高考数学复习资料：抛物线经典例题讲解一个人只有亲眼看到自己伤疤的时候才知道什么是痛，什么是对与错下面是为您推荐高考数学复习资料：抛物线经典例题讲解 （1）抛物线二次曲线的和谐线 椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章. 【例1】P为抛物线 上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ） 相交 相切 相离 位置由P确定 【解析】如图，抛物线的焦点为 ，准线是 .作PH 于H，交y轴于Q，那么 ， 且 .作MNy轴于N则MN是梯形PQOF的 中位线， .故以 PF为直径的圆与y轴相切，选B. 【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的. （2）焦点弦常考常新的亮点弦 有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的. 【例2】 过抛物线 的焦点F作直线交抛物线于 两点，求证： （1） （2） 【证明】（1）如图设抛物线的准线为 ，作 ， .两式相加即得： （2）当ABx轴时，有 成立； 当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为： .代入抛物线方程： .化简得： ∵方程（1）之二根为x1，x2， . . 故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有 成立. （3）切线抛物线与函数有缘 有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功. 【例3】证明：过抛物线 上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0） 【证明】对方程 两边取导数： .由点斜式方程： y0y=p（x+x0） （4）定点与定值抛物线埋在深处的宝藏 抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获. 例如：1.一动圆的圆心在抛物线 上，且动圆恒与直线 相切，则此动圆必过定点 （ ） 显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线 的通径长为2p； 3.设抛物线 过焦点的弦两端分别为 ，那么： 以下再举一例 【例4】设抛物线 的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点 【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明. 【证明】如图设焦点两端分别为 ， 那么： 设抛物线的准线交x轴于C，那么 . 这就说明：以A1B1为直径的圆必过该抛物线的焦点. ● 通法 特法 妙法 （1）解析法为对称问题解困排难 解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）. 【例5】（07.四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点 A、B，则|AB|等于（ ） A.3 B.4 C.3 D.4 【分析】直线AB必与直线x+y=0垂直，且线段 AB的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下. 【解析】∵点A、B关于直线x+y=0对称，设直线AB的方程为： . 由 设方程（1）之两根为x1，x2，则 . 设AB的中点为M（x0，y0），则 .代入x+y=0：y0= .故有 . 从而 .直线AB的方程为： .方程（1）成为： .解得： ，从而 ，故得：A（-2，-1），B（1，2）. ，选C. （2）几何法为解析法添彩扬威 虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏.针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法. 【例6】（07.全国1卷.11题）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，经过 且斜率为 的直线与抛物线在 轴上方的部分相交于点 ， ，垂足为 ，则 的面积（ ） A. B. C. D. 【解析】如图直线AF的斜率为 时AFX=60. △AFK为正三角形.设准线 交x轴于M，则 且KFM=60， .选C. 【评注】（1）平面几何知识：边长为a的正三角形的 面积用公式 计算. （2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A的坐标，，再计算正三角形的边长和面积.虽不是很难，但决没有如上的几何法简单. （3）定义法追本求真的简单一着 许多解析几何习题咋看起来很难.但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07.湖北卷.7题）双曲线 的左准线为 ，左焦点和右焦点分别为 和 ；抛物线 的线为 ，焦点为 与 的一个交点为 ，则 等于（ ） A. B. C. D. 【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧. 如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c，离心率为e，作 ，令 .∵点M在抛物线上， ， 这就是说： 的实质是离心率e. 其次， 与离心率e有什么关系?注意到： . 这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于 .选 A.. （4）三角法本身也是一种解析 三角学蕴藏着丰富的解题资源.利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施九九归一达到解题目的. 因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算. 【例8】（07.重庆文科.21题）如图，倾斜角为a的直线经过抛物线 的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。
（Ⅰ）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程； （Ⅱ）若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交 x轴于点P，证明|FP|-|FP|cos2a为定值，并求此定值 【解析】（Ⅰ）焦点F（2，0），准线 . （Ⅱ）直线AB： 代入（1），整理得： 设方程（2）之二根为y1，y2，则 . 设AB中点为 AB的垂直平分线方程是： . 令y=0，则 故 于是|FP|-|FP|cos2a= ，故为定值. （5）消去法合理减负的常用方法. 避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题.其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的不战而屈人之兵. 【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线 ：（1） 与抛物线 有两个不同的交点A和B；（2）线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分.若不存在，说明理由，若存在，求出直线 的方程. 【解析】假定在抛物线 上存在这样的两点 ∵线段AB被直线 ：x+5y-5=0垂直平分，且 . 设线段AB的中点为 .代入x+5y-5=0得x=1.于是： AB中点为 .故存在符合题设条件的直线，其方程为： （6）探索法奔向数学方法的高深层次 有一些解析几何习题，初看起来好似树高荫深，叫樵夫难以下手.这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想证明再猜想再证明.终于发现无限风光在险峰. 【例10】（07.安徽卷.14题）如图，抛物线y=-x2+1与x轴的正半轴交于点A，将线段OA的n等分点从左至右依次记为P1，P2，，Pn-1，过这些分点分别作x轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q1，Q2，，Qn-1，从而得到n-1个直角三角形△Q1OP1， △Q2P1P2，， △Qn-1Pn-1Pn-1，当n时，这些三角形的面积之和的极限为 . 【解析】∵ 设OA上第k个分点为 第k个三角形的面积为： . 故这些三角形的面积之和的极限 抛物线定义的妙用 对于抛物线有关问题的求解，若能巧妙地应用定义思考，常能化繁为简，优化解题思路，提高思维能力。
现举例说明如下 一、求轨迹（或方程） 例1. 已知动点M的坐标满足方程 ，则动点M的轨迹是（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 解：由题意得： 即动点 到直线 的距离等于它到原点（0，0）的距离 由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线 为准线的抛物线 故选C 二、求参数的值 例2. 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点 到焦点距离为5，求m的值 解：设抛物线方程为 ，准线方程： ∵点M到焦点距离与到准线距离相等 解得： 抛物线方程为 把 代入得： 三、求角 例3. 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影分别为 ，则 __________ A. 45 B. 60 C. 90 D. 120 图1 解：如图1，由抛物线的定义知： 则 由题意知： 即 故选C 四、求三角形面积 例4. 设O为抛物线的顶点，F为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，若 ， 求△OPQ的面积 解析：如图2，不妨设抛物线方程为 ，点 、点 图2 则由抛物线定义知： 又 ，则 由 得： 即 又PQ为过焦点的弦，所以 则 所以， 点评：将焦点弦分成两段，利用定义将焦点弦长用两端点横坐标表示，结合抛物线方程，利用韦达定理是常见的基本技能。
五、求最值 例5. 设P是抛物线 上的一个动点 （1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线 的距离之和的最小值； （2）若B（3，2），求 的最小值 解：（1）如图3，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是 由抛物线的定义知：点P到直线 的距离等于点P到焦点F的距离 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小 显然，连结AF交曲线于P点，则所求最小值为 ，即为 图3 （2）如图4，自点B作BQ垂直准线于Q交抛物线于点 ，则 ，则有 即 的最小值为4 图4 点评：本题利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出两点间线段距离最短，使问题获解 六、证明 例6. 求证：以抛物线 过焦点的弦为直径的圆，必与此抛物线的准线相切 证明：如图5，设抛物线的准线为 ，过A、B两点分别作AC、BD垂直于 ，垂足分别为C、D取线段AB中点M，作MH垂直 于H 图5 由抛物线的定义有： ∵ABDC是直角梯形 即 为圆的半径，而准线过半径MH的外端且与半径垂直，故本题得证。
抛物线与面积问题 抛物线与面积相结合的题目是近年来中考数学中常见的问题解答此类问题时，要充分利用抛物线和面积的有关知识，重点把握相交坐标点的位置及坐标点之间的距离，得出相应的线段长或高，从而求解 例1. 如图1，二次函数 的图像与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（-1，0）点C（0，5）、点D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点 图1 （1）求抛物线的解析式； （2）求△MCB的面积 解：（1）设抛物线的解。