第一章函数与极限1. 1映射与函数一、集合1. 集合概念集合（简称集）：集合是指具有某种特定性质的事物的总体 .用A, B, M等表示.元素：组成集合的事物称为集合的元素 .a是集合M的元素表示为a^M.集合的表示：列举法：把集合的全体元素一一列举出来 .例如 A={a, b, c, d, e, f, g}.描述法：若集合M是由元素具有某种性质 P的元素x的全体所组成，则M可表示为A ={ai, a2, ； an},M#x | x具有性质P }.例如M=（x, y）| x, y为实数，x2与2日}.几个数集：N表示所有自然数构成的集合，称为自然数集.N =0, 1,2, , n, }. N <1,2, , n, }.R表示所有实数构成的集合，称为实数集.Z表示所有整数构成的集合，称为整数集.Z ={ •, -n, • •, -2, -1, 0, 1,2, ■■■■■■■, n, ■■■■■}.Q表示所有有理数构成的集合，称为有理数集.Q ^马？气Z,q^N 0p与q互质} q子集：若x^A,则必有x^B,则称A是B的子集，记为ACB（读作A包含于B）或BF .如果集合A与集合B互为子集，AUB且B=A,则称集合A与集合B相等，记作A=B.若AUB且A#B,则称A是B的真子集，记作A修B .例如，N修Z品Q写R .不含任何元素的集合称为空集 ，记作0.规定空集是任何集合的子集.2. 集合的运算设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为 A与B的并集（简称并），记作AuB,即AuB={x|x 在A 或 x^B}.设A、B是两个集合，由所有既属于 A又属于B的元素组成的集合称为 A与B的交集（简称交），记作ACB,即A^B ={ x|x EA 且 x 丘 B}.设A、B是两个集合，由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为 A与B的差集（简称差），记作A B,即A B={x|xWA 且 x^B}.如果我们研究某个问题限定在一个大的集合 I中进行，所研究的其他集合 A都是I的子集.此时，我们称集合I为全集或基本集.称I\A为A的余集或补集，记作AC.集合运算的法则：设A、B、C为任意三个集合，则(1) 交换律 A，」B=B3, ALB^BCA;(2) 结合律(L，B)lC4(B」C), (ACB)厂 Cic(BcC);(3) 分配律(A>B)cC=AcC)u(BcC), (AcB)lC=AuC)c(B，」C);⑷对偶律(A>B)CiC LBC, (ALB)C=AC =BC(AjB)C=ACcbC 的证明：x在(Al>B)C= x至Au氏"琶 A 且 x至笠 xW AC 且 xEBC = x^AC cBC,所以(NjB)C=AC cbC.直积(笛卡儿乘积)：设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素 x,在集合B中任意取一个元素 y,组成一个有序对(x, y),把这样的有序对作为新元素，它们全体组成的集合称为集合 A与集合B的直积，记为AxB,即AKB=((x, y)|x氏A 且 产B}.例如，RxR=(x, y)| x^R且yWR }即为xOy面上全体点的集合，RKR常记作R2.3.区间和邻域有限区间：设aX,对每个y^Rf ,规定g(y)T,这x满足f(x)=y.这个映射g称为f的逆映射，记作f*,其定义域Df^=Rf ,值域Rf工以.按上述定义，只有单射才存在逆映射.上述三例中哪个映射存在逆映射?设有两个映射g : X >Y 1, f : Y 2 >Z,其中Y in 2.则由映射g和f可以定出一个从 X到Z的对应法则，它将每个XWX映射成 f[g(x)p^Z .显然，这个对应法则确定了一个从 X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成 的复合映射，记作f o g,即f o g： x-,z,(f o g)(x)=f[g(x)], x x .应注意的问题：映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域Rg必须包含在f的定义域内，RgUDf .否 则，不能构成复合映射.由此可以知道，映射g和f的复合是有顺序的，f。
g有意义并不表示 gf也有意义.即使f o g与gf都有意义，复映射ff也未必相同.例4设有映射g : Rt[-1, 1],对每个x氏R, g(x)=sin x,映射 f : [-1, 1]t[0, 1],对每个 咋[」，1], f (u)=』1-u2 .则映射g和f构成复映射f o g: Rt [0, 1],对每个x^R,有(f g)(x) =f[g(x)] =f (sinx) = . 1 -sin2 x =|cosx|.三、函数1.函数概念定义 设数集DCR，则称映射f : Dt R为定义在D上的函数，通常简记为yf(x), x d,其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作Df,即Df=D.应注意的问题：记号f和f(x)的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后 者表示与自变量x对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号"f(x), x^D”或"y=f(x), x迁D”来表示定义在 D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数 f .函数符号：函数y-f(x)中表示对应关系的记号 f也可改用其它字母，例如“ F”，W等.此时函数就记作y=%x), y才(x).函数的两要素：函数是从实数集到实数集的映射 ，其值域总在R内，因此构成函数的要素是定义域 Df及对应法则f .如果两个函数的定义域相同 ，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.函数的定义域：函数的定义域通常按以下两种情形来确定 ：一种是对有实际背景的函数 ，根据实际背景中变量的实际意义确定.例如，在自由落体运动中，设物体下落的时间为 t,下落的距离 为s,开始下落的时刻t=0,落地的时刻t=T ,则s与t之间的函数关系是1 2s=2gt，t [o, t].这个函数的定义域就是区间 [0, T];另一种是对抽象地用算式表达的函数 ，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合 ，这种定义域称为函数的自然定义域在这种约定之下，一般的用算式表达的函数可用 “y顼x）”表达，而不必再表出Df .例如，函数y=t1 —x2的定义域是闭区间[】，1]，函数y= J 的定义域是开区间（-1, 1）..1-x2求定义域举例：求函数y=1_Jx2顼的定义域.x要使函数有意义，必须x扣，且x2 -4*.解不等式得| x ^2.所以函数的定义域为 D=[x|| x |以}，或D=（q，2]