1 (每日一练)人教版初中数学勾股定理易错知识点总结 单选题 1、已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 答案：B 解析： 依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形． 如图所示， AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴ △ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， 故选 B． 小提示： 2 本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形． 2、在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为 5 和 12，则斜边的长为（ ） A．6B．7C．10D．13 答案：D 解析： 根据勾股定理ᵄ2+ ᵄ2= ᵅ2，计算出斜边长为 13． 解：由勾股定理得，斜边长＝√52+122=13， 故选：D． 小提示： 本题考查了勾股定理的应用，直接代公式就可以求出斜边的长． 3、如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（ ） ①△ACE≌ △BCD；②∠DAB＝∠ACE；③AE+AC＝AD；④AE2+AD2＝2AC2 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 答案：C 解析： 由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得出②正确；由SAS证出△ACE≌ △BCD，①正确；证出△ADB 3 是直角三角形，由勾股定理得出④正确；由全等三角形的性质和等边三角形性质得出③不正确；即可得出答案． 解：∵ △ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠E＝∠CDE＝45°，∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵ ∠DAB+∠CAB＝∠ACE+∠E， ∴ ∠DAB＝∠ACE，故②正确； ∴ ∠ACE+∠ACD＝∠ACD+∠DCB＝90°， ∴ ∠ACE＝∠DCB， 在△ACE和△BCD中， {ᵃᵃ = ᵃᵃ∠ᵃᵃᵃ = ∠ᵃᵃᵃᵃᵃ = ᵃᵃ ， ∴ △ACE≌ △BCD（SAS），故①正确； ∴AE＝BD，∠CEA＝∠CDB＝45°， ∴ ∠ADB＝∠CDB+∠EDC＝90°， ∴ △ADB是直角三角形， ∴AD2+BD2＝AB2， ∴AD2+AE2＝AB2， ∵ △ABC是等腰直角三角形， ∴AB＝√2AC， ∴AE2+AD2＝2AC2，故④正确； 在AD上截取DF＝AE，连接CF，如图所示： 5 解析： 利用基本作图得到ED垂直平分AC，则EA=EC，再利用勾股定理计算出BC=8，然后利用等线段代换得到△ABE的周长=AB+BC． 解：由作法得ED垂直平分AC， ∴EA=EC， 在Rt△ABC中，BC=√ᵃᵃ2− ᵃᵃ2= √102− 62=8， ∴ △ABE的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=6+8=14． 故选：B． 小提示： 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握 5 种基本作图是解决此类问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理． 5、下列各组数：①3、4、5 ②4、5、6 ③2.5、6、6.5 ④8、15、17，其中是勾股数的有( ) A．4 组 B．3 组 C．2 组 D．1 组 答案：C 解析： ∵ 32+42=52，①符合勾股数的定义； ∵ 42+52≠62，②不符合勾股数的定义； ∵ 2.5 和 6.5 不是正整数，③不符合勾股数的定义； ∵ 82+152=172，④符合勾股数的定义， 是勾股数的有：①④，共 2 组， 故选：C． 6、已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c．试判断△ABC 6 的形状（ ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 答案：A 解析： 已知的式子变形，出现三个非负数的平方和等于 0 的形式，求出 a、b、c，再验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 解：a2+b2-c2+338=10a+24b+26c， a2-10a+25+b2-24b+144-c2-26c+169=0， 原式可化为（a-5）2+（b-12）2-（c-13）2=0， 即 a=5，b=12，c=13（a，b，c 都是正的）， 而 52+122=132符合勾股定理的逆定理， 故该三角形是直角三角形． 故选 A. 小提示： 本题考查因式分解的应用，解题关键是勾股定理的逆定理：已知三角形 ABC 的三边满足 a2+b2=c2，则三角形ABC 是直角三角形． 7、△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为（ ） A．42B．32C．42 或 32D．37 或 33 答案：C 解析： 存在 2 种情况，△ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在△ABC的内部和外部 情况一：如下图，△ABC是锐角三角形 7 ∵AD是高，∴AD⊥BC ∵AB=15，AD=12 ∴ 在Rt△ABD中，BD=9 ∵AC=13，AD=12 ∴ 在Rt△ACD中，DC=5 ∴ △ABC的周长为：15+12+9+5=42 情况二：如下图，△ABC是钝角三角形 在Rt△ADC中，AD=12，AC=13，∴DC=5 在Rt△ABD中，AD=12，AB=15，∴DB=9 ∴BC=4 ∴ △ABC的周长为：15+13+4=32 故选：C 小提示： 8 本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况. 8、如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ） A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm2 答案：A 解析： 根据折叠的条件可得：ᵃᵃ = ᵃᵃ，在ᵄᵆ △ ᵃᵃᵃ中，利用勾股定理就可以求解． ∵将此长方形折叠，使点ᵃ与点ᵃ重合，ᵃᵃ = 9cm， ∴ ᵃᵃ = 9 − ᵃᵃ， 根据勾股定理得：ᵃᵃ2+ 9 = (9 − ᵃᵃ)2， 解得：ᵃᵃ = 4(cm)． ∴ ᵄ△ᵃᵃᵃ=12× 4 × 3 = 6(cm2)． 故选：A． 小提示： 本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 填空题 9、如图所示，等腰三角形ABC的底边为 8cm，腰长为 5cm ，一动点P（与B、C不重合）在底边上从B向C以1cm/s 的速度移动，当P运动____________秒时，△ACP是直角三角形 9 答案：1.75 或 4 解析： 先利用等腰三角形“三线合一”求出BD、CD以及BC边上的高AD，再分别讨论∠PAC和∠APC为直角的情况，利用勾股定理分别求出两种情况下PB的长，即可求出所需时间． 解：如图，作AD⊥BC， ∵AB=AC=5cm，BC=8cm， ∴BD=CD=4cm， ᵃᵃ = √ᵃᵃ2− ᵃᵃ2= √52− 42= 3 当点P运动到与点D重合时，ᵮᵃᵃᵄ是直角三角形， 此时BP=4， ∴ 运动时间为 4÷1=4（秒）； 当∠PAC=90°时，设PD=x ∴ ᵄᵃ2= ᵄᵃ2+ ᵃᵃ2= ᵆ2+ 32= ᵆ2+ 9， 又∵ ᵄᵃ2= ᵄᵃ2− ᵃᵃ2= (ᵆ + 4)2− 52= ᵆ2+ 8ᵆ − 9， ∴ ᵆ2+ 9 = ᵆ2+ 8ᵆ − 9， ∴ ᵆ = 2.25， ∴BP=4－2.25=1.75， 所以运动时间为 1.75÷1=1.75（秒）； 10 综上可得：当P运动 4 秒或 1.75 秒时，ᵮᵃᵃᵄ是直角三角形； 所以答案是：1.75 或 4． 小提示： 本题综合考查了等腰三角形的性质、勾股定理等内容，要求学生能通过做辅助线构造直角三角形，列出关系式，求出对应线段的长，本题蕴含了分类讨论的思想方法． 10、如图，在矩形ᵃᵃᵃᵃ中，点ᵃ是边ᵃᵃ的中点，将△ ᵃᵃᵃ沿ᵃᵃ折叠后得到△ ᵃᵃᵃ，且点ᵃ在矩形ᵃᵃᵃᵃ的内部．将ᵃᵃ延长交边ᵃᵃ于点ᵃ，若ᵃᵃᵃᵃ=14，则ᵃᵃᵃᵃ=_____________． 答案：√52 解析： 连接 EG，根据中点和折叠的性质可证 Rt△ ECG≌ Rt△ EFG，然后可得ᵃᵃ = ᵃᵃ，设ᵃᵃ = ᵄ，从而可得ᵃᵃ = 4ᵄ，从而可得 BC，再根据矩形的性质结合勾股定理即可求出 AB，从而可得答案. 连接ᵃᵃ． 11 ∵ 点ᵃ是边ᵃᵃ的中点， ∴ ᵃᵃ = ᵃᵃ． ∴ 将△ ᵃᵃᵃ沿ᵃᵃ折叠后得到△ ᵃᵃᵃ， ∴ ᵃᵃ = ᵃᵃ，ᵃᵃ = ᵃᵃ，∴ ᵃᵃ = ᵃᵃ = ᵃᵃ． 在ᵄᵆ △ ᵃᵃᵃ和ᵄᵆ △ ᵃᵃᵃ中， {ᵃᵃ = ᵃᵃᵃᵃ = ᵃᵃ ， ∴ ᵄᵆ △ ᵃᵃᵃ ≌ ᵄᵆ △ ᵃᵃᵃ(ᵃᵃ)， ∴ ᵃᵃ = ᵃᵃ． 设ᵃᵃ = ᵄ．∵ᵃᵃᵃᵃ=14， ∴ ᵃᵃ = 4ᵄ， ∴ ᵃᵃ = ᵃᵃ + ᵃᵃ = ᵄ + 4ᵄ = 5ᵄ． 在矩形ᵃᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ = ᵃᵃ = 5ᵄ， ∴ ᵃᵃ = 5ᵄ，ᵃᵃ = ᵃᵄ + ᵃᵃ = 5ᵄ + ᵄ = 6ᵄ． 在ᵄᵆ △ ᵃᵃᵃ中，ᵃᵃ = √ᵃᵃ2− ᵃᵃ2= √(6ᵄ)2− (4ᵄ)2= 2√5ᵄ， ∴ᵃᵃᵃᵃ=5ᵄ2√5ᵄ=√52． 所以答案是：√52. 小提示： 本题是一道综合题，考查的是全等三角形的判定，矩形的性质和勾股定理，能够充分调动所学知识是解答本题的关键. 11、如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为 2m，宽为 1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为________． 12 答案：2.5m 解析： 设木棒的长为 xm， 根据勾股定理可得：x2=22+1.52， 解得 x=2.5． 故木棒的长为 2.5m． 故答案为 2.5m． 12、如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝_____． 答案：2.5 解析： ᵃᵃ分别交ᵃᵃ、ᵃᵃ于点ᵃ、点ᵃ；设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，ᵄ△ᵃᵃᵃ= ᵅ，ᵄ△ᵃᵃᵃ= ᵅ，由ᵄ2+ᵄ2= ᵅ2，可得ᵄ△ᵃᵃᵃ+ ᵄ△ᵃᵃᵃ= ᵄ△ᵃᵃᵃ，由此构建关系式，通过计算即可得到答案． 如图，ᵃᵃ分别交ᵃᵃ、ᵃᵃ于点ᵃ、点ᵃ 13 ∵ △ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形 ∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF， 设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，ᵄ△ᵃᵃᵃ= ᵅ，ᵄ△ᵃᵃᵃ= ᵅ ∵ ᵄ2+ ᵄ2= ᵅ2 ∴ ᵄ△ᵃᵃᵃ+ ᵄ△ᵃᵃᵃ= ᵄ△ᵃᵃᵃ ∵ ᵄ△ᵃᵃᵃ= ᵄ1+ ᵅ，ᵄ△ᵃᵃᵃ= ᵅ + ᵄ4，ᵄ△ᵃᵃᵃ= ᵄ2+ ᵄ3+ ᵅ + ᵅ ∴ ᵄ1+ ᵅ + ᵅ + ᵄ4= ᵄ2+ ᵄ3+ ᵅ + ᵅ ∴ ᵄ4= ᵄ2+ ᵄ3− ᵄ1=3.5 + 5.5 − 6.5 = 2.5 所以答案是：2.5． 小提示： 本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解． 13、如图，一个高16ᵅ，底面周长8ᵅ的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长． 答案：20m． 14 解析： 试题分析：要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 将圆柱表面按一周半开展开呈长方形， ∵ 圆柱高 16m，底面周长 8m，设螺旋形登梯长为 xm， ∴ x2=（1×8+4）2+162=400， ∴ 登梯至少√400=20m 所以答案是：20m 小提示： 本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键． 解答题 14、如图，矩形 ABCD 中，∠ ABD、∠ CDB 的平分线 BE、DF 分别交边 AD、BC 于点 E、F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； 15 （2）当∠ ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由． 答案：(1)见解析;(2)见解析. 解析： 试题分析：（1）由矩形可得∠ ABD=∠ CDB，结合 BE 平分∠ ABD、DF 平分∠ BDC 得∠ EBD=∠ FDB，即可知BE∥ DF，根据 AD∥ BC 即可得证； （2）当∠ ABE=30°时，四边形 BEDF 是菱形，由角平分线知∠ ABD=2∠ ABE=60°、∠ EBD=∠ ABE=30°，结合∠ A=90°可得∠ EDB=∠ EBD=30°，即 EB=ED，即可得证． 试题解析：（1）∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴ AB∥ DC、AD∥ BC，∴ ∠ ABD=∠ CDB，∵ BE 平分∠ ABD、DF 平分∠ BDC，∴ ∠ EBD=∠ ABD，∠ FDB=∠ BDC，∴ ∠ EBD=∠ FDB，∴ BE∥ DF，又∵ AD∥ BC，∴ 四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当∠ ABE=30°时，四边形 BEDF 是菱形，∵ BE 平分∠ ABD，∴ ∠ ABD=2∠ ABE=60°，∠ EBD=∠ ABE=30°，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ ∠ A=90°，∴ ∠ EDB=90°﹣∠ ABD=30°，∴ ∠ EDB=∠ EBD=30°，∴ EB=ED，又∵ 四边形BEDF 是平行四边形，∴ 四边形 BEDF 是菱形． 考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；探究型． 15、如图，在△ ABC 和△ DCE 中，AC＝DE，∠ B＝∠ DCE＝90°，点 A，C，D 依次在同一直线上，且 AB∥ DE． （1）求证：△ ABC≌ △ DCE； （2）连结 AE，当 BC＝5，AC＝12 时，求 AE 的长． 答案：（1）见解析；（2）13 解析： 16 根据题意可知，本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，根据判定定理，运用两直线平行内错角相等再通过 AAS 以及勾股定理进行求解． 解：（1）∵ ᵃᵃ//ᵃᵃ ∴ ∠ᵃᵃᵃ = ∠ᵃᵃᵃ 在△ ABC 和△ DCE 中 {∠ᵃ = ∠ᵃᵃᵃ∠ᵃᵃᵃ = ∠ᵃᵃᵃᵃᵃ = ᵃᵃ ∴ △ ABC≌ △ DCE （2）由（1）可得 BC=CE=5 在直角三角形 ACE 中 ᵃᵃ = √ᵃᵃ2+ ᵃᵃ2= √122+ 52= 13 小提示： 本题考查平行的性质，全等三角形的判定和勾股定理，熟练掌握判定定理运用以及平行的性质是解决此类问题的关键． 。