Riemann 猜想漫谈(八) 作者：卢昌海围捕零点时下流行一种休闲方式叫做DIY(DoItYourself)，讲究自己动手做一些原本只有工匠才做的东西，比方说自己动手做件陶器什么的在像我这样懒散的人看来这简直比工作还累，可如今许多人偏偏就兴这个，或许是领悟了负负得正(累累得闲？)的道理吧既是大势如此，我们也乐得共襄盛举，安排“休闲”一下，让大家亲自动手用Riemann-Siegel公式来计算一个Riemannζ函数的非平凡零点DIY一般有个特点，那就是课题本身看起来虽颇见难度，实际做起来却通常是捡其中相对简单的来做(以免打击休闲的积极性)我们计算零点也是如此，挑其中相对简单——即容易计算——的非平凡零点来计算那么什么样的非平凡零点比较容易计算呢？显然是那些听Riemann的话，乖乖躺在临界线上的——因为不在临界线上的非平凡零点即便有也绝不可能容易计算，否则Riemann猜想早被推翻了如我们在上节中所见，Riemann-Siegel公式包含了许多计算量很大的东西，其中最令人头疼的是求和，因为它使计算量成倍地增加不过幸运的是那个求和是对n2(t/2π)的自然数n进行的，因此如果t8π≈25，求和就只有n=1一项。
这显然是比较简单的，因此我们狡猾的目光就盯在了这一区间上在这一区间上，Riemann-Siegel公式简化成为：Z(t)=2cos[θ(t)]+R(t)这就是我们此次围捕零点的工具在正式围捕之前，我们先做一点火力侦察——粗略地估计一下猎物的位置我们要找的是使Z(t)为零的点，直接寻找显然是极其困难的，但我们注意到2cos[θ(t)](通常被称为主项)在θ(t)=(m+1/2)π时为零(m为整数)，这是一个不错的出发点由上节中θ(t)的表达式不难证明，在所有这些使2cos[θ(t)]为零的θ(t)中，θ=-π/2(即m=-1)是使t在t25中取值最小的(当然，别忘了t是正实数)，它所对应的t为t≈14.5这是我们关于零点的第一个估计值纯以数值而论，它还算不错，相对误差约为百分之三接下来我们对这个估计值进行一次修正修正的理由是显而易见的，因为t≈14.5时R(t)明显不为零为了计算R(t)，我们注意到t≈14.5时(t/2π)1/2≈1.5，因此R(t)中的参数N——即(t/2π)1/2的整数部分——为1，p——即(t/2π)1/2的分数部分——约为0.5由此可以求出R(t)中的第一项——即C0(t/2π)-1/4——约为0.3。
为了抵消这额外的0.3，我们需要对t进行修正，使2cos[θ(t)]减少0.3我们采用最简单的线性近似Δt≈Δ{2cos[θ(t)]}/{2cos[θ(t)]}'来计算这一修正值为此注意到2cos[θ(t)]在t≈14.5处的导数{2cos[θ(t)]}'为-2θ'(t)sin[θ(t)]≈-2(1/2)ln(14.5/2π)sin(-π/2)≈0.83由此可知t需要修正为t+Δt≈14.5-0.3/0.83≈14.14这个数值与零点的实际值之间的相对误差仅为万分之四但是需要提醒读者的是，这种估计——无论从数值上讲多么高明——都不足以证明零点的存在，而至多只能作为围捕零点前的火力侦察那么究竟怎样才能证明零点的存在呢？我们在上节中已经叙述了基本思路，那就是通过计算Z(t)的符号，如果Z(t)在临界线上某两点的符号相反，就说明Riemannζ函数在这两点之间存在零点我们上面所做的估计就是为这一计算做准备的现在我们就来进行这样的计算由于我们已经估计出在t=14.14附近可能存在零点，因此我们就在14.1≤t≤14.2的区间上撒下一张小网如果我们的计算表明Z(t)在这一区间的两端，即t=14.1与t=14.2，具有不同的符号，那就证明了Riemannζ函数在t=14.1与t=14.2之间存在零点[注一]。
下面我们就来进行计算：对于t=14.1，(t/2π)1/2≈1.498027，θ(t)≈-1.742722因而主项2cos[θ(t)]≈-0.342160，剩余项R(t)中p≈0.498027，从而其中第一项(即C0项)为C0(t/2π)-1/4≈0.312671由这两部分(即主项及剩余项中的第一项)可得:Z(14.1)≈-0.342160+0.312671=-0.029489类似地，对于t=14.2，(t/2π)1/2≈1.503330，θ(t)≈-1.702141因而主项2cos[θ(t)]≈-0.261934，剩余项R(t)中p≈0.503330，从而其中第一项(即C0项)为C0(t/2π)-1/4≈0.312129由这两部分(即主项及剩余项中的第一项)可得:Z(14.2)≈-0.261934+0.312129=0.050195显然，如我们所期望的，Z(14.1)与Z(14.2)的符号相反，这表明在t=14.1与t=14.2之间存在Riemannζ函数的非平凡零点当然，我们还没有考虑C1~C4项这些项中带有C0的各阶导数，计算起来工作量非同小可，有违休闲的目的，因此就只好偷点懒了。
熟悉计算软件的读者可以动用Maple、Matlab或Mathematica之类的计算软件来算一下对于其他读者来说，我们就把算得的结果直接列在下表中了(其中包括我们手工算得的结果)：Z(t)-0.0274460.052042从表格所列的结果中可以看到，剩余项中的高阶项的贡献虽然有所起伏，但与第一项相比在总体上是很小的对我们来说，这当然是很令人欣慰的结果，因为它表明我们手工所能计算的部分给出的贡献是主要的这还是t较小的情况，随着t的增加，由于高阶项中所含t的负幂次较高，其贡献会变得越来越小[注二]不过要严格表述这种趋势并予以证明，却绝非轻而易举事实上Riemann-Siegel公式作为Z(t)的渐进展开式，其敛散性质与误差估计都是相当复杂的现在我们知道了Riemannζ函数在t=14.1与t=14.2之间存在零点如果我们再仔细点，注意到Z(14.1)与Z(14.2)距离Z(t)=0的远近之比为0.027446:0.052042，用线性内插法可以推测零点的位置为：t≈14.1+(14.2-14.1)×0.027446/(0.027446+0.052042)≈14.1345这与现代数值t=14.1347的相对偏差只有不到十万分之二！即使只估计到C0项(这是我们自己动手所及的范围)，其误差也只有不到万分之二(请读者自行完成内插法计算并验证误差)。
好了，猎物在手，我们的简短休闲也该见好就收了大家是否体验到了一些成就感呢？要知道，Riemannζ函数的零点可是在Riemann的论文发表之后隔了四十四年才有人公布计算结果的哦当然，我们用了Riemann-Siegel公式，但这没什么，一个好汉三个帮嘛！再说了，DIY哪有真的百分之百从头做起，连工具设备都包括在内的？想象一下，如果你DIY出来的陶器能够把缺陷控制在万分之二以内，那是何等的风光？当然，倘若你可以退回一百多年，把这个结果抢在Gram之前公布一下，那就更风光了在本节的最后，还有一件可能让大家有成就感的事情要提一下那就是我们所用的估计零点的方法——即从使2cos[θ(t)]为零的点出发，然后依据R(t)的数值对其进行修正[注三]，最后再用Z(t)的符号变化来确定零点的存在——暗示着Riemannζ函数在临界线上的零点数目大致与cos[θ(t)]的零点数目相当而后者大约有(请大家DIY)θ(t)/π~(t/2π)ln(t/2π)-(t/2π)个不知大家是否还记得，这正是我们在第五节中介绍过的Riemann那三个命题中迄今无人能够证明的第二个命题！当然，我们这个也不是证明(真可惜，否则的话，嘿嘿……)，但这应该使大家对我们的休闲手段之高明有所认识吧？注释1.要注意的是，Z(t)在一个区间的两端具有不同符号只是Riemannζ函数在该区间内存在零点的充分条件，而非必要条件。
换句话说，假如我们不幸发现Z(t)在我们所取的两点上具有相同的符号，我们并不能由此直接得出结论说Riemannζ函数在这两点之间不存在零点至于这是为什么，请大家DIY2.但另一方面，随着t的增加，Riemann-Siegel公式中的求和所包含的项数会逐渐增加，因此计算的总体复杂程度并不呈现下降趋势唐宋或更早之前，针对“经学”“律学”“算学”和“书学”各科目，其相应传授者称为“博士”，这与当今“博士”含义已经相去甚远而对那些特别讲授“武事”或讲解“经籍”者，又称“讲师”教授”和“助教”均原为学官称谓前者始于宋，乃“宗学”“律学”“医学”“武学”等科目的讲授者；而后者则于西晋武帝时代即已设立了，主要协助国子、博士培养生徒助教”在古代不仅要作入流的学问，其教书育人的职责也十分明晰唐代国子学、太学等所设之“助教”一席，也是当朝打眼的学官至明清两代，只设国子监（国子学）一科的“助教”，其身价不谓显赫，也称得上朝廷要员至此，无论是“博士”“讲师”，还是“教授”“助教”，其今日教师应具有的基本概念都具有了3.对于求和中有不止一项的情形，修正所依据的将不仅仅是R(t)，但思路是类似的二零零四年五月二十三日写于纽约要练说，先练胆。
说话胆小是幼儿语言发展的障碍不少幼儿当众说话时显得胆怯：有的结巴重复，面红耳赤；有的声音极低，自讲自听；有的低头不语，扯衣服，扭身子总之，说话时外部表现不自然我抓住练胆这个关键，面向全体，偏向差生一是和幼儿建立和谐的语言交流关系每当和幼儿讲话时，我总是笑脸相迎，声音亲切，动作亲昵，消除幼儿畏惧心理，让他能主动的、无拘无束地和我交谈二是注重培养幼儿敢于当众说话的习惯或在课堂教学中，改变过去老师讲学生听的传统的教学模式，取消了先举手后发言的约束，多采取自由讨论和谈话的形式，给每个幼儿较多的当众说话的机会，培养幼儿爱说话敢说话的兴趣，对一些说话有困难的幼儿，我总是认真地耐心地听，热情地帮助和鼓励他把话说完、说好，增强其说话的勇气和把话说好的信心三是要提明确的说话要求，在说话训练中不断提高，我要求每个幼儿在说话时要仪态大方，口齿清楚，声音响亮，学会用眼神对说得好的幼儿，即使是某一方面，我都抓住教育，提出表扬，并要其他幼儿模仿长期坚持，不断训练，幼儿说话胆量也在不断提高二零零四年五月二十三日发表于本站与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”可见，“教师”一说是比较晚的事了如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”二零一二年一月三十一日最新修订第 7 页。