微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：齐次型微分方程令，则方程化为关于未知数与自变量的变量可分离的微分方程三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1），直接积分；（2），令，（3），令，则这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点和 设置特解的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如 （1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若，则方程（1）可化为变量已分离的方程两端积分，即得（1）的通解： （2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为，但显然也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解如齐次型微分方程 或 （3）可用代换化为两端同时积分即可求解。
2）关于一阶线性微分方程一阶线性微分方程是指形如 （4）的方程，其中、是已知函数，其特点是，都以一次幂的形式出现在方程中，求它的通解时，即可以用公式 （5）来求，也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次线性方程的通解，再令来未知函数，将代入方程（4），求出，最后得到所求通解有的方程把看作未知函数，看作自变量时成为一阶线性微分方程，如方程可变形为关于的一阶线性非齐次方程如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样，有些方程用变量代换可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程用代换则化为（二）关于常数变易法所谓常数变易法就是将相应的线性齐次微分方程通解中的常数变为待定函数，然后代入线性非齐次微分方程中，求出，从而得到线性非齐次微分方程通解的方法常数变易法的关键是如何确定，由于的通解为（1），将常数用代换，设为方程的通解，将其代入方程中，就得到关于待定函数的导数应满足的方程，即 （*）（*）式是求过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实上，它的左端是将通解中的换成，右端是原方程中右端顶（非齐次项）将（*）式变形，再求积分就得到。
例 求的通解解 这是一阶线性方程，，相应的齐次方程的通解为设非齐次方程的通解为，代入原方程，得所求通解为面（三）可降阶的特殊本章所研究的二阶微分方程主要有两类：一是可降价的二阶微分方程，它的形式及相应的解法见表8-1：表8-1可降阶的二阶微分方程及求解方法方程形式求解方法积分得，再积分，得通解 设，则，方程化为设则，方程化为（四）二阶线性常系数微分方程 (其中为常数)当时称为齐次的，此时通解依特征方程的特征根而定（见教材表8-6-1），当时，称为非齐次的它的通解可写成其中是该方程对应的齐次方程的通解，而是该方程的一个特解一般说来，求特解并不是件容易的事情，但当右端项为某些特殊形式函数时，特解具有相应的特殊形式，如表8-2所示这时可用特定系数法来求出表8-2非齐次项的形式特征方程的根特解的形式是次多项式0不是特征根（即时）0是特征方程的单根（即时0是特征重根，（即时）是与同次的多项式即是指数函数与多项式乘积不是特征根是单特征根是重特征根是与同次的多项式不是特征根是特征根都是次多项式不是特征根是特征根从表8-2可以看出，特解的设法与非齐次项的形式基本是相同的，只不过依不是特征根、是单根、是重根时，依次再分别乘以一个因子（）。
解题时首先应设定特解的形式，注意其中的未知多项式或或，的次数的确定方法；设定未知多项式的系数后，将代入原方程，用待定系数法确定未知系数五）关于特征根法特征根法不仅可用于二阶线性常系数齐次微分方程通解，也可用于求高阶线性常系数齐次微分方程通解，即（1）若是单实根，则通解中含加（2）若是重实根，则通解中含加项（（3）若是共轭复根，则有通解中含加项根据上述这些加项，就可写出方程的通解形式例如求方程的通解其求特征方程是分解因式为 特征根为 因为是二重根，所以通解中含加项；因为是一对共轭复根，所以通解中含加项从而得到原方程的通解为二、例题分析例1 为下列各题选择正确答案：（1）下列微分方程中，是二阶线性微分方程的为（ ）A． B．C． D．（2）下列微分方程中，（ ）所给的函数是通解A．； B．；C．； D．；（3）下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）A．； B．；C．； D．；（4）微分方程的特解形式应设为（ ）A．； B．；C．； D．；（5）微分方程的通解为（ ）A． B．；C．； D．；解 （1）微分方程的“阶”是指方程中未知函数的导数的最高阶数，“线性”是指未知函数及其导数均以线性（一次）形式出现在方程中，由于，A、C中分别含有和项，都呈非线性形式，B中是一阶导数，方程为一阶方程，故只有选择D正确，事实上，D中方程可化成二阶线性方程的标准形式为。
2）微分方程的通解是指所含独立任意常数的个数与微分方程的阶相等的解经验证，所给四个答案中，A、B、C是方程的解，但A、D中不含任意常数，说明它们是特解，不是通解，故选项B正确3）将方程进行变量分离，可知为是可分离变量方程B、C、D均不能分离变量，故正确选择是A4）二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式与右端项的形式密切相关，此方程中右端项，因此特解应设为其中由不是特征方程的根，是单根或是重根而分别设为0，1，2此题中不是特征根，因此特解应设为故正确的选项为B5）二阶常系数线性齐次方程的通解与特征方程的根的形式密切相关的特征根为，是共轭复根，通解为三角函数形式，故选项C正确例2 在下列各题的空白处填写正确答案：（1）通过点（1，1）处，且斜率处处为的典线方程是 2）二阶微分方程的通解是 3）微分方程满足初始条件的特解为 4）齐次方程的通解是 解 （1）斜率处处为的曲线方程应满足积分得 ，代入条件，得，故所求曲线方程是2）对两次积分，得，此为所求通解3）微分方程的特征方程为，特征根为，通解为 将初始条件代入，得，故所求特解为。
4）设则代入原方程中，得，故所求通解为例3 判断下列微分方程属于哪种类型，并求出它们的通解或特解1）；（2）；（3）（4）分析 这几个方程都是一阶微分方程，通过适当变形来判断它们的类型解 （1）将方程变形，得这是变量可分离型方程，分离变量得两端积分得： 整理后得方程的通解为（2）观察方程中、的系数，都是二次函数，故原方程为齐次方程当时，各项除以，得令，则代入方程中，得两端积分得： 再将代回，得 于是方程的通解为（3）观察方程中、的系数，都是一次函数可看作是一次函数），因此方程为齐次方程当时，将各项除以，得令，则代入齐次方程中，得两端积分，得将代回，得将初始条件代入，得故满足方程初始条件的特解为移项，两端平方整理后得 此即为所求特解4）将方程变形，得此为变量可分离方程分离变量，得 两端积分得 （为任意常数）将初始条件代入，得因此满足方程初始条件的特解为例4 判断方程的类型，并求解：（1）（2），（3）*（4）（5）解 （1）方程变形为这是一阶线性非齐次方程方法一：用公式法这里于是通解为 （为任意常数）方法二：用常数变易法先求出齐次方程的通解；将变形为两端积分得即齐次方程的通解为为任意常数）设将其代入非齐次方程，得积分求得 故所求方程的通解为（为任意常数）（2）方程变形为此为一阶线性非齐次方程用公式求解：这里，于是方程的通解为 （其中为任意常数）将初始条件代入，得，因此方程满足初始条件的特解为（3）方程变形为这是一阶线性齐次方程，用公式求通解为将初始条件代入，得，因此方程满足初始条件的特解为*（4）将看作自变量，看作未知函数，则原方程是关于未知函数的一阶线性非齐次方程。