1 | 同济大学物理实验中心 实验实验S-2 RC串联电路的暂态和稳态过程串联电路的暂态和稳态过程 一、一、实验目的实验目的 1. 学习数字示波器的使用 2. 观察RC电路电容的充放电特性曲线，测量半衰期2/1T，并计算电容C 3. 观测RC串联电路的相频特性 4. 使用双轨迹法和李萨如图形法测定相位差 二、二、实验原理实验原理 RC 或 RL 串联电路中，电路中的电压和电流随电源作恒定的周期性变化,电路的这种状态称为稳态过程然而这种具有储能元件（C 或 L）的电路在电路接通、断开，或电路的参数、结构、电源等发生改变时，电路从一个稳态经过一定时间过渡到另一新的稳态,这一过程称为暂态过程描述暂态过程变化快慢的特性参数常用时间常数或半衰期表示，由电路中各元件的量值和特性决定通过对暂态过程的研究，有助于了解电子技术中常用到的耦合电路、积分电路、微分电路、隔直电路、延时电路等电路设计的原理，了解电路的暂态特性也有助于电路设计的合理化， 避免电源在接通和断开的瞬间产生过大的电压或电流而造成电器设备和元器件的损坏现象的发生 交流电路中，电容和电感元件的阻抗会随着输入信号频率的变化而变化，则各元件上的电压及相位产生相对应的变化，这称作电路的频率特性，也称为稳态特性。
电流、电压的幅值与频率的关系称为幅频特性；各元件上的电压和信号电压之间的相位差与频率的关系称为相频特性通过对交流电路稳态特性的研究，有助于掌握电子线路总对频率的分析方法，利用 RC 串联电路的相频特性，还可进行移相电路和 RC 滤波电路的设计 本实验着重研究 RC 串联电路的暂态和稳态特性，熟悉与掌握如何利用将数字示波器进行交流电路的测试与分析 1．数字示波器 随着电子技术的发展，数字示波器凭借着数字技术和软件技术大大扩展了模拟示波器对信号测试与分析的能力，具有波形触发、存储、显示、测量、波形数S-2 2 | 同济大学物理实验中心 据分析处理等独特优点，其使用日益普及示波器是采用数据采集，A/D转换，软件编程等一系列的技术综合制造而成的高性能示波器 数字示波器一般由电压放大和衰减电路、采样电路、触发与控制电路、存储电路、显示与输出电路等部分组成，如图1所示 图 1 数字示波器的原理框图 数字示波器与模拟示波器最大的差异在于显示信号的成像方式不同 模拟示波器将输入信号电压加载与示波管偏转极板， 由电子束轰击屏幕的发光物质产生光点， 光点随信号电压周期性变化而产生的连续变化的轨迹，则显示出信号的波形。
模拟示波器无法使显示画面“固定” ，必须使用触发使每次的波形“重叠” ，方可显示稳定的波形；同时也无法自动执行波形测量，只能通过显示屏上的网格线进行手动测量，这样也会因估读而引起较大的测量误差 数字示波器将输入信号经过前置处理并通过模数转换器进行采样和数字转换，转换为数字信号随后将这个数据存入存储器中由触发器完成触发事件，时钟时基调整示波器的时间显示在示波器显示信号之前，微处理器系统可以执行波形的重建， 重建后的波形可以进行各种各样的参数测量、 信号运算和分析等，并将最终的结果或原始的样点直接显示到屏幕上 测试的信号结果可以存放在存储器中，也可打印或通过网络或 USB 连接传输到计算机高性能的数字示波器还能通过软件提供的虚拟前面板在计算机上控制和监测示波器 数字示波器与模拟示波器相比有很多突出的优点： 可以根据被测信号的特点自动确定和调整测试条件，真正实现自动测试； 能够较容易地实现对高速、瞬态信号的实时捕获； 在波形存储与运算方面有着明显的优势 3 | 同济大学物理实验中心 大部分数字示波器的前面板都至少包括五个主要区域: 显示区显示区：显示信号波形以及有关控制与测量参数 垂直垂直控制控制区区（VERTICAL） ：通道信号输入接口与垂直灵敏度调整，波形垂直位置调整； 水平控制区水平控制区（HORIZONTAL） ：调节扫描速度与波形水平位置； 触发控制触发控制区区：调节触发电平，触发菜单选择。
功能区功能区：MEASURE 测量；ACQUIRE 采样；CURSOR 光标；DISPLAY 显示；SAVE 存储；AUTOSET 自动设置键；RUN/STOP 启动/停止键 2．RC串联电路的暂态特性 RC串联电路如图2所示,当接通电源或断开电源的瞬间将形成电路充电或放电的瞬态变化过程瞬态变化快慢是由电路内各元件量值和特性决定的,描述瞬态变化快慢的特性参数就是电路的时间常数τ和半衰期 21TRC 串联电路充放电过程按指数函数规律进行的 一般电路的过渡过程是短暂的，普通示波器难以观测其波形为了方便观测电路的过渡过程，可以采用方波电压作为激励源，使电路中的过渡过程得以重复出现 我们利用信号发生器输出的方波来模拟阶跃激励信号，即利用方波输出的上升沿作为零状态响应的正阶跃激励信号； 利用方波的下降沿作为零输入响应的负阶跃激励信号选择方波的重复周期远大于电路的时间常数τ（ 21T>5τ） ，那么电路在这样的方波序列脉冲信号的激励下， 它的响应就和直流电接通与断开的过渡过程是基本相同的只要合理地选取τ与 T 的比例（ 21T>5τ） ，上述充放电过程的每一周期都可视为一般的RC电路在零状态条件下的充电过程和电容通过图 2 RC 串联电路 4 | 同济大学物理实验中心 电阻放电两个过程的组合。
如果方波电压的半个周期大于 5τ，在方波电压UtU=)(期间，电路的响应是零状态响应；在方波电压0)(=tU期间，电路的响应是零输入响应 如图 3 所示是电容与电阻电压与随方波的变化波形 [ [充电过程充电过程] ] 充电过程中的回路方程： EUdtduRCc=+(1) 由初始条件0=t时，0=cU得解为： )1 (RCtceEU−−=RCt eREi−=(2) RCtREeU−= 由 式（2）可知，充电过程中，电容电压随时间呈指数规律增长，如图 4（a）所示电容充电的速度与 RC 乘积有关令RC=τ，τ称为时间常数τ越大，曲线变化越慢，cU达到稳态时间越长 当τ=t时，EeEUc632. 0)1 (1=−=−，表明电容电压上升至稳态值 63.2% 当τ5=t时，EeEUc993. 0)1 (5=−=−，则可认为暂态过程基本结束，充电完毕，cU达到稳态值 a) Uc 充电过程 b) Uc 放电过程 图 3 RC 串联电路充放电曲线 图 3 RC 串联电路中电容与电阻电压与随方波的变化波形 图 4 UC充放电曲线 5 | 同济大学物理实验中心 [ [放放电过程电过程] ] 放电过程中的回路方程： 0=+cUdtduRC(3) 由初始条件0=t时，EUc=得解为： RCtcEeU−=RCt eREi−−=(4) RCtREeU−−= 由式（4）可知，放电过程中，电容电压随时间呈指数规律衰减，如图 4（b）所示。
电容电压放电的速度同样与时间常数τ有关τ越大，曲线变化越慢，cU达到稳态时间越长 当τ=t时，EEeUc368. 01==−，表明电容电压下降至稳态值 36.8% 理论上认为∞→t，0→Cu电路达稳态；工程上认为τ)5~3(=t时，电容放电基本结束 [ [半衰期半衰期2/1T] ] 与时间常数τ有关的另一个在实验中较容易测定的特征值，称为半衰期2/1T，即当Cu 下降到初值（或上升至稳态值）一半时所需要的时间，它同样反映了暂态过程的快慢程度，与τ的关系为：ττ693. 02ln2/1==T（或2/1443. 1T=τ） 图 5 半衰期示意图 6 | 同济大学物理实验中心 3．RC串联电路的稳态特性 电路的稳态指的是在该电路在接通正弦交流电源一段时间（一般为电路的时间常数的 5~10 倍）以后，电路中的电流i和元件上的电压（CRuu 、）其波形已经发展到保持与电源电压波形相同且幅值稳定的一种稳定状态RC 串联电路的稳态特性包含有幅频特性和相频特性，本实验中仅研究其相频特性 （a） （b） 如图 4 所示，以电流矢量 i 为参考矢量，作电阻两端电压 UR、电容两端电压Uc及输入电压 Ui的矢量图。
Uc和 Ui之间的相位差 φC满足下式： RCcIRI UUcR cωωϕ-1tan=== ϕcos=iC UU（5） 式中，ω 为 Uc和 Ui的角频率，φ 为电路电压 Uc与 Ui的相位差 图 5 RC 串联电路相频特性曲线 图 5 RC 相移电路 C R i=Isintωu(t)=Usin(t+)ωφ+ -7 | 同济大学物理实验中心 4．示波器测定相位差实验方法 [ [双轨迹法双轨迹法] ] 图 6 所示为示波器屏上所示的两个待测同频率正弦波，其中 l 为正弦波一个周期时间在示波器上显示的水平长度．Δl 为两正弦波达到同一相位的时间差(Δl以屏上水平长度表示)，那么这两个正弦波的相位差 φ 为： °×∆=360llϕ （6） 图6 用双轨迹法测定相位差 图7 用李萨如图形测定相位差 双轨迹法适用于所有示波器对相位差的测量，但该方法因估读会产生较大的测量误差如使用数字示波器则可以执行自动测量并给出更为准确的结果具体方法如下（适用于 UTD2052EEL 数字存储示波器） ： 按 MEASURE 按钮以显示自动测量菜单。
按 F1 键，进入测量菜单种类选择； 按 F4 键，进入时间类测量参数列表； 按两次 F5 键，进入3/3页； 按 F2 键，选择延迟测量； 按 F1 键，选择从CH1，再按下 F2 键，选择到 CH2，然后按 F5 确定键 在 F1 区域的“CH1-CH2延迟”下显示延迟值 [ [李萨如图形法李萨如图形法] ] 把 R 和 C 串联电路上的电容两端电压 Uc和输入电压 Ui分别输入示波器的 x和 y 轴，得李萨如图，如图 6 所示，其解析式为 )cos(0ϕω−=txx )cos(0tyyω= （7） 8 | 同济大学物理实验中心 式中， xo和 yo分别为 Uc和 Ui的振幅 由(7)式, 当 x=0 时，2πϕω±=−t， 即： ϕπω+±=2t 由此得李萨如图形在 y 轴的两交点之间的距离为 ϕϕπϕπsin22cos2cos00yyB= +−− += （8） 由(8)式可知，1cos±=tω时，可得到李萨如图形在 y 轴上的最大投影值： 02yA = (9) 将上两式的B和A值相比得：AB=ϕsin (10) 所以，通过测量李萨如图形的 A、B 值，即可算得输入和输出电压的相位差即相移 φ。
数字示波器显示李萨如图形方法如下（适用于 UTD2052EEL 数字存储示波器 ）： 1．按DISPLAY 菜单按键，以调出显示控制菜单 2．按F2以选择 X-Y 数字存储示波器将以李萨如 （Lissa jous）图形模式显示该电路的输入输出特征 3．调整垂直标度和垂直位置旋钮使波形达到最佳效果 4．应用李萨如图形法观测并计算出相位差 三、三、实验实验内容内容：： 1. 熟悉数字示波器的使用方法：阅读 UT2000E-3000E 中文说明书（进入实验中心管理系统，点击进入实验项目，选择资料下载） 2. 用半值法测量信号发生器。