专题54 探究发现类创新型综合素养能力题探究题类型比较烦杂，以问题表现形式来分，大致可归类为开放型、新信息型、存在型等.一、开放型探究题 开放型探究题按题型结构分为条件开放型、结论开放型与策略开放型.此类探究题注重考查学生思维的严谨性和培养发散思维的能力. 二、新信息型探究题 进入新时代，新信息型探究题逐渐成为考查中的亮点，这类题目通常都会出现一些新的定义概念、规则、运算等，如何理解和运用题中提供的新信息是处理此类问题的关键.比如“等邻边四边形”、“智慧三角形”、“勾股分割点”等都属于新信息探究题. 三、存在型探究题 存在与否型探索问题历来都是考查的重点，几何与代数都有涉及.解决此类问题的一般思路为假设结论成立或存在.结合已知条件，建立数学模型，仔细分析，层层推进，如果能获得相应的结论，则假设成立，如果出现矛盾则说明原假设并不成立. 探索结论的存在性问题，是综合探究题之一，是开放型试题的重点题型，是中考的热点，也是难点，更是亮点若在选择题、填空题中出现，一般考查的难度属于中等难度，若在选择题或者填空题的最后一道小题出现，就属于压轴题但根据全国各地中考试卷看，探索结论的存在性问题，都以压轴大题形式出现，这类试题只是覆盖面广，综合性强。
解决问题基本思路是：首先假设研究的数学对象存在，然后从假设出发，结合题目条件进行计算推理论证，若所得结论正确合理，说明结论存在；若所得结论不合理，说明结论不存在解题时要注意的是：（1）明确这类问题的解题思路，即假设存在法；（2）要对各方面知识理解到位，能灵活应用知识进行分析、综合、概括和推理；（3）心中一定要装有重要的数学思想方法，比如建构方程的思想、数形结合的思想、转化思想等，在数学思想方法引领下，让解决问题具有方向性，避免盲目性4）作图要科学规范，便于解决问题为宜例题】（2020•河南）小亮在学习中遇到这样一个问题：如图，点D是BC上一动点，线段BC＝8cm，点A是线段BC的中点，过点C作CF∥BD，交DA的延长线于点F．当△DCF为等腰三角形时，求线段BD的长度．小亮分析发现，此问题很难通过常规的推理计算彻底解决，于是尝试结合学习函数的经验研究此问题．请将下面的探究过程补充完整：（1）根据点D在BC上的不同位置，画出相应的图形，测量线段BD，CD，FD的长度，得到下表的几组对应值． BD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中发现：①“当点D为BC的中点时，BD＝5.0cm”．则上表中a的值是 ；②“线段CF的长度无需测量即可得到”．请简要说明理由．（2）将线段BD的长度作为自变量x，CD和FD的长度都是x的函数，分别记为yCD和yFD，并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象，如图所示．请在同一坐标系中画出函数yCD的图象；（3）继续在同一坐标系中画出所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△DCF为等腰三角形时，线段BD长度的近似值（结果保留一位小数）．【答案】见解析。
分析】（1）①由BD=CD可求BD＝CD＝a＝5cm；②由“AAS”可证△BAD≌△CAF，可得BD＝CF，即可求解；（2）由题意可画出函数图象；（3）结合图象可求解．【解析】（1）∵点D为BC的中点，∴BD=CD，∴BD＝CD＝a＝5cm，故答案为：5；（2）∵点A是线段BC的中点，∴AB＝AC，∵CF∥BD，∴∠F＝∠BDA，又∵∠BAD＝∠CAF，∴△BAD≌△CAF（AAS），∴BD＝CF，∴线段CF的长度无需测量即可得到；（3）由题意可得：（4）由题意画出函数yCF的图象；由图象可得：BD＝3.8cm或5cm或6.2cm时，△DCF为等腰三角形．【对点】在Rt△ABC中，∠ABC=90，AB=，AC=2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′（点A，B的对应点分别为A，B′），射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PAB′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．【答案】见解析。
解析】（1）由旋转可得：AC=AC=2，∵∠ACB=90，AB=，AC=2，∴BC=，∵∠ACB=90，m∥AC，∴∠ABC=90，∴cos∠ACB==，∴∠ACB=30，∴∠ACA=60；（2）∵M为AB的中点，∴∠ACM=∠MAC，由旋转可得，∠MAC=∠A，∴∠A=∠ACM，∴tan∠PCB=tan∠A=，∴PB=BC=，∵tan∠Q=tan∠A=，∴BQ=BC=2，∴PQ=PB+BQ=；（3）∵S四边形PAB′Q=S△PCQ﹣S△ACB=S△PCQ﹣，∴S四边形PAB′Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQ=PQBC=PQ，法一：（几何法）取PQ的中点G，则∠PCQ=90，∴CG=PQ，即PQ=2CG，当CG最小时，PQ最小，∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CGmin=，PQmin=2，∴S△PCQ的最小值=3，S四边形PAB′Q=3﹣；法二（代数法）设PB=x，BQ=y，由射影定理得：xy=3，∴当PQ最小时，x+y最小，∴（x+y）2=x2+2xy+y2=x2+6+y2≥2xy+6=12，当x=y=时，“=”成立，∴PQ=+=2，∴S△PCQ的最小值=3，S四边形PAB′Q=3﹣．【点拨】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的性质，解直角三角形以及直角三角形的性质的综合运用，解题时注意：旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．1．（2020浙江宁波）[问题]小明在学习时遇到这样一个问题：求不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集．他经历了如下思考过程：[回顾]（1）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y1＝ax+b与双曲线y2＝交于A （1，3）和B（﹣3，﹣1），则不等式ax+b＞的解集是 ．[探究]将不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0按条件进行转化：当x＝0时，原不等式不成立；当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞；当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜．（2）构造函数，画出图象：设y3＝x2+3x﹣1，y4＝，在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象；双曲线y4＝如图2所示，请在此坐标系中画出抛物线y＝x2+3x﹣1．（不用列表）（3）确定两个函数图象公共点的横坐标：观察所画两个函数的图象，猜想并通过代入函数解析式验证可知：满足y3＝y4的所有x的值为 ．[解决]（4）借助图象，写出解集：结合“探究”中的讨论，观察两个函数的图象可知：不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为 ．【解析】（1）如图1中，观察图形可知：不等式ax+b＞的解集为x＞1或﹣3＜x＜0．故答案为：x＞1或﹣3＜x＜0．（2）函数y3＝x2+3x﹣1的图形如图所示：（3）观察图象可知，两个函数图象的公共点的横坐标为﹣3，﹣1，1．经过检验可知：点（﹣3，﹣1），点（﹣1，﹣3），点（1，3）是两个函数的交点坐标，满足y3＝y4的所有x的值为﹣3或﹣1或1．故答案为﹣3或﹣1或1．（4）观察图象，当x＞0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＞的解集为x＞1，当x＜0时，不等式两边同除以x并移项转化为x2+3x﹣1＜的解集为x＜﹣3或﹣1＜x＜0，∴不等式x3+3x2﹣x﹣3＞0的解集为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．故答案为x＞1或x＜﹣3或﹣1＜x＜0．【点拨】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想思考问题，把不等式问题转化为函数图象问题解决，属于中考压轴题．2．（2020湖北随州）一个问题解决往往经历发现猜想——探索归纳——问题解决的过程，下面结合一道几何题来体验一下.（发现猜想）（1）如图①，已知∠AOB＝70，∠AOD＝100，OC为∠BOD的角平分线，则∠AOC的度数为 ；. （探索归纳）（2）如图①，∠AOB＝m，∠AOD＝n，OC为∠BOD的角平分线. 猜想∠AOC的度数（用含m、n的代数式表示），并说明理由.（问题解决）（3）如图②，若∠AOB＝20，∠AOC＝90，∠AOD＝120.若射线OB绕点O以每秒20逆时针旋转，射线OC绕点O以每秒10顺时针旋转，射线OD绕点O每秒30顺时针旋转，三条射线同时旋转，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动. 运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的角平分线？【答案】见解析。
解析】（1）85；（2）∵∠AOB＝m，∠AOD＝n，∴∠BOD＝n－m∵OC为∠BOD的角平分线∴∠BOC＝∴∠AOC＝+m＝ （3）设经过的时间为x秒，则∠DOA＝120－30x；∠COA＝90－10x；∠BOA＝20+20x；①当在x＝之前，OC为OB，OD的角平分线；30－20x＝70－30x，x1＝4（舍）；②当x在和2之间，OD为OC，OB的角平分线；－30+20x＝100－50x，x2＝；③当x在2和之间，OB为OC，OD的角平分线；70－30x＝－100+50x，x3＝；④当x在和4之间，OC为OB，OD的角平分线；－70+30x＝－30+20x，x4＝4.答：经过，，4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线.【点拨】本题考查了角平分线的性质，一元一次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握角平分线的性质，理清各个角之间存在的数量关系，根据数量关系列出方程.3．（2020•江西）已知∠MPN的两边分别与⊙O相切于点A，B，⊙O的半径为r．（1）如图1，点C在点A，B之间的优弧上，∠MPN＝80，求∠ACB的度数；（2）如图2，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，∠APB的度数应为多少？请说明理由；（3）若PC交⊙O于点D，求第（2）问中对应的阴影部分的周长（用含r的式子表示）．【答案】见解析。
分析】（1）连接OA，OB，由切线的性质可求∠PAO＝∠PBO＝90，由四边形内角和可求解；（2）当∠APB＝60时，四边形APBC是菱形，连接OA，OB，由切线长定理可得PA＝PB，∠APC＝∠BPC＝30，由“SAS”可证△APC≌△BPC，可得∠ACP＝∠BCP＝30，AC＝BC，可证AP＝AC＝PB＝BC，可得四边形APBC是菱形；（3）分别求出AP，PD的长，由弧长公式可求AD，即可求解．【解析】（1）如图1，连接OA，OB，∵PA，PB为⊙O的切线，∴∠PAO＝∠PBO＝90，∵∠APB+∠PAO+∠PBO+∠AOB＝360，。