测量平差中条件方程类型确定的分析 摘要】给出了测量平差问题中各类条件方程确实定方法在测角三角网的平差中，正确无误地确定各类条件方程是一个难点问题文中通过精选的四个测角三角网，从如何确定几何模型的类型、如何确定布网的目的、如何确定起算数据以及如何确定必要观测数等几个方面，分步骤地进行了详细的分析，并给出了思路文中给出的方法，简单易行，不容易出错，适合于大多数的初学者和普通测量工作者关键词】几何模型;起算数据;必要观测数;条件方程在测量平差的教学工作中，对于一个几何模型，当确定了必要观测数后，就可以确定多余观测数并依此列出各种条件方程了条件方程的类型非常多，包括图形条件、圆周条件、极条件以及坐标方位角条件等如何正确地列出相应的条件方程是学生学习的一个难点，本文中，作者结合教学的实际精选了四个测角三角网，并给出了一些分析思路1算例如图1至图4所示，为四个测角三角网，求以下各测角三角网按条件平差时条件方程的总数及各类条件的个数，其中Pi为待定点，i为边，i为方位角，i取非负整数2分析思路〔1〕确定几何模型的类型即根据三角网的观测值来确定它是测角三角网、测边三角网还是边角网如图1至图4均为测角三角网。
〔2〕确定布设三角网的目的即布设三角网是为了确定网的形状还是待定点的坐标如图1中，其数据包括两个点坐标、一个方位角，可知该网是为了确定待定点的坐标;图2中，没有点，但包括两条边长，因此该网是为了确定形状和大小，由于大小固定的网是形状不变时的一种特例，因此该网的最终目的是为了确定形状图3中，没有点，仅包括一条边长和两个坐标方位角，因此该网是为了确定形状图4中，包括3个点，因此该网最终目的是为了确定待定点的坐标〔3〕判断数据是否为起算数据数据未必是起算数据在观测网中，为了实现布网的最终目的，数据是否起作用需要进行判断如果起作用，那么为起算数据在图1中，为了确定待定点坐标，A、B两点和方位角0都是起作用的，因此它们是起算数据在图2中，的边长对于确定该网的形状不起作用，因此它们不是起算数据〔4〕确定必要观测数t在这里给出两种方案确定必要观测数t，在分析问题时，要灵活交替使用①当测角三角网中点个数为两个或两个以上时，就可以确定待定点的坐标当网中的起算数据均为点坐标时，必要观测数即为待定点个数的二倍，如图4，必要观测数t=32=6假设起算数据除了点坐标外还包括方位角等，如图1，为了确定待定点坐标，只需要A、B两点即可，其中有5个待定点，即有52=10个待确定数据。
要确定这10个数据，需要10个观测值;但是题中已有1个起算方位角，利用该方位角和AB边的方位角可以得到1个水平角值，即在10个数据中减去1个，因此必要观测数t=10-1=9②依据文献，根据公式t=2p-q-4，其中p是三角网中所有点的个数，q是多余的、獨立、起算数据个数〔注意三者的顺序，判断时要依次判断〕要明确该公式是针对测角三角网的，图1中共有点个数p=7，q=1，从而可得t=9〔5〕确定各类条件方程有了必要观测数t后，即可确定多余观测数r，进而确定各类型条件方程三角网中，条件方程的类型很多，但具体哪些存在呢？得看一下三角网中都含有哪些根本几何图形！下面分别说明也叫内角和条件，它存在于各种三角网中，只要一个单三角形中的所有内角都观测了，就可以列出，否那么不可以如图1中△AP3P4内就有一个内角没有观测也叫水平条件，如果三角网中含有中点多边形，那么就有可能存在圆周条件;具体能否列出圆周条件，还得看中点多边形的中心点上所有角度是否存在〔不管是直接观测的还是间接计算得到的，都可以视作存在〕;如果存在，就可以列出圆周条件;否那么不可以如图1中，就有一个以P5点为中心点的中点五边形或是中点四边形，所以肯定存在圆周条件。
也叫边长条件，它通常存在于大地四边形、中点多边形和扇形等根本几何图形中，如果三角网中含有这几种图形，那么就有可能存在极条件;具体能否列出极条件，还得看这些根本几何图形中的所观测的内角个数是否足够，如果足够，就可以列出，否那么不可以如图1中，含有大地四边形ABP1P5，也含有中点五边形或中点四边形，且其内角都进行了观测，所以肯定存在极条件2.2.4方位角〔或固定角〕条件如果网中有两个或两个以上的起算方位角，那么可以列出它们之间的关系式具体能否列出，也得看两者之间的连接角个数够不够如图3中，两个方位角之间就可以列出1个坐标方位角条件2.2.5固定边〔或基线〕条件如果三角网中有两条或两条以上的边时，那么可以列出固定边条件如图2中，就可以列出1个固定边条件当三角网中存在被隔开的三个或三个以上点时，那么产生坐标条件利用坐标递推公式，纵横坐标的推算值等于坐标值如图4中，利用A、C两点可以推出B点的纵横坐标3算例分析〔1〕该几何模型是一个测角三角网〔2〕数据是A、B两点坐标和一个方位角，该网的目的是为了确定待定点的坐标，因此两个点坐标和方位角均为起算数据〔3〕依据公式t=2p-q-4，其中q=1，那么t=10，r=11。
〔4〕各类条件确实定：对于图1，可以看作是由一个以点P5为中心点、点A-B-P1-P2-P3为外点的中点五边形和1个单△AP3P4〔注意，∠AP3P4没有观测〕组成，此时先确定5个图形条件和1个极条件;在此根底上，连线点P1、P4，从而形成了一个单△AP1P4和一个以点A为极的四点扇形，这样增加1个图形条件和1个极条件;又连线点A、P1，形成一个单△ABP1和一个大地四边形ABP1P4〔注意：这个大地四边形与中点五边形局部重叠〕，这样又增加1个极条件和1个图形条件因为有两个方位角，因此又可列出1个方位角条件综上，图1的分析结果是：n=21，t=9，r=12;共有12个条件方程，其中有7个图形条件，1个圆周条件，3个极条件，1个方位角条件〔1〕首先确定该几何模型是一个测角三角网〔2〕边P1P2、P3P4的長度且没有坐标点，可知该网是为了确定形状和大小为了确定大小，只需要一条边就足够;所以只剩下确定形状的问题〔大小固定的图形是该图形形状不变化的一种特殊情况〕〔3〕该网中的数据不是起算数据;因为在没有坐标点的测角网中它们对于确定网的形状不起作用〔4〕确定必要观测数t可以采用化整为零的方式，分两种情况介绍。
①确定三角网的形状，其实就是确定该网中所有内角的大小一个三角网通常是由许多单三角形互相邻接、局部重叠等组成;确定了单三角形的两个内角，就可以确定这个单三角形的形状，因此只要数一下这个三角网中必要的互相邻接但不重叠的单三角形的个数，然后再乘以2，就是必要观测数t，即t=互相邻接且没有重叠的单三角形个数2图2可以看作是四个邻接单△P1p2p3、△P1P3P4、△P1P4P5和△P1P5P6组成〔其它不必要的单三角形不作考虑〕，所以t=42=8②一个三角网有时是由单三角形、中点多边形等根本几何图形之间互相邻接、局部重叠组成只要数一下网中必要的单三角形、中点多边形、大地四边形或扇形等互相邻接但不重叠的个数，采用化整为零的方式，也很容易确定必要观测数t图2也可看作是单△P1P2P3和一个以P1点为极、P3-P4-P5-P6为外点的四点扇形邻接而成;或者可看作是单△P1P5P6和一个以P1点为极、P2-P3-P4-P5为外点的四点扇形组成单三角形的必要观测数为2，四点扇形的必要观测数为6，因此，图2所示三角网的必要观测数t=2+6=8〔5〕各类条件确实定对于图2，含有单三角形、扇形，因此肯定会有图形条件和极条件。
假设将该图看作是单△P1P2P3和一个以P1点为极、P3-P4-P5-P6为外点的四点扇形组成，那么先得出1个极条件和5个图形条件;在此根底上，又连线点P2和P5后，新出现了一个以P1为极的四点扇形和一个单△P1P2P5;因此，又多了1个图形条件和1个极条件综上，图2的分析结果是：n=16，t=8，r=8;共有8个条件方程，其中有6个图形条件，2个极条件依据上面的分析，图3的分析结果是：n=13，t=5，r=8;共有8个条件方程，其中有5个图形条件，2个极条件，1个方位角条件依据上面的分析，图4的分析结果是：n=12，t=6，r=6;共有6个条件方程，其中有1个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个坐标条件4结论以上总结了四个测角三角网的各类条件方程的分析思路，简单易懂，且不易出错但需要再强调以下几点：〔1〕要注意起算数据与数据的区别，数据未必是起算数据，但起算数据是数据，详细情况请参考文献;〔2〕需要强调，对于条件方程之间的独立性判断是最难掌握的，也是最容易出错的地方，本文中提出的一些方法可以很好地解决这个问题〔3〕三角网的目的分为确定网的形状和大小以及待定点坐标大小确定的三角网是形状确定的三角网的一种特例。
〔4〕该文中的思路也可以用于GNSS网、导线网、水准网等参考文献：【1】武汉大学测量平差学科组.误差理论与测量平差〔第3版〕[M].武汉大学出版社，2021.【2】泥立丽，等.测量平差及详解[M].化学工业出版社，2021.【3】姚宜斌，邱卫宁.测量平差问题中必要观测数确实定[J].测绘通报，2021〔3〕：14-15+18.【4】马慧.测量平差中关于起算数据确定的一些见解[J].山西建筑，2021〔23〕：210-212.【5】於宗俦，鲁林成.测量平差根底〔第2版〕[M].测绘出版社，1983.【6】孔祥元，等.控制测量学〔下〕〔第3版〕[M].武汉大学出版社，2021.方法[J].矿山测量，2021〔5〕：49-51+4.泰山学院人才基金工程，工程编号：Y-01-2021001者简介：。