固体物理学部分习题与答案

1《《固体物理学固体物理学》》习题解答习题解答黄昆 原著 韩汝琦改编 （陈志远解答，仅供参考）第一章第一章 晶体结构晶体结构1.11.1、、 解解：实验表明，很多元素的原子或离子都具有或接近于球形对称结构因此，可以把这些原子或离子构 成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成这样，一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的小球按点 阵排列堆积起来的它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比，即：晶体原胞的空间利用率， VcnVx （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1）a=2r， V=，Vc=a3，n=13r34∴52. 06r8r34ar34x3333  （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG=x334ar4a3n=2, Vc=a3∴68. 083) r334(r342ar342 x3333  （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC=r22a, r4a2n=4，Vc=a374. 062) r22(r344ar344 x3333  （4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6=260sinaa6SABO2a233晶胞的体积：V=332r224a23a38a233CSn=12=6个 3212611274. 062r224r346 x33 （5）对于金刚石结构，晶胞的体对角线BG= n=8, Vc=a3 3r8ar24a3234. 063r 338r348ar348 x33333  1.21.2、试证：六方密排堆积结构中、试证：六方密排堆积结构中633. 1)38(ac2/1证明：在六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、O的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形，第二层硬 球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于是： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体。

…1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aajkaaikaaij   rrrrrrrrr由倒格子基矢的定义：1232()baarrr，31230,,22(),0,224,,022aaaaaaaaaa rrrQ223,,,0,()224,,022ijkaaaaaijkaa rrrrrrrr213422()()4abijkijkaa  rrrrrrr同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同232()2()bijkabijkarrrrrrrr所以，面心立方的倒格子是体心立方2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）：123()2()2()2aaijkaaijkaaijk    rrrrrrrrrrrr3由倒格子基矢的定义：1232()baarrr，3123,,222(),,2222,,222aaaaaaaaaaaaa rrrQ223,,,,()2222,,222ijkaaaaaajkaaarrrrrrr213222()()2abjkjkaarrrrr同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。

232()2()bikabijarrrrrr所以，体心立方的倒格子是面心立方1.5、证明、证明倒格子矢量倒格子矢量垂直于密勒指数为垂直于密勒指数为的晶面系的晶面系1 1223 3Ghbh bh bvvvv1 23()hh h证明：因为，33121323,aaaaCACBhhhhvvvvuu u ruu u r1 1223 3Ghbh bh bvvvv利用，容易证明2ijija bvv1 2 31 2 300h h hh h hGCAGCBuu u rvuu u rv所以，倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系1 1223 3Ghbh bh bvvvv1 23()hh h1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为、对于简单立方晶格，证明密勒指数为的晶面系，面间距的晶面系，面间距满足：满足：，，( , , )h k ld22222()dahkl其中其中为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理为立方边长；并说明面指数简单的晶面，其面密度较大，容易解理a解：简单立方晶格：，123aaarrv123,,aaiaajaakvvvvvv由倒格子基矢的定义：，，23 1 1232aaba aarrr rrr31 2 1232aaba aarrr rrr12 3 1232aaba aarrr rrr4倒格子基矢：123222,,bibjbkaaavvvvvv倒格子矢量：，123Ghbkblbvvvv222Ghikjlkaaavvvv晶面族的面间距：()hkl2dG v2221( )( )( )hkl aaa 2 2 222()adhkl面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大，晶面上格点的密度越大，单位表面的能量越小，这样的晶面 越容易解理。

1.9、画出立方晶格（、画出立方晶格（111）面、）面、 （（100）面、）面、 （（110）面，并指出（）面，并指出（111）面与（）面与（100）面、）面、 （（111）面与）面与 （（110）面的交线的晶向面的交线的晶向解：(111)1、(111)面与(100)面的交线的 AB，AB 平移，A 与 O 点重合，B 点位矢：，BRajak vvv(111)面与(100)面的交线的晶向，晶向指数ABajak uuu rvv[011](111)2、(111)面与(110)面的交线的 AB，将 AB 平移，A 与原点 O 重合，B 点位矢：，(111)BRaiaj vvv面与(110)面的交线的晶向，晶向指数ABaiaj uuu rvv[110]5第二章第二章 固体结合固体结合2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（）和库仑相互作用能，设离子的总数为）和库仑相互作用能，设离子的总数为2ln2 2N＜解＞ 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的离子键，取任一负离子作参考离子（这样 马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号，遇负离子取负号） ，用 r 表示相邻离子间的距 离，于是有( 1)11112[...]234jijrrrrrr前边的因子 2 是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面，一个在其右面，故对一边求ir和后要乘 2，马德隆常数为234 (1)...34nxxxxxxQl1112[1...]23422n l6当 X=1 时，有 1111...2234n l2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为、若一晶体的相互作用能可以表示为( )mnu rrr 试求：（试求：（1）平衡间距）平衡间距；；0r（（2）结合能）结合能（单个原子的）（单个原子的） ；；W （（3）体弹性模量；）体弹性模量；（（4）若取）若取，计算，计算及及的值。

的值02,10,3 ,4mnrA WeV解：（解：（1））求平衡间距求平衡间距 r0由，有：0)(0rrdrrdumnnmnmmn nmrrn rm   1101 .01 00 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来，这个能量 称为结合能（用 w 表示） （（2）求结合能）求结合能 w（单个原子的）（单个原子的） 题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单元是单个原子，而非原子团、离子 基团，或其它复杂的基元 显然结合能就是平衡时，晶体的势能，即 Umin即： （可代入 r0值，也可不代入）nmrrrUW000)(（（3）体弹性模量）体弹性模量由体弹性模量公式：02202 0 9rrU Vrk    （（4））m = 2，，n = 10，，，， w = 4eV，求，求 αα、、ββo Ar30①818105 210  r)5(54)(8 02 010 .2 00代入rrrrrUKKK②eVrrUW454)(2 00将，代入①②o Ar30JeV1910602. 117211523810459. 910209. 7mNmN （1）平衡间距 r0的计算晶体内能( )()2mnNU rrr平衡条件，，00r rdU dr11 000mnmn rr10()n mnrm （2）单个原子的结合能，，01( )2Wu r 00( )()mn r ru rrr 10()n mnrm 1(1)()2m n mmnWnm （3）体弹性模量 0202()VUKVV晶体的体积，A 为常数，N 为原胞数目3VNAr晶体内能( )()2mnNU rrrUUr VrV1121()23mnNmn rrNAr221121[()]23mnUNrmn VVrrrNAr022222 000001[]2 9mnmn V VUNmnmn VVrrrr由平衡条件，得0112 0001()023mn V VUNmn VrrNAr 00mnmn rr022222 0001[]2 9mn V VUNmn VVrr0222 0001[]2 9mn V VUNmnmnVVrr2 000[]2 9mnN nm Vrr 0 00()2mnNUrr02022 0()9V VUmnUVV8体弹性模量0 09mnKUV（4）若取02,10,3,4mnrA WeV，10()n mnrm 1(1)()2m n mmnWnm ，10 02Wr2 010 0[2]rWr，-95101.2 10eV m1929.0 10eV m2.6、、bcc 和和 fcc Ne 的结合能，用林纳德的结合能，用林纳德——琼斯琼斯(Lennard——Jones)势计算势计算 Ne 在在 bcc 和和 fcc 结构中的结合结构中的结合 能之比值．能之比值．＜解＞1261261( )4()(), ( )(4 )()()2nlu ru rNAArrrr2 66612 00 612( )1022rAAdu rruNrAA 22 066 2 01212( )12.25 /9.11()/()0.957( )14.45 /12.13bccbccfccfccu rAA u rAA 2.7、对于、对于，从气体的测量得到，从气体的测量得到 Lennard——Jones 参数为参数为计算计算 fcc 结构的结构的2H650 10,2.96.JAo的结合能的结合能[以以 KJ/mol 单位单位)，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为，每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为 0.。