直线的方向向量与平面的法向量【问题导思】图 3－ 2－11．如图 3－ 2－ 1，直线 l ∥ m，在直线 l 上取两点 A、B，在直线 m上取两点 C、D，向量→ →AB与 CD有怎样的关系？→ →【提示】 AB∥CD.2．如图直线 l ⊥平面 α ，直线 l ∥ m，在直线 m上取向量 n，则向量 n 与平面 α 有怎样的关系？【提示】 n⊥ α.直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量， 一条直线的方向向量有无数个．直线 l ⊥ α，取直线 l 的方向向量 a，则向量 a 叫做平面 α 的法向量 .空间中平行关系的向量表示设两条不重合的直线 l ，m的方向向量分别为 a＝ ( a1，b1，c1) ，b＝ ( a2，b2，c2 ) ，线线平行则 l ∥ m? a∥ b? ( a1， b1， c1) ＝ k( a2， b2， c2)设l的方向向量为a＝( 1， 1，1) ，α的法向量为＝( 2，2，2) ，则l∥αa b cu a bc线面平行? a· u＝0? a1a2＋ b1b2＋ c1c2＝ 0设α，β的法向量分别为u＝( 1， 1，1) ，＝(a2， 2，2) ，则α∥β?u∥a b cvb c面面平行v? ( a1， b1，c1 ) ＝ k( a2， b2，c2)求平面的法向量图 3－ 2－21已知 ABCD是直角梯形， ∠ ABC＝90°，SA⊥平面 ABCD，SA＝ AB＝ BC＝ 1，AD＝ 2，试建立适当的坐标系．(1) 求平面 ABCD与平面 SAB的一个法向量．(2) 求平面 SCD的一个法向量．【自主解答】 以点 A为原点， AD、AB、 AS所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立1如图所示的坐标系，则 A(0,0,0) ， B(0,1,0) ， C(1,1,0) ，D( 2， 0,0) ， S(0,0,1) ．→(1) ∵ SA⊥平面 ABCD，∴ AS＝ (0,0,1) 是平面 ABCD的一个法向量．∵ AD⊥AB， AD⊥SA，∴ AD⊥平面 SAB，→ 1∴ AD＝ ( ， 0,0) 是平面 SAB的一个法向量．2→1→(2) 在平面 SCD中， DC＝ ( 2， 1,0)，SC＝ (1,1，－1)．→→设平面 SCD的法向量是 n＝ ( x， y， z) ，则 n⊥ DC， n⊥ SC.→1∴ x＝－ 2y所以 n·DC＝ 0得方程组2x＋ y＝ 0→z＝－ y，n·SC＝ 0，x＋ y－ z＝0.令 y＝－ 1 得 x＝ 2， z＝ 1，∴ n＝ (2 ，－ 1,1)．1．若一个几何体中存面垂直关系，则平面的垂线的方向向量即为平面的法向量．2．一般情况下，使用待定系数法求平面的法向量，步骤如下：(1) 设出平面的法向量为 n＝ ( x， y，z) ．(2) 找出 ( 求出 ) 平面内的两个不共线的向量a＝ ( a1， b1，c1) ， b＝ ( a2，b2， c2) ．(3) 根据法向量的定义建立关于 x，y， z 的方程组n·a＝ 0，n· b＝ 0.(4) 解方程组，取其中的一个解，即得法向量．n· a＝ 0，3．在利用上述步骤求解平面的法向量时，方程组 有无数多个解， 只需给n· b＝ 0x， y， z 中的一个变量赋于一个值，即可确定平面的一个法向量；赋的值不同，所求平面的法向量就不同，但它们是共线向量．正方体－1111中，、F分别为棱1 1、 1 1 的中点，在如图3－ 2－ 3 所示的ABCD A B CDEAD AB空间直角坐标系中，求：图 3－ 2－3(1) 平面 BDD1B1 的一个法向量．(2) 平面 BDEF的一个法向量．【解】设正方体ABCD－ A B CD 的棱长为2，则 D(0,0,0)， B(2,2,0)， A(2,0,0)，1111C(0,2,0) ，E(1,0,2)(1) 连，因为⊥平面11，所以→＝ ( － 2,2,0)为平面1 1 的一个法向量．ACACBDDBACBDDB→→．(2) DB＝ (2,2,0)，DE＝ (1,0,2)设平面的一个法向量为n＝ (，，z) ．BDEFxy→2x＋ 2y＝ 0y＝－ xn·DB＝ 01∴→∴ x＋ 2z＝ 0，∴＝－n·DE＝ 0，z2x.令 x＝2 得 y＝－ 2， z＝－ 1.∴ n＝ (2 ，－ 2,1)即为平面BDEF的一个法向量.长方体ABCD－ A1B1C1D1 中，E、F 分别是面对角线B1D1，A1B 上的点， 且D1E＝ 2EB1，BF＝ 2FA1. 求证：EF∥ AC1.【自主解答】如图所示，分别以DA，DC， DD1所在的直线为x 轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系，设DA＝ a， DC＝b， DD1＝ c，则得下列各点的坐标：A( a, 0,0)， C1(0 ，b，c) ，22b2E( 3a， 3b， c) ， F( a，3， 3c) ．→ a b c→∴ FE＝ ( － ， ， ) ， AC1＝ ( － a， b，c) ， 3 3 3→ 1 →∴ FE＝ 3AC1.又 FE与 AC1不共线，∴直线 EF∥ AC1.利用向量法证明线线平行的方法与步骤：图 3－ 2－4如图 3－ 2－ 4 所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为 DD1和 BB1 的中点． 求证：四边形 AEC1F 是平行四边形．【证明】以点D为坐标原点，分别以→，→→，1为正交基底建立空间直角坐标系，DA DC DD不妨设正方体的棱长为1，则 A(1,0,0)， E(0,0111，2) ， C(0,1,1)， F(1,1 ， 2) ，→1→1→1 →1→ → →∴AE＝( －1,0，2) ，FC＝( － 1，0，2) ，EC＝ (0,1，2) ，AF＝ (0,1，2) ，∴ AE＝ FC，EC1111→＝AF，→ → → →∴ AE∥FC1， EC1∥ AF，又∵ F? AE， F? EC1，∴ AE∥ FC1， EC1∥AF，∴四边形 AEC1F 是平行四边形 .利用空间向量证明线面平行图 3－ 2－5如图 3－ 2－ 5，在正三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， D 是 AC 的中点，求证： AB1∥平面DBC1.【自主解答】 以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系．设正三棱柱的底面边长为 a( a>0) ，侧棱长为 b( b>0) ，3 a 3 a a则 A(0,0,0) ， B( 2 a，2， 0) ， B1( 2 a， 2，b) ， C1(0 ，a， b) ， D(0 ， 2， 0) ，→3 a→3∴ AB1＝ (2 a，2， b) ， BD＝ ( － 2 a, 0,0) ，→aDC1＝ (0，2， b) ．设平面 DBC1的一个法向量为 n＝ ( x， y， z) ，→3x＝ 0，n· BD＝－ax＝0，则2∴a y.a→z＝－2bn· DC1＝2y＋＝ 0，不妨令y＝ 2，则 ＝ (0,2，－ )．bnba→→由于 AB1· n＝ ab－ab＝ 0，因此 AB1⊥ n.又 AB1? 平面 DBC1，∴ AB1∥平面 DBC1.利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：方法一： 证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面， 即可用平面内的。