高中数学(三)第3章_矩阵

第三章 一次方程组 35第三章 一次方程组３-１ 　一次方程组与矩阵的列运算 系数矩阵及增广矩阵： 将一次方程组的系数依序列出来的矩阵，称为该方程组的系数矩阵将其系数及常数项依序列出来的矩阵，称为该方程组的增广矩阵 若一次方程组有 m 个方程式且有 n 个未知元，则其系数矩阵之阶数为 m  n，其增广矩阵之阶数为 m  (n  1)例： 　，系数矩阵为 A3  3  ，24135zyx 1420增广矩阵为 B3  4  25 矩阵的基本列运算： 将矩阵的某一列乘以某一数后加到另一列 将矩阵的某一列乘以一个不为 0 的数 将矩阵中的某二列互换位置设方程组 之解为(3, 1, 2)，求 之解？332211dzcybxa 3322114dzcybxa解：将(3, 1, 2)代入 a1x  b1y  c1z  d1 3a1 – b1  2c1  d1  12a1 – 4b1  8c1  4d1………..…2a1x  b1y  3c1z  4d1  (2x)a1  yb1  (3z)c1  4d1……比较 , 系数得　x  6，y  4，z  ∴(x , y, z)  (6, 4, )。

38 范例 136 高中数学(三) 讲义利用高斯消去法解三元一次方程组 .1523.zyx解：  (2)  ，  (2)  　得 ，.12.zy(3)  (2)  ， (3)  得 ， .65.3zx，  (1) 得 x  3，y  1，z  6　∴(x , y, z)  (3, 1, 6) 　 72331zyx926510475zyx解： 增广矩阵 A  → A 71233 621043→ A  得 →  ，604091 9A20147由矩阵 得原方程组恰有一组解 x  7，y  2，z  4　∴(x , y, z)  (7, 2, 4) 增广矩阵 A  → A 92635107 9633501→ A  得 481705 10→   ( t  R ) 63653xtyzt 范例 2 范例 3第三章 一次方程组 37 精 选 类 题  解方程组（用高斯消去法）：，则(x, y, z) ______。

答：(2, 3, 5)0375472zyx 若 经过矩阵列运算后，可简化成矩阵 ，求数对1192 cba10(a, b, c) ______ 答：(1, 3, 5)38 高中数学(三) 讲义３-２ 　行列式 二阶、三阶行列式的定义：  a1b2 – a2b11  a1b2c3  b1c2a3  c1b3a2 – c1b2a3 – b1a2c3 – a1b3c2332a 行列式的性质： 行列式的行、列互换，其值不变　　　 任意两行（列）对调，其值变号 任一行（列）可提出同一数　　　　　 两行（列）成比例时，其值为 0 将一行（列）的 k 倍加到另一行（列） ，其值不变 行列式可依某一行（列）展开 a1  a2  a3  a1  b1  c133221cba3c1cb2c32c32a32b 行列式的应用： 三线共点：※〔逆定理不成立（如：L 1 // L2 // L3） 〕为两两不平行的相异三线，若三线共点  00::332211cybxa 332211cba 平行六面体的体积：设   (a1 , a2 , a3)，   (b1 , b2 , b3)，   (c1 , c2 , c3)，则由 , ,所张的平行六面体的体积 的绝对值。

321ca若  2，求 ？dcbadcba74 范例 1第三章 一次方程组 39解：  4  4  4(7)  28  2  56dcba724dcba72dcba40 高中数学(三) 讲义已知三直线 L1 : x  ay  1，L 2 : 4x  2y  3，L 3 : ax – 2y  1 共点，求 a 之值？解：∵三直线共点　∴  0  3a2 – 6a  0  a  0 或 212a求行列式 之值？225431解：      82254319437125313620917420137 分解 之因式　 求行列式 之值？21cba64127938解：   (b – a)(c – a)21cba20cb1 (b – a)(c – a)(c  a – b – a)  (b – a)(c – a)(c – b)  (a – b)(b – c)(c – a)  2  3  4  24  24(2 – 3)(3 – 4)(4 – 2)  486147938169243 范例 2 范例 3 范例 4第三章 一次方程组 41 　  0。

xx121430513872x解： xx121430 3 – 2x2 – 3x – 4x  2x2  11  7x  14  x  2  05187 35x2 – 280x – 13 – 245  65x – 8x2  0  x2  5x  6  0  x  2  3求包含 L1 : 而平行 L2 : 之平面方程式 ？1342zyx 3121zyx解：L 1 上一点 A(1, 1, 3)，L 1 之方向向量  (2, 4, 1)，L2 之方向向量  (2, 1, 3)，P(x, y, z)为平面上之动点，则  (x – 1, y  1, z – 3)，平面之方程式为  0  11x – 8y – 10z  11  03124zyx 范例 6 范例 542 高中数学(三) 讲义 精 选 类 题  若  2，求 ______ 答：433211cba 333222111cbacba 解方程式  0 之 x ______ 答：9  0x51 ABC 中，  (3, 4)，  (5, 12)，则 ABC 之面积______。

答：28 空间四点 A(1, 1, 0)，B (0, 1, 0)，C(2, 3, 4)，D(1, 1, 3)， 以 为相邻三边的平行六面体的体积为______DC, 四面体 ABCD 的体积为 ______ 答： 26　 31 已知空间四点 A(0, 1, 2)，B(1, 1, 3)，C(3, 0, 1)，D(k , 2, 1)所围成四面体的体积为 4，求 k ______ 答： 29 空间四点 A(0, 0, 0)，B(1, 2, 3)，C(2, 3, 1)，D(1, 1, a)共平面，则 a ______答：2 平面上三直线 x  y – 2  0，ax – 3y  1  0，3x  ay – 5  0 共点，求 a ______答：0  2 L1 : x  2y – 5  0，L 2 : 2x – 3y  4  0，L 3 : ax  y  0，三线无法围出一个三角形，则 a ______ 答：2， 31第三章 一次方程组 43３-３ 　克拉玛公式 二元一次方程组之解的讨论：方程组 ……(*)中，令  ， x  ， y  ，则2211cybxa21ba21bc21ca 当  0 时，方程组(*)恰有一组解：x  ；y  ，称为相容方程组。

y 当  0 时，但 x  0 或 y  0 时，方程组(*)无解，称为矛盾方程组 当  x  y  0 时，方程组(*)有无限多组解，称为相依方程组 三元一次方程组解的讨论：的解，332211dzcybxa令  ， x  ， y  ， z  ，332211 332211cb332211cda332211dba 当  0，恰有一组解　  x  ，y  ，z  z 当  0，且 x , y , z 中有一不为 0 时，则此方程组无解 当  x  y  z  0 时，则此方程组可能有无限多组解，也可能无解此时可用“加减消去法”解此方程组或“平面的法线向量” ，即可判断出来) 三元一次方程组解的几何意义：……(*)中，332211dzcybxa令  ， x  ， y  ， z  ，332211 332211cb332211cda332211dba 若  0 时，则方程组(*) “恰有一解” ；而三平面交于一点，交点坐标为( , , )如图１)xyz 若  0，而 x , y , z 中至少有一个不为 0 时，则方程组 (*)“无解” ；44 高中数学(三) 讲义而三平面可能 其中有两平面平行，而另一平面与此两平面都交于一直线。

（如图２） 三平面两两相交于一直线，但三交线不共点 （如图３） 若  x  y  z  0 时，则 方程组(*)“有无限多组解” ；三平面可能 重合 （如图４） 有两平面重合，且与第三平面交于一直线 （如图５） 两两不重合，但相交于一直线 （如图６） 方程组(*)“无解” ；三平面可能 有两平面重合，且与第三平面平行 （如图７） 两两平行 （如图８）三平面位置关系共八种，可以法线向量来判别其之间的位置关系设 a  R， ，若 恰有一组解　 无解　 无限多组解，8)5(2343yax求 a 之条件？解： 　 a 2  8a  7  0　 a  1，a  75423 a  7 时， 范例 1第三章 一次方程组 45 2， 　  ，故无解a542341385aa54283 a  1 时， 1，  1　  ，故有无限多组解46 高中数学(三) 讲义用行列式解 15423zyx解：   0 ,x   0 ,y   0 ,z   5423154132512341420无法判断原方程组无解或无限多组解，令 y  t 得 ，.41523.tzxt由 , 解得 x  ，z  ，代入t972t9102( )  5( )   1 – 4t（验合） ，t9721054故原方程组有无限多组解，且其解(x, y , z)  ( , t , )，t  R。

97210设方程组  无解　 有无限多组解试分别求 k 之值5.12kzykx解：  8k3  6k – 2  (k  1)(2k – 1)2， x  4k3  6k2 – 3k    (2k – 1)3，12y  6k2 – 6k   (2k – 1)2， z  6k2 – 6k   (2k – 1)2， k。