小议梯子滑动问题在《勾股定理》的教学中曾跟学生探讨过一个梯子滑动的问题，印象深刻至今仍记忆犹新，并对数学学习感 想良多问题的提出如图，一个长10米的梯子AB顶端A距地面为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端B将向外滑动多少米？二问题的解决分析：梯子滑动前与滑动后的长度是不变的，因为滑动前后组成了 两个Rt△，所以可利用勾股定理来解决此题解：由题意知 AB' = AB = 10, AO = & AA'= 1，在 RtAAOB 中，BO= AB2 - AO2 = ^102 - 82 = 6, B' B O在 RtA AOB'中，B'O = YAB'2 — A'O2 = v'102 - (8 —1)2 = ,51 - 7.14B'B = B' O —B0"7.14-6=1.14 米三 同学们的猜想 一直以来，每解完一道题，我都有一个习惯，就是要求学生对该道题进行反思，提问学生：通过解决这道题，有什么启发，你有什么体会和收获？在这个过程中有一位学生提出一个很有建设性的猜想：从上面这道题可以得 出这样一个结论，梯子滑动的垂直距离小于水平距离学生也对这个结论非常感兴趣于是因势利导进一步让学 生思考：真的是这样吗？四 猜想遭遇失败 说实话，对这个问题，在课前我并没有意料到。
因此让学生思考的同时，自己的大脑也在飞快的转动还好，很快就找到答案：如果梯子的顶端下滑2米，那么A 'O是6米，因为A'B'是10米，所以B'O是8米可见， 梯子滑动的垂直距离等于水平距离如果梯子的顶端下滑3米，那么A'O是5米，因为A'B'是10米，所以B' O k'A 'B'2 - A'O2 = v102 - (8 - 3)2 = •帀沁8.66 米,所以B'B心2.66米可见，梯子滑动的垂直距离大 于水平距离因此，同学们的猜想是不成立的五 失败的启示与收获 虽然猜想失败了，但这种失败并没有带来多少沮丧，反而还带来一点点兴奋，因为我们由此而证实了梯子滑动的垂直距离与梯子滑动的水平距离的大小关系是不定的接踵而来的问题是，在什么情况下梯子滑动的垂直距 离大于(小于或等于)水平距离？六 寻根问底不妨设 AB = A 'B' = l, AO = h， AA' = m, BB' = n,B B O则 A 'O 二h-m,B0=\：'l2 — h2， B' O = pl2 — (h — m)2I In= B'B = \：l2 — (h — m)2 — 12 — h2 .若 m>n，即 m〉fl2 — (h — m)2 — 12 — h2I ;..m+ l2 — h2〉囂 l2 — (h — m)2(m+ \・'l2 — h2 ) 2〉(、：l2 — (h — m)2 ) 2即 m 2 + 2m. l 2 一 h 2 +12 一 h 2 > 12 一 h 2 + 2mh 一 m 2m2 + 2mp12 一 h2 > 2mh 一 m22m 112 一 h 2 > 2mh 一 2m 2：. *l2 - h2 > h -m 即 BO > AO。
也就是说，当BO〉AO时m>n即梯子滑动的垂直距离大于水平距离，同理可证，当BO = AO时m=n即梯子 滑动的垂直距离等于水平距离，当BO < A 'O时m〈n即梯子滑动的垂直距离小于水平距离这个结论很好，比较 垂直距离与水平距离的大小，只要比较BO与A 'O的大小即可七 体验收获的喜悦 之所以对这节课印象如此深刻，是因为通过这道题，正好反映了学习数学应该具有的勤于思考、善于思考品 质和执着、坚忍不拔、寻根问底的精神，才能体会到学习数学的乐趣和喜悦，才能体会到成功和收获的喜悦。