专题02 整式的运算本专题主要介绍整式的加、减、乘、除以及混合运算需要掌握的基本概念、规律通过例题讲解和训练抓住解决问题的思维方法，以便快速提高大家解决问题能力一、整式的基本概念1.单项式（1）由数或者字母的积组成的式子，叫做单项式单独的一个数或者一个字母也是单项式2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数3）一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数2.多项式（1）几个单项式的和叫做多项式2）其中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项3）多项式里，次数最高项的次数，叫做多项式的次数3.整式单项式与多项式统称整式二、整式的加减1.同类项概念：含字母相同,并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项.2.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项3.合并同类项的法则：系数相加减，字母及其字母的指数不变.4.去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 5.整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项三、整式的乘除1.基本运算（1）同底数幂的乘法法则：（都是正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2）幂的乘方法则：（都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘幂的乘方法则可以逆用：即 （3）积的乘方法则：（是正整数）积的乘方，等于各因数乘方的积4）同底数幂的除法法则：（都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减5）零指数：任何不等于零的数的零次方等于1即（a≠0）（6）负整数指数：任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p次幂的倒数,即( a≠0,p是正整数)2.整式的乘法（1）单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式2）单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)3）多项式与多项式相乘，用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加4）平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差即（5）完全平方和公式：两个数的和的平方，等于这两个数的平方和，再加上这两个的积的2倍即：（a+b）2=a2+b2+2ab（6）完全平方差公式：两个数的差的平方，等于这两个数的平方和，再减上这两个的积的2倍即：（a-b）2=a2+b2-2ab3.整式的除法（1）同底数幂的除法：（2）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
3）多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加4）添括号法则：括号前面是+号，放进括号里面的每一项都不变号括号前面是—号，放进括号里面的每一项都要变号例题1】（2020贵州黔西南）若7axb2与－a3by和为单项式，则yx＝________．【答案】8【解析】直接利用合并同类项法则进而得出x，y的值，即可得出答案．因为7axb2与－a3by的和为单项式，所以7axb2与－a3by是同类项，所以x＝3，y＝2，所以yx＝23＝8，因此本题答案为8．【点拨】此题主要考查了单项式，正确得出x，y的值是解题关键．【对点练习】（贵州黔西南州）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（ ）A．2 B．1 C．﹣1 D．0【答案】A【解析】根据题意，得：2m﹣1＝m+1，解得m＝2．故选：A．【例题2】（2020•凉山州）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x．【答案】见解析解析】先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开，再去括号、合并同类项即可化简原式，继而将x的值代入计算可得答案．原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12＝3x2﹣1，当x时，原式＝3×（）2﹣1＝3×2﹣1＝6﹣1＝5．【对点练习】（吉林省）先化简，再求值：（a-1)2+a(a+2),其中a=【答案】5【解析】整式的运算。
将原代数式化简求值即可【解题过程】解：原式=a2-2a+1+a2+2a=2a2+1,当a=时，原式=【例题3】（2020贵州黔西南）下列运算正确的是（ ）A. a3＋a2＝a5 B. a3÷a＝a3 C. a2•a3＝a5 D. (a2)4＝a6【答案】C【解析】根据合并同类项法则，把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；对各选项分析判断后即可求解．A.a3、a2不是同类项，不能合并，故A错误；B.a3÷a＝a2，故B错误；C.a2•a3＝a5，故C正确；D.(a2)4＝a8，故D错误．【点拨】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．【对点练习】（四川省雅安市）下列计算中，正确的是（ ）A．a4+a4=a8 B．a4·a4=2a4 C．(a3)4·a2=a14 D．(2x2y)3÷6x3y2=x3y【答案】C【解析】直接利用合并同类项法则、幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则分别化简，A中应为2a4，不正确，B中应为a8，不正确，C中(a3)4·a2=a12·a2= a14 ，正确，D中(2x2y)3÷6x3y2=8 x6y3÷6x3y2= x3y，不正确，故选C．【例题4】（2020贵州黔西南）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x的值为625，则第2020次输出的结果为_____．【答案】1．【解析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．【详解】当x＝625时，x＝125，当x＝125时，x＝25，当x＝25时，x＝5，当x＝5时，x＝1，当x＝1时，x+4＝5，当x＝5时，x＝1，…依此类推，以5，1循环，（2020﹣2）÷2＝1010，即输出的结果是1【点拨】本题考查了求代数式的值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．【对点练习】（2020•枣庄模拟）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空余的部分的面积是（ ）A．ab B．（a+b）2 C．（a﹣b）2 D．a2﹣b2【答案】C【解析】中间部分的四边形是正方形，表示出边长，则面积可以求得．中间部分的四边形是正方形，边长是a+b﹣2b＝a﹣b，则面积是（a﹣b）2．一、选择题1．（2020•遂宁）下列计算正确的是（ ）A．7ab﹣5a＝2b B．（a）2＝a2 C．（﹣3a2b）2＝6a4b2 D．3a2b÷b＝3a2【答案】D【解析】7ab与﹣5a不是同类项，不能合并，因此选项A不正确；根据完全平方公式可得（a）2＝a22，因此选项B不正确；（﹣3a2b）2＝9a4b2，因此选项C不正确；3a2b÷b＝3a2，因此选项D正确；【点拨】根据整式的加减、乘除分别进行计算，再判断即可．2．（2020•泸州）下列各式运算正确的是（ ）A．x2+x3＝x5 B．x3﹣x2＝x C．x2•x3＝x6 D．（x3）2＝x6【答案】D【解析】分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．A．x2与x3不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；B．x3与﹣x2不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；C．x2•x3＝x5，故本选项不合题意；D．（x3）2＝x6，故本选项符合题意．3．（2020•德州）下列运算正确的是（ ）A．6a﹣5a＝1 B．a2•a3＝a5 C．（﹣2a）2＝﹣4a2 D．a6÷a2＝a3【答案】B【解析】利用整式的四则运算法则分别计算，可得出答案．6a﹣5a＝a，因此选项A不符合题意；a2•a3＝a5，因此选项B符合题意；（﹣2a）2＝4a2，因此选项C不符合题意；a6÷a2＝a6﹣2＝a4，因此选项D不符合题意；4．（2020•苏州）下列运算正确的是（ ）A．a2•a3＝a6 B．a3÷a＝a3 C．（a2）3＝a5 D．（a2b）2＝a4b2【答案】D【解析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方，积的乘方的意义和计算方法，分别进行计算，做出判断和选择．a2•a3＝a2+3＝a5，因此选项A不符合题意；a3÷a＝a3﹣1＝a2，因此选项B不符合题意；（a2）3＝a2×3＝a6；因此选项C不符合题意；（a2b）2＝a4b2，因此选项D符合题意；5．（2020•黔东南州）下列运算正确的是（ ）A．（x+y）2＝x2+y2 B．x3+x4＝x7 C．x3•x2＝x6 D．（﹣3x）2＝9x2【答案】D【解析】直接利用完全平方公式以及合并同类项、同底数幂的乘法运算和积的乘方运算法则分别计算得出答案．A.（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项错误；B.x3+x4，不是同类项，无法合并，故此选项错误；C.x3•x2＝x5，故此选项错误；D.（﹣3x）2＝9x2，正确．6．（2020•杭州）（1+y）（1﹣y）＝（ ）A．1+y2 B．﹣1﹣y2 C．1﹣y2 D．﹣1+y2【答案】C【解析】直接利用平方差公式计算得出答案．（1+y）（1﹣y）＝1﹣y2．7．（2020•宁波）下列计算正确的是（ ）A．a3•a2＝a6 B．（a3）2＝a5 C．a6÷a3＝a3 D．a2+a3＝a5【答案】C【解析】直接利用同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．A.a3•a2＝a5，故此选项错误；B.（a3）2＝a6，故此选项错误；C.a6÷a3＝a3，正确；D.a2+a3，不是同类项，不能合并，故此选项错误；8.（贵州遵义）下列计算正确的是（ ） (A)( a+b)2=a2+b2 (B) -(2a2)2=4a4 (C) a2+ a3=a5 (D)【答案】D【解析】选项A少了乘积的2倍，选项B少了负号，选项C不是同类项不能合并，选项D同底数幂的除法，底数不变指数相减。
所以选D9．（湖南怀化）单项式﹣5ab的系数是（ ）A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2【答案】B.【解析】单项式﹣5ab的系数是﹣5，故选：B．10．（湖南株洲）下列各式中，与3x2y3是同类项的是（ ）A．2x5 B．3x3y2 C．﹣x2y3 D．﹣y5【答案】C．【解析】A.2x5与3x2y3不是同类项，故本选项错误；B.3x3y2与3x2y3不是同类项，故本选项错误；C.﹣x2y3与3x2y3是同类项，故本选项正确；D.﹣y5与3x2y3是同类项，故本选项错误11.（黑龙江哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）A． B． 。