浅谈积分不等式的证明

I浅谈积分不等式的证明浅谈积分不等式的证明摘摘 要要积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强每种方法有一定的特色，并且有一定的规律可循本文综述了积分不等式的若干方法通过对例题的分析，总结了求积分不等式的常用方法这篇文章主要有两部分组成，其一，利用定积分的性质，微分中值定理，积分中值定理，概率论知识，施瓦兹不等式，二重积分等内容，研究了积分不等式的证法其二，研究了 Gronwall 积分不等式不同的证明方法并加以应用更重要的是，对某些积分不等式进行推广[ [关键词关键词] ]：：定积分,概率论，积分不等式，泰勒公式IIAbstractAbstractThe proof of integral inequality is flexible，skillful and complex . Every method has its feature. However, it also has law to obey. The article explains some methods. By analysis course of some examples, I sum up some methods of proving integral inequality.The article mainly has two aspects. Firstly, the article explores ten methods of proving Integral inequality with the nature of definite integral，Mean value theorem of differential, mean value theorem of integral，Schwarz inequality, Taylor formula, probability knowledge and double integral and so on. Secondly, the article has studied the proof of Gronwall integral inequality and its application. What is more, some integral inequalities have been generalized by the article. [KeywordsKeywords]: :Definite Integral, , Probability, Integral Inequality ,Taylor formula.目录目录引言..............................................................1第一章积分不等式的证明方法积分不等式的证明方法. ......................................21.1 利用定积分性质证明积分不等式...................................21.2 利用中值定理证明积分不等式.....................................31.3 利用施瓦兹不等式证明积分不等式.................................41.4 利用二重积分证明积分不等式.....................................51.5 利用反证法证明积分不等式.......................................61.6 利用线性变换证明积分不等式.....................................71.7 利用泰勒公式证明积分不等式.....................................71.8 作辅助函数利用函数单调性证明积分不等式.........................81.9 利用概率论方法证明积分不等式...................................81.10 利用 Gurland 不等式证明积分不等式..............................10第二章第二章 一些特殊积分不等式的证明，推广，及应用一些特殊积分不等式的证明，推广，及应用.....................122.1Gronwall 积分不等式的证明及其应用...............................122.2 对某个积分不等式的推广.........................................152.3 数值积分不等式.................................................162.4 Steffensen 不等式..............................................17结束语结束语.............................................................19参考文献参考文献...........................................................20谢辞谢辞...............................................................211引引 言言积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强。

每种方法有一定的特色，并且有一定的规律可循本文综述了积分不等式的若干方法通过对例题的分析，总结了求积分不等式的常用方法根据不同积分不等式特征，采取不同的方法 . .此法不论对初等数学和高等数学都有一定的价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用2第一章：积分不等式的证明第一章：积分不等式的证明1.11.1 利用定积分的性质证明积分不等式利用定积分的性质证明积分不等式例 1：已知在上连续，对任意的 x,y 都有 xf0,1  yxMyfxf求证： 1011 2nkkMf x dxfnnn证明：   1101kn n k knf x dxf x dx   11101111kknnn nn kk kkknnkkf x dxff x dxfdxnnn  111 1112kkknnn nnn kkk kkknnnkkkMf xfdxM xdxMx dxnnnn 总结：此题主要利用定积分的绝对值不等式性质进行分析处理例 2：试证22 00cos sinsin cost dtt dt 分析：此题主要可用定积分的性质处理因为定积分的保不等号性；若函数和在区间上可积，且对，有 xf xg, a b,xa b ，则  xgxf  babadxxgdxxf由此只需证ttcossinsincos证明：由定积分的保不等号性，只需证()()cos sinsin costt³当时，因，0,2t02sin242t0,2t所以，即，且sincos2ttp+0cossin2ttp0 时，由条件不等式得：           ,taf t g tg t kf s g s ds 两边从 a 到 t 积分,得    ttaaIn kf s g s dsInkg s ds由上式不等式和条件不等式，得  exp,taf tkg s dsatb 当 k=0 时，条件这时不等式变为,结论变为   tadssgsftfbtatf , 0事实上，    0,,taf tf s g s ds 成立从而  exp,taf tg s dsatb 而由任意性可知btatf , 0综上  exp,taf tkg s dsatb 例 1：利用 Gronwall 积分不等式证明一阶微分方程 Lipschitz 存在唯一性定理中的唯一性部分。

已知初值函数有解，证明其解唯一   00,, xtxxtftx证明：初值问题的等价积分方程是 tdsxsfxtx 00.设是初值问题的解，假若还有另一解，则因tt15 dsssfxtt 00, dsssfxtt 00,有  dsssfssfttt 0,,  dsssLt 0其中常数LipschitzL为0由定理有tLdstt 0exp0xtfMmbahhtst,max,,min,00  即0tt即：，tthttt00同理可证：，证毕tt00ttht2.22.2 对某积分不等式的一个推广对某积分不等式的一个推广参考文献有结论：设函数在区间上严格增加，n 等份将区间， 16 f x0,10,1取，则有不等式kk n 1011nkkff x dxn n推广定理推广定理：，取 ,,f xa ba b n设函数在区间上严格增加，将区间等分，则有kk ba n   bankdxxfnabankabf1证明：设，是函数在区间上关于等 n 1nkba kbaS nfann xf, a b份分法的上和，在区间上严格增加, 于是就有 xf, a b  baS nf x dx16现证式中等式不成立，为此我们证明存在数列的一个子  baS nf x dx S n列， kS n使严格减少于，若能如此，则有 kS n badxxf  badxxfnS考虑子列，由于在上严格增加，对每个由 2nS f x, a bnk21，就有nnabkaabka22121 nnabkafabkaf22121此时  12121222222    n knn knnnababkafabkafababkafSnn 12111222 212    n knnababkafabkafn=1211122nknnababkaf12nS可见子列严格减少由 Darboux 定理得 nS 2  10lim2n nSf x dx 由于且有的一个子列，  baS nf x dx S n kS n严格减少于，所以。

 kS n badxxf   101dxxfnabankabfnk推论 1：， ,,f xa ba b n设函数在区间上严格增加，将区间等分取，则有不等式1kkba n   bankdxxfna。