关于三维坐标转换参数的讨论摘要:首先对坐标转换的物理意义进行解释,又把传统3个旋转角参数用反对称矩阵的3个元素代替,推出用3个和4个公共点直接计算转换参数的严密公式,在此基础上推导出严密的线性化公式由于不用进行三角函数计算,只用简单加减乘除,也不用迭代计算,所以该模型计算速度快关键词:三维坐标转换;转换参数;转换矩阵;反对称矩阵;罗德里格矩阵一、引 言三维直角坐标转换中，采用7参数Bursa2Wolf 模型、Molodensky 模型和武测模型[1 ] ,当在两坐标系统下有3 个公共点,就可惟一解算出7个转换参数;多余3个公共点时,就要进行平差计算,转换参数的初值(特别是旋转角) 的大小,直接影响平差系统稳定性和计算速度,有时使得解算的参数均严重偏离其值[2 ] 随着移动测图系统(Mobile Mapping System ,简称MMS) 技术的成熟和应用,对运动载体(飞机、轮船、汽车等) 姿态的测量( GPS + INS) 也越来越多[3～5 ] ,任意角度的3 维坐标转换计算也越来越多在平台上安装3 台或4 台GPS 接收机,来确定运动载体的位置和空间姿态,这时的旋转角可以说是任意的,取值范围是- 180°至180°,就需要准确计算转换参数模型,适应于任意旋转角的坐标转换。
本文在解释坐标转换的物理意义的基础上,导出3 维坐标转换7 参数直接计算的模型,以旋转矩阵的确定为核心,导出了3 点法和4 点法(两坐标系统下公共点数) ,用反对称矩阵和罗德里格矩阵性质推出的公式严密,该模型计算速度快二、三维坐标转换的物理意义和数学模型1. 物理意义如图1 所示 ,在两坐标系统下有4个公共点 ,在不同坐标系统内 , 看成四面的刚体 , 如图1（a) , (b)坐标转换的物理意义就是通过平移、旋转和缩放,使两个刚体大小和形状完全相同具体过程是,设公共点1 为参考点,将图1 (b) 坐标轴和刚体平移,与对应的图1 (a) 刚体的点1 重合,如图1 (c ) , 平移量为 [ u v w ]T;然后以点1 为顶点 ,绕3 轴旋转 ,使两坐标系统的坐标轴平行 , 以参考点为顶点的边重合 ,其他各边平行 ,两刚体是相似体 ,只是大小不同 ,如图1 ( d) ; 最后进行缩放 , 使两刚体大小也相同这样两坐标系统和3 个轴重合 ,原点统一 ,从而形成坐标系统转换图12. 数学模型根据坐标转换的物理过程 ,可得到数学模型可见 [ Xm Ym Zm ]T = [ XT1 - XS1 YT1 - YS1 ZT1- ZS1 ]T ,进一步变为式 (2) 左边是目标坐标系统下的坐标 , 右边 (下标为 S) 表示原坐标系统下坐标 ; [Δ X Δ Y Δ Z ]T =R[ Xm Ym Zm ]T 为平移因子 ,其意义是参考点旋转后的坐标； λ 为尺度因子 ; R 为坐标转换旋转矩阵 ,或转换矩阵 , R = R3 R2 R1 , R1 是把原坐标绕 Z轴旋转 θ 角得到的旋转矩阵 , R2 是绕新的 X 轴旋转< 得到的旋转矩阵 , R3 是绕新 Y 轴旋转 ψ 得到的旋转矩阵。
3）所以（4）习惯上称Δ X ,Δ Y ,Δ Z ,λ,θ, <,ψ 为7 参数 ,后3个称为旋转参数或角度参数3. 模型参数确定的分析由数学建模过程可以得出 ,尺度因子 λ 最好确定 ,是刚体对应边长比的平均值 ,平移参数只有在旋转矩阵R 确定后方能确定 ,所以旋转矩阵的确定是参数直接解算的核心由式 (4)可知 ,3个角度参数用下式计算（5）但在任意条件下 , 3个角取值范围是0 °～360 °, 具体大小无法判断 ,由式 (3) 才能判断出具体大小实际应用中 ,只要解出转换矩阵就能达到坐标转换的目的设是一个正交矩阵 ,其9个元素中只有3个是独立的又设反对称矩阵,其元素是独立的R 由S 构成罗德里格矩阵 [6 ]（6）其中 Δ = 1 + a2 + b2 + c2 本文就是以反对称矩阵和罗德里格矩阵性质建立直接计算的公式 三、3 点法计算转换参数公式在已知两坐标系统下3个公共点计算7个参数的方法称为3 点法,其计算过程如下1. 反对称矩阵和罗德里格矩阵性质其中 , I 是3 阶单位阵2. 转换参数直接解算通过上述可知 ,转换参数的确定关键是旋转矩阵的确定 ,以下是根据反对称矩阵和罗德里格的性质 ,由3 个点计算转换参数的公式推导。
由式 (2) ,由公共点1 ,2 可列两组6 个方程 , 用点2 方程减去点1 方程 ,消去平移参数 ,并把式 (7c) 代入或 （8）展开整理后得（9）上式只有两个独立方程 ,不能解出3 个未知数 ,用点1 ,3 可得一组方程 ,和式 (9) 联合 ,取3 个（10）式中 , u2 =λ XS21 + XT21 , v2 =λ YS21 + YT21 , w2 =λ ZS21+ ZT21 , u3 =λ XS31 + XT31 , v3 =λ YS31 + YT31（11）式中 ,ΔH = u3 v2 w2 - u2 v3 w2 , 由式 (7a) 就可计算出转换矩阵 ,由式 (2) 可得到平移参数 （12）四、算 例以3 点计算为例,表1 列出原坐标系统和目标系统下3 个公共点坐标由此得到两坐标系统转换的数学模型为本例设计的3个旋转角为55 °19′ 42″, 212°32′ 47″ 和140 °45′ 22″ 五、结 论1. 该模型从理论上讲比较严密,原理简单,只用加减乘除就能计算,实现起来比较容易2. 由于是直接解算,所以无论参数值大小如何,转换参数都是比较接近真值的。
3. 适应任意旋转角情况下坐标转换,扩大了模型的应用范围4. 给出了线性化形式,当多于3 个公共点时,为进一步最小二乘法平差作了准备参考文献:[1 ] 刘大杰,施一民,过静王君. 全球定位系统(GPS) 的原理与数据处理[M] . 上海:同济大学出版社, 1999.[2 ] 曾文宪,陶本藻. 3 维坐标转换的非线性模型[J ] . 武汉大学学报(信息科学版) ,2003 ,28(5) :5662568.[3 ] 刘根友. 一种GPS 测定姿态的新方法[J ] . 测绘科学,2003 ,28(3) :36238.[4 ] 赵建虎,刘经南,周丰年. GPS 测定船体姿态方法研究[J ] . 武汉测绘科技大学学报,2000 ,25(4) :3532357.[5 ] 郭 英,卢秀山,等. 有限条件下坐标转换矩阵的确定与精化[J ] . 测绘通报,2004 , (7) :325.[6 ] 李德仁,郑肇保. 解析摄影测量学[M] . 北京:测绘出版社,1992.。