数学史题目：牛顿—莱布尼茨与微积分学院：数学与系统科学学院学号：11304108姓名：刘志慧牛顿—莱布尼茨与微积分【摘要】微积分的创立，被誉为是“人类精神的最高胜利”，是由常量数学向变量数学转变 的一件具有划时代意义的大事16 世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多数学家所做的大量 准备工作的基础上，各自独立地创立了微积分关键词】牛顿 莱布尼茨 微积分 【正文】微积分的出现是由常量数学向变量数学转变的一件具有划时代意义的大 事，时至今日，它不仅成了学习高等数学各分支必不可少的基础，而且也是学习 和掌握近代的任何一门自然科学和工程技术的工具提起微积分，人们自然会想 到英国的牛顿(1642~1727)和德国的莱布尼茨(1646~1716)，这主要是因为他 们提出了微积分的基本概念和运算方法，发现了微积分的内在联系，建立了著名 的牛顿—莱布尼茨公式在历史上微积分的萌芽出现得比较早，中国战国时代的《庄子•天下篇》中 的“一尺之棰，日取其半，万事不竭”，就蕴含了无穷小的思想古希腊物理学、 数学两栖科学大师阿基米德在公元前三世纪依据前人的穷竭法，用“切片”方法 并借助杠杆原理建立了球体的体积公式，这其中就包含了定积分的思想。
但在当 时，微积分并没有受到人们的广泛关注直到公元17 世纪，在欧洲资本主义开始 萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下，航海、天文、力学、军事、生产等科 学技术给数学提出了一系列迫切需要解决的问题从数学角度归纳起来主要集中 在以下4个方面：①由距离和时间的函数关系，求物体在任意时刻的速度和加速 度；反之，由物体的加速度和时间的函数关系，求速度和距离②确定运动物体 在其轨道上任一点处的运动方向，以及研究光线通过透镜的通道而提出求曲线的 切线问题③求函数的最大值最小值④寻求曲线的长度，曲线所围成图形的面 积、体积，物体的重心等等的一般方法正是这些外部条件的产生，让许多数学 家开始利用微积分的思想解决有关问题 17世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨都明确 地认识到求积问题与作切线问题之间的互逆关系，于是，在此基础上，他们建立 了微积分基本定理，并且系统地总结出了一套强有力的无穷小算法(这一时期的 微积分主要是以“无穷小量分析”为标志)1．牛顿与其“流数术”牛顿(1642~1727)，英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家牛顿 在数学上最卓越的贡献是创建微积分传记作家理查德•威斯法说，伊萨克•牛 顿是“塑造了人类才智诸领域的寥寥无几的超级天才之一，一个无法归结为我们 用以理解同类的标准的人”，因为微积分仅仅是他对我们理解周围世界作出重大贡 献的许多领域中的一个。
在17世纪60年代的短短几年里牛顿成功地将他17世纪 的前辈们发展出的关于切线和面积的所有材料统一并推广成为我们今天的微积分 教科书中展示的神奇的解决问题的工具牛顿于 1661 年入剑桥大学三一学院，受教于巴罗，同时钻研伽利略、开普勒、 笛卡儿和沃利斯等人的著作牛顿在通过自学掌握了 17 世纪的全部成就后，从 1664 年后期到 1666 年后期花费了两年时间理出了他关于微积分的基本思想就 数学思想的形成而言，笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他影响最 深，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路1．1 流数术的初建牛顿对微积分问题的研究始于 1664 年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》， 对笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法就在此时，牛顿首 创了小 记号表示X的无限小且最终趋于零的增量1665年至1667年，牛顿继续探讨微积分并取得了突破性进展他将1665年 发明的“正流数术”（微分法）和1666 年建立的“反流数术”（积分法）整理成一 篇总结性论文，此文以《流数简论》著称，是历史上第一篇系统的微积分文献 《流数简论》反映了牛顿微积分的运动学背景，该文事实上以速度形式引进了“流 数”（即微商）概念。
文中提出了微积分的基本问题：i设有两个或更多个物体A, B, C, 在同一时刻内描画线段x,y,z, 已知表示这些线段关系的方程，求它们的速度p, q, r,……的关系ii已知表示线段x和运动速度p、q之比P的q关系方程式，求另一线段y对于这两个问题，牛顿都给出了解答，而对于问题 i的解法实际上是问题i的解的逆运算特别重要的是，《流数简论》中讨论了如 何借助于这种逆运算来求面积，从而建立了所谓“微积分基本定理”当然，《流 数简论》中对微积分基本定理的论述还不能算了现代意义下的严格证明牛顿在 后来的著作中对微积分基本定理又给出了不依赖于运动学的较为清楚的证明在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的 变化率入手通过反微分计算面积虽然面积计算与求切线问题的互逆关系以往也 曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐与能力将这种互逆 关系明确地作为一般规律提示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础在 《流数简论》的其余部分，牛顿将他建立的统一算法应用于求曲线切线、曲率、 拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，展示了他的算法的极大 的普遍性与系统性。
1．2流数术的发展《流数简论》标志着微积分的诞生，但它在许多方面是不成熟的从1667 年 到 1693 年大约四分之一世纪的时间里，牛顿始终不渝努力改进、完善自己的微积 分学说，先后写成了三篇微积分论文，分别是：《运用无限多项方程的分析》，简 称《分析学》，完成于 1669 年；《流数法与无穷级数》，简称《流数法》，完成于 1671年；《曲线求积术》，简称《求积术》，完成于1691年这三篇论文反映了牛顿微积分学说的发展过程，并且可以看到牛顿对于微积分先后给出了不同的解释第一篇论文《分析学》是牛顿为了维护自己在无穷级数方面的优先权而作 《分析学》利用无穷级数来计算流数、积分以及解方程等，因此《分析学》体现 了牛顿的微积分与无穷级数紧密结合的特点关于微积分，《分析学》一开始就叙 述了计算曲线y二f (x)下面积的法则设有y二axmn表示的曲线，牛顿论证所求面积为z = n牛顿在论证中取x而不是时间t的无限小增量“瞬”为o，m + n以x +代x，z + oy代z，则z + oy二n (x + o)(m+n)n用二项式定理展示后以o m + n除两边，略去o的项，即得y = axmn反过来就知曲线y = axmn下的面积是na% nm+n。
牛顿接着给出了另条法则：若 y 值是若干项之和，那么所求面积就是由其中每一项得到的面积之和，这相当于逐项积分定理由上述可知，牛 顿《分析学》以无限小增量“瞬”为基本概念，但却回避了《流数简论》中的运 动学背景而将“瞬”看成是静止的无限小量，有时直截了当令其为零第二篇论文《流数法》可以看作是 1666 年《流数简论》的直接发展《流数 法》开始于他在给莱布尼茨第二封信中仅用密码作过暗示的问题，也是他认为是 微积分两个基本方面的问题：“1.连续地给出距离的长度(就是说，在任何时间的)， 求任何指定时间的运动的速度 2.连续地给出运动的速度，求在任何指定时间走 过的距离对牛顿说来，微积分的基本思想是同运动有关的一个方程中的所有 变量都被看作是——至少是隐含地——依赖于时间的距离当然，这一思想不是 牛顿首创造的，但他使得运动的思想成为主导思想：“我把量看成好像是当运动的 物体绘出轨迹时由连续增加的距离产生的牛顿实际上把时间的稳定增加本身看 作是一条公理，因为他没有定义时间他作过定义的是流数的概念：依赖于时间 的量x (称为流变)的流数x •是x在生成运动中增加的速度在这一早期著作中， 牛顿没有试图给对速度作进一步的定义，牛顿相信连续变化着的运动的概念是完 全直觉的。
《流数法》的第二个问题是给定速度求距离，牛顿在他的研究中很早就 意识到该问题等价于根据曲线的方程求曲线下的面积为了用有限方程求曲线面积(即求曲线下的面积)，人们需要一张积分表他 的表中的第一项是那个简单的曲线y二axn一i下的面积是axn，但其余就复杂得多n在这个牛顿的表的一小段摘录中，右边的函数z表示左边的函数y下的面积：ax n -19 Z —(b + cx n ) 2( a / nb ) x nb + cx ny = ax n -1 b + cx n ,2 a3 nc(b + cx n ) 3/2 ,y 二 ax 2 n -1 Jb + cx n , z 二込(——-+ - xn )( b + cx n)3/2,nc 15 c 5ax 2 n -1 2 a / 2 b 1,z = (一 + x n ) b + cx n .■v'' b + cx n nc 3 c 3同现代的积分表相比，人们注意到牛顿的表没有列出超越函数，没有正弦、 余弦甚至没有对数尽管牛顿知道这些函数的幂级数，他从未将它们与代数函数 同等看待他没有通过将正弦、余弦和对数同多项式和其它的代数表达式结合起 来的方式处理过它们。
但是，牛顿确实将他的表扩展到了那些其积分在今天要用 超越函数来表示的函数，他将这些积分表示为由某些圆锥曲线围成的面积，这些 面积可以用幂级数的技巧来计算但是他的表对一些曲线是无法给出答案的，即 那些用几何方法定义的曲线，例如旋轮线牛顿的《流数法》中还有许多其它内容，包括相当于现代的代换法则的技巧 分部积分法以及求弧长的方法因此，这一从未发表过的著作实际上包含了任何 现代微积分教程最初几章里所有重要的思想，但缺少的一个思想是极限的思想第三篇论文《曲线求积术》是牛顿最成熟的微积分著述牛顿在其中改变了 对无限小量的依赖并批评自己过去那种随意忽略无限小瞬的做法：“在数学中， 最微小的误差也不能忽略„„在这里，我认为数学的量不是由非常小的部分组 成的，而是用连续的运动来描述的”在此基础上定义了流数概念之后，牛顿写道： “流数之比非常接近于在相等但却很小的时间间隔内生成的流量的增量比确切 地说，它们构成增量的最初比”牛顿接着借助于几何解释把流数理解为增量消逝 时获得的最终比牛顿对于发表自己的科学著作态度谨慎上述三篇论文发表都很晚，其中最 先发表的是最后一篇《曲线求积术》， 1704 年载于《光学》附录；《分析学》发表 于 1711 年；而《流数法》则迟至 1736 年才正式发表，当时牛顿已去世。
牛顿微 积分学说最早的公开表述出现在 1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》 (简称《原理》)之中，因此《原理》也成为数学史上的划时代著作《原理》中 并没有明显的分析形式的微积分，整部著作是以综合几何的语言写成的虽然《原 理》中的微积分命题都采用了几何形式来叙述、证明，但正如牛顿本人后来解释 的那样：发现原理中的绝大多数命题是是依靠使用了“新分析法”，然后再“综合 地证明”2．莱布尼茨与其微积分莱布尼茨(1646~1716)，德国数学家、哲学家莱布尼茨在数学上的成绩是 多方面的，创建微积分是他最重要的贡献他与牛顿并称为微积分学的创始人 莱布尼茨在治学上思想奔放，厚积薄发1672 年到 1677 年间他写下了大量的数 学笔记，却从未发表，而正是这段时间，他引进了常量、变量与参变量等概念， 从研究几何入手，完成了微积分的基本计算理论他研究了巴罗的著作，理解到 微分和积分是互逆的运算，在笔记中他断言：作为求和过程的积分是微分的逆 他创造了微分符号dx,dy ,并指出d意味着差，用dx表示两个相邻x的差，用dy表示相邻y值的差，即曲线上相邻两点的纵坐标之差，并认为dx和dy可以任意的小。
他还给出积分符号“ J ”并明确指出“J ”意味着和现在使用的“微分学”、 “积分学”、“坐标”等名称也是他创造的由于他的影。