtj=1其中，如果t对应于季节的第j期，有D =1，对于其他情况就为0；注意，当季jt节周期为s时，我们只需要（s-1 ）个季节虚拟变量换言之，令Bs = 0使得系数Bs （其中，j丰s ）表示在周期为s时第j期的季节影响另一方面，St也可以 写成S =艺卜 sin（也）+Y cos（应,8.2.6)模型( 8.2.2)8.2.7)8.2.8)t I j s j sj=1其中，［s/2］是s/2的整数部分这类模型将在第11章讨论于是, 成为Z =a +瓦ati + 刃B D + et 0 i j jt ti=1 j=1或者Z =a +迟ati + 艺sin(2^jt)+y cos(2^jt t 0 i I j s j s i=1 j=1对于给定数据集和特定的m和s的值，可用标准最小二乘回归方法得到参数ai，卩j和和 j的估计值a-，B j和和 jPt，St，和方程（827）中的et的估计值可由下式给出：P =at0+ Xa tiii =18.2.9a)S上『Dt j jtj=1和z—X z—Xe = z - p - st t t t对于方程(8.2.8)可由下式给出P =a +Xa tit 0 ii=18.2.9b)(8.2.9c)8.2.10a)0 sin(2兀jt2兀jtj=1z—X z—X=Z -P -Sttt8.2.10b)8.2.10c)8.2.2 移动平均方法移动平均方法基于这样的假定：一个季节时间序列的年度总和中只有少量的季节变量，因此，令N =P + e为序列的非季节变量，而非季节变量的估计可以 t T t用对称移动平均算子得到，即8.2.11)N =艺九Zt i t -ii =- m其中，m为一正数，九为常数，且有—以及工m九=1。
季节分量的估计i i=- m iZ—s Z—XS =Z -Nttt可由原序列减去Nt得到，即8.2.12)前面的估计可以通过重复各种移动平均算子得到利用移动平均方法的成功例子是人口普查局X-12方法，该方法被政府和工业企业广泛地采用被消除了季节影响的序列，即 Z -S ，称为季节调整序列因此，前述季tt节分解方法也是熟知的季节调整方法人们普遍认为季节分量是有规律的特征， 能够以合理的精度进行预报，所以政府和产业对于调整序列的季节性有着很大的 兴趣这一专题在这里只是简要的论及，感兴趣的读者可以参考由 Zellne（r 1978） 编辑的优秀的论文集有关该专题最新的文章，主要有 Dagum（1980）， Pierce（1980）, Hillmer 和 Tiao（1982），Bell 和 Hillmer （1984）,以及 Cupingood 和Wei（1986）8.3季节性ARIMA模型8.2 节给出的传统方法基于季节分量是确定性的，且与其他非季节分量相独 立然而，许多时间序列并没有那么好的性质更多的情况是季节分量可以是随 机的，并且与非季节分量相关本节我们将前一章讨论的ARIMA模型推广到季 节时间序列。
为了说明问题，我们考察美国 1971-1981年16~19 岁男性的月度就业统计 数字， Buys-Ballot 表在表 8-2 中给出该表显示就业统计数字不仅月与月相关， 而且年与年也相关因此，为了对 6月份的就业水平进行预报，我们不仅要考察 相邻月份(如5月和7月)的就业水平，而且还要考察前几年 6月份的就业水平表8.2匸.S.月度就业人数(千人)统计数宇的Buys-BaUot表年Jan.Feb.NIzir.Apr・hlay.JuneJulyAug.Sep・Oct.Nov.Dec.总数平均19717076556385745529809266805976376607018310692.51972758835747617554929815702S105886696758529710.719736106516055925278988396145&15766726517829652. d197471471567258856710579196837717088248359083756.919769809699318928281350121897786383886687711589965.71976100795190691181211721101900&1185392288611262938.519778969369027657351234105286879®75182072510182873.5197882189585173463699-19907507277547928179761813.4197985688683373367&10049567777617097777719738811.51980S108477747208981210116893685391095387410963913.5819811026103094686085611901038883S138571016100311M8962.33总和9215931088057986759012018115028770828881S18971881810909-19091.17837.7851.8800.47266901095.21004.7797.2753.3743.7815.5801.69917.6826.46通常Buys-Ballot表意味着｛z ｝包含周期内部和周期之间的相关关系。
周期t内部的关系表示…，Zt2, Zt], Zt，Zt+1，Zt+2，…之间的相关性周期之间相关 关系表示…，Zt2，Zt，Zt，Zt+，Zt+2，…之间的相关性t-2s t-s t t+s t+2s假设我们不知道｛Z ｝包含周期之间的季节性变化，而对序列拟合一个非t季节性的ARIMA模型，即Q (B)(1— B)dZ =e (B)b (8.3.1)p t q t显然｛bt[不是白噪声序列，因为它包含未被解释的周期(季节)之间的相关关系令j=1,2,3 …8.3.2)E (b — |n )(b — p ) t — js b t bG 2b是｛，的自相关函数，它描述了未解释的周期之间的相关关系由此不难8.3.3)得到，周期之间的相关关系也能用ARIMA模型加以描述:①(Bs)(1— Bs)Db =0 (Bs)a p t Q t其中①(Bs) = 1 一① Bs 一① B2s — 一①(Bps ) p 1 2 P并且0 (Bs ) = 1 —0 Bs —0 B2s — —0 (BQs)Q 1 2 Q这些BS的多项式没有共同的根，且根都在单位圆之外，｛a ｝是0均值的白 t噪声过程为了说明问题，假设式(8.3.3)中P=1， s=12， D=0, Q=0,则(1—① Bi2)b = a (8.3.4)tt若①=0.9, {b}的自相关函数成为P = (0.9)j，如图8-2所示。
t j (12)Pk1.0・0.6・0.4・0.2・-0.2 -0.4'-o.a--0.8>-1.0・图 8.2 的 ACF8.3.5)类似地，若P=0，s=12, D=0，Q=1，则有b = (1—0 B12 ) a tt若0=0.8，自相关函数成为—0.8j(12)1.64I 。