中国科学技术大学硕士学位论文量子主方程及其求解的若干方法姓名：杨洁申请学位级别：硕士专业：理论物理指导教师：张永德2003.5.1中国科学技术大学硕士学位论文摘要本文介绍了量子理论中研究开放系统的一种常用方法一一主方程方法主方程是量 子体系的约化密度算符在环境或热库中演化的方程我们主要探讨了主方程导出，求解和应用的一些问题首先介绍了主方程导出的几种基本方法：P a u l i —Z w a n z i g 方法，L o u i s e l l 方法，超算符 方法这些方法都有其重要的应用，同时也有其适用的范围然后介绍主方程求解的一些c 一数等效方程方法c 一数方程的使用非常广泛，因为如 果找到密度算符和经典函数的一种对应，就可将算符方程转化为c 一数方程量子光学中，这些包括粒子数表象下的c ．数方程，力学量算符期望值的c 一数方程，以及各种F o k k e r —P I a n c k 方程给出P 表象，Q 表象，W i g n e r 函数表象以及广义P 表象下的F o k k e r ．P l a n c k 方程接下来介绍了主方程应用于量子光学和凝聚态物理的三个例子我们用Z w a n z i g 方法 推导辐射场与物质相互作用的D i c k e 模型的主方程，用L a w a n d e 稳态解方法求解超辐射和 共振荧光的主方程；分析了激光产生的机制，用L o u i s e l l 方法导出激光场的主方程，并求出该主方程的稳态解；介绍了稀薄量子B o s e 气体的模型，导出B o s e —E i n s t e i n 凝聚的量子运动的主方程。
在已有的量子光学主方程求解方法的基础上，我们发展了求解主方程的代数方法我们发现当主方程用超算符来表达时，如果超算符具有s u 0 ，1 ) ／s u ( 2 ) L i e 代数结构，则利 用L i e 代数分解定理，我们可以将主方程因式化成超算符L i e 代数生成元的指数乘积，从而可以精确求解当量子体系的初态密度算符给定，可以简单地写出任意时刻体系约化密度算符的解析表达式最后给出主方程在量子信息论中的一个应用一- - B e l l 非定域性动力学对双模压缩真空态及杂化纠缠态的B e l l 非定域度演化，作了细致的分析和讨论附录给出了主方程推导和求解的一些计算第i i i 页共5 9 页中国科学技术大学硕士学位论文A b s t r a c tI nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w eu s eau s e f u lm e t h o d ，m a s t e re q u a t i o n ( M E ) ，i nd e a l i n gw i t hq u a n t u mo p e ns y s t e m s ．Am a s t e re q u a t i o nd e s c r i b e st h ee v o l u t i o no ft h er e d u c e dd e n s i t yo p e r a t o ro faq u a n t u ms y s t e mi ne n v i r o n m e n to rr e s e r v o i r ．W es t u d ym a i n l yo nh o wt od e r i v em a s t e re q u a t i o n s ，h o wt os o l v et h ee q u a t i o n s ，a n dh o wt ou s et h e mi nq u a n t u mt h e o r y ．F i r s t l y , w ei n t r o d u c es e v e r a lw a y si nd e r i v i n gM E s ：P a u l i —Z w a n z i g ’Sm e t h o d ，L o u i s e l l ’Sm e t h o da n ds u p e r o p e r a t o rm e t h o d ．W ec a ns e et h a te v e r ym e t h o dh a si t si m p o r t a n tu s e sb u ta l s oh a si t sl i m i t a t i o n s ．S e c o n d l y , w ei n t r o d u c eC - n u m b e re q u i v a l e n te q u a t i o n si ns o l v i n gM E s ．T h e s em e t h o d sa r ew i d e l yu s e d ，f o ri ft h e r ei sac o r r e s p o n d e n c eb e t w e e nad e n s i t yo p e r a t o ra n dac l a s s i c a lf u n c t i o n ，a Do p e r a t o re q u a t i o nc a nb et u r n e di n t oac —n u m b e re q u a t i o n ．I nq u a n t u mo p t i c s ，t h e s ei n c l u d eC - n u m b e re q u a t i o n si nF o c ks t a t er e p r e s e n t a t i o na n de q u a t i o n so fo b s e r v a b l eo p e r a t o re x p e c t a t i o n sa n da l lk i n d so fF o k k e r —P l a n c ke q u a t i o n s ．A n dw ep r e s e n ts e v e r a lF o k k e r —P l a n c ke q u a t i o n si nPr e p r e s e n t a t i o n ，Qr e p r e s e n t a t i o n ，W i g n e rf u n c t i o nr e p r e s e n —t a t i o na n dg e n e r a lPr e p r e s e n t a t i o n ．T h i r d l y ，w ei n t r o d u c et h r e ee x a m p l e so fM E si nq u a n t u mo p t i c sa n dc o n d e n s em a t t e rp h y s i t s ．F i r s to fa l l ，w eu s et h eZ w a n z i g ’Sm e t h o di nd e r i v i n gt h eM Eo fD i c k em o d e lf o rr a d i a t i o nf i e l d si n t e r a c t i n gw i t hm a t t e r ，a n ds o l v et h eM Eo ft h es u p e r r a d i a n c ea n dr e s o n a n tf l u o r e s c e n c eb yu s i n gL a w a n d e ’Ss t e a d ys t a t es o l u t i o n ．T h e nw ea n a l y z et h em e c h a n i s mo ft h ef o r m a t i o no fl a s e ra n dd e r i v et h eM Ei nal a s e rf i e l dw i t hL o u i s e l l ’Sm e t h o d ，w ea l s og i v et h es t e a d ys t a t es o l u t i o nt oi t ．T h e nw ei n t r o d u c et h em o d e lo fad i l u t eq u a n t u mB o s eg a sa n dd e r i v et h eq u a n t u mk i n e t i cM Eo fB o s e —E i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ．O nt h eb a s i so ft h ee x i s t i n gs o l u t i o n st oM E si nq u a n t u mo p t i c s ，w ed e v e l o pa na l g e b r a i c m e t h o d ．W ef i n dt h a tf o rac l a s so fM E sw h i c hc a nb ee x p r e s s e di ns u p e r o p e r a t o r s ，t h eg e n e r a t o r so ft h es u p e r o p e r a t o rh a v es u ( 1 ，1 ) o rs u ( 2 ) L i ea l g e b r as t r u c t u r e ．B yu s i n gL i ed e c o m p o s i n gt h e o r e mw ec a nf a c t o r i z et h es u p e r o p e r a t o rt oap r o d u c to fe x p o n e n t i a lo fe v e r yg e n e r a t o r ，t h e nw ec a ns o l v et h eM Ee x a c t l y ．I fa ni n i t i a ld e n s i t yo faq u a n t u ms y s t e mi sg i v e n ，w ec a ns i m p l yp u td o w na na n a l y t i ce x p r e s s i o nt ot h er e d u c e dd e n s i t yo p e r a t o ra ta n y t i m e ．A tt h ee n do ft h i st h e s i s ，w eg i v ea na p p l i c a t i o no fM Ei nq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y ,t h eB e l ln o n l o e a l i t yd y n a m i c s ．W ea n a l y z ea n dm a k ead i s c u s s i o no nt h eB e l ln o n l o c a l i t yd y n a m i c so ft w om o d e ss q u e e z e dv a c u u ms t a t ea n dah y b r i de n t a n g l e ds t a t ei nd e t a i l ．S o m ec a l c u l a t i o n si nd e r i v i n ga n ds o l v i n gM E sa r eg i v e ni nt h ea p p e n d i x ．●’第i v 页．共5 9 页致谢本论文是在我的授业恩师张永。