本章将主要介绍、分析弗雷格的数学哲学思想,并从自然主义的角度

弗雷格的算术哲学叶峰摘要 本文介绍弗雷格的算术哲学，包括它失 败的原因即罗 素悖论，并 对它做一些简单的评价关键词 弗雷格，逻辑主义，算术哲学§1 引言弗雷格的数学基础研究并没有对二十世纪的数学研究产生过很大的影响，在这一点上他不如康托尔、戴德金、皮亚诺等对普通数学学生来说耳熟能详的十九世纪末数学家但是，弗雷格为他自己的数学基础研究而发明的（或说发现的）逻辑系统，则是现代数理逻辑的开端，他因此成为现代数理逻辑的开创者，是自亚里士多德以来的最伟大的逻辑学家弗雷格对二十世纪分析哲学的影响则是无与伦比的他的语言哲学是二十世纪分析哲学的源头他的算术哲学思想的影响同样持续到今天最近二十多年来出现了许多弗雷格的算术哲学研究的专著、论文集等等，显示了他所受到的重视 1又比如，最近十多年来，数学哲学是国际分析哲学研究中相对而言比较沉寂的一个领域，但源于弗雷格的思想的所谓新弗雷格主义，是最近十多年来数学哲学研究中相对活跃的课题 2这也显示了弗雷格的经久不衰的影响弗雷格的算术哲学思想包括他对“数”这个概念的分析，对“自然数”的定义，以及从他的逻辑系统到相当于皮亚诺公理的关于自然数的定理的推导弗雷格的算术哲学思想一般被归为数学哲学中的逻辑主义。

逻辑主义者试图用纯逻辑的概念来定义数学概念，并从逻辑公理推导出数学定理，因此将数学还原为逻辑，从而为数学奠定更牢固的基础，并将有关数学的本体论与认识论问题等哲学问题，归结为关于逻辑的哲学问题一般认为，逻辑真理是更可靠的真理，而且，关于逻辑的一些哲学问题有较肯定的答案，比如，逻辑知识是先天的，逻辑真理是分析真理等等当然，事实不一定如此，即关于逻辑的哲学问题不一定真的更容易回答但假如逻辑主义的策略可以成功的话，至少它是数学基础与数学哲学研究的一个进步很遗憾的是，弗雷格将算术还原为逻辑的尝试没有成功，原因是，弗雷格所认为的并用来还原算术的逻辑公理中包含着矛盾，即所谓罗素悖论本文将介绍弗雷格的算术哲学，包括它失败的原因即罗素悖论我们还要对它做一些简单的评价§2 弗雷格的算术哲学的要点一、对数词的功能的分析弗雷格在他的主要著作《算术基础》与两卷本的《算术的基本定律》中表达的算术哲学包括了以下几个要点首先，弗雷格提供了一个对包含数词的简单陈述的逻辑结构的分析弗雷格在《算术基础》中先批评了几种错误的分析 3，包括认为数词是形容词，表达具体事物的属性，或者认为数词“3”是指称任何一个 3 个一组的事物，或者认为数词指称我们的主观的观念，等等。

然后，弗雷格提出了他自己的分析他认为，一个包含数词的简单陈述是对一个概念作一个论断比如，如下陈述（1） The King’s carriage is drawn by four horses. （国王的马车是由四匹马拉的 4是将自然数 4 赋予概念（2） horse that draws the King’s carriage（拉国王的马车的马），因此是关于一个概念的论断，是在断言，这个概念（2）有某种特性，即有四个对象落在这个概念之下在这个意义上，一个数与一个二阶概念即概念的概念相对应：（1）相当于说概念（2）是落在与自然数 4 相对应的那个二阶概念之下二、自然数是对象，不是概念但是，弗雷格坚持认为，自然数是对象（object）而不是概念，或二阶概念这是弗雷格的算术哲学的另一个要点所以，前面只是说自然数 4 与一个二阶概念相对应，而没有说自然数作者简介：叶峰，北京大学哲学系副教授，中央财经大学中国高等研究院教授1 见 Dummett 1991, Beaney and Reck 2005, Sluga 1993, Shirn 1996, Demopoulos 1997 等等.2 见 Burgess 2003.3 见 Frege 1884，§21 - §28。

4 见 Frege 1884，§464 就是那个二阶概念弗雷格讨论了为什么我们必须将自然数看作对象他提出的理由包括，我们通常说“那个自然数 4”，其中的定冠词显示了 4 应该是一个对象 5；我们接受等式 2+2=4也意味着承认数 2、4 等等是对象至于句子（1）中的数词“four”似乎不是指称事物的专有名词这一事实，弗雷格认为（1）应该读为（3） 4 = the number of horses that draw the King’s carriage（ 拉国王的马车的马的个数） 6弗雷格还考虑了这样的反对意见：数不能是对象，因为我们不能形成关于数的任何观念（idea）这里的“观念”似乎是指某种类似于视觉形象的知觉观念，我们的确没有关于 4 这个对象的这样一个观念弗雷格的回应则是强调所谓的语境原理（context principle），即我们不应该孤立地问一个词项的意义，而应该在一个句子（即语境）中决定一个词项的意义这里，弗雷格似乎是假设了这样一个原理：假如一个包含一个单称词项的句子是有意义的，那么该单称词项就指称一个对象，即使我们不能形成关于这个指称的观念包含数词的许多句子是有意义的，而且是将数词当作专有名词用，因此数词指称对象，即使我们不能形成关于数的知觉观念。

三、自然数的定义弗雷格的算术哲学的主要成果之一是他对各个自然数的定义，以及对“自然数”这个一般概念的定义在《算术基础》一书中，弗雷格先提出一个不成功的定义，然后才提出他的真正的定义这些中间环节的讨论的意义曾导致一些阐释上的疑问，比如，它们是仅仅具有启发性的价值，还是蕴含了弗雷格的一些基本哲学信念 7？这里我们只讨论弗雷格最后达到的定义弗雷格的逻辑系统中，除了“并非”、“而且”、“或者”、“如果…那么”、“当且仅当”等这些命题联结词，以及“对所有”、“存在”这些量词之外 8，还用到了“概念”、“对象”、“外延”这些初始概念而且，弗雷格的系统接受了以下几个关于“概念”、“对象”、“外延”的关键性的假设 9：（A（ 每个用弗雷格的概念文字语言（即弗雷格的逻辑系统的语言）表达的，含有一个自由变元u 的合式公式 (u)都可视为一个 谓词，因此指称一个弗雷格意义上的概念；我们用符号u(u)代表这个概念，因此v[(u(u))(v)  (v)]；（B（ 每个概念 P 都有一个外延{u：P( u)}，它是一个对象； （C（ 概念的外延满足以下等同性条件（ 基本定律 V）：{u：P (u)}={u：Q(u)}  u(P(u) Q (u))（A）是被弗雷格隐含地假设的，体现在弗雷格在推导定理的时候常常用 (u)替换谓词变元，比如，从P(…P( u)…)推导出 (…(u)…)。

它相当于今天所说的概括原则（comprehension principle），相当于说，每个含有一个自由变元的公式 (u)都定义了一个概念，因此，将概括所有概念的公式P(…P( u)…)例化到这个概念，就推出相应的(… (u)…)这个概念我们这里用记号 u(u)表示A）中的等价式相当于说，公式 (u)所定义的概念 u(u)使得，任何一个对象 v，v 落在这个概念之下，当且仅当 v 满足那个公式举一个直观的例子：假设 (u)是这样一个陈述“u 是大于 2 的偶数而且 u 不是两个素数的和”，那么 (u)表达了一个关于自然数的谓词，因此指称一个概念 u(u)也许有自然数落在这个概念之下，也许没有但这个概念应该使的，任何一个对象 v，v 落在这个概念之下，当且仅当 v 是大于 2 的偶数而且 v 不是两个素数的和A）中的 u 可以是取值对象的个体变元或取值概念的二阶变元如果 u 是二阶变元，u(u)就是二阶概念，即概念的概念B）也是隐含地被假设的，因为弗雷格的系统中有一个符号及构造指称对象的项（即名词短语）的方式相当于这里的项{u： (u)}弗雷格的系统的公理与规则假设了，语言中的每个项都有指称，因此，在语言中采纳项{u： (u)}已经就蕴涵了（B），即每个概念都有一个外延，而且外延是对象。

5 Frege 1884, §476 注意，汉语中“个数”是指称一个作为抽象对象（abstract object）的自然数，还是指称一个数字（numeral），这一点也许不是太清楚，但这里弗雷格显然是认为这个等式的两边都是指称抽象对象7 参见 Dummett 19918 在弗雷格的系统中有些命题联结词与量词是用其它命题联结词与量词定义的9 这里我们尽量用现代通行的逻辑符号与术语，而不是用弗雷格的符号与术语，来表达弗雷格的那些关键性的假设，而且我们稍作了简化，但这应该不影响对弗雷格的思想的表达的准确性这里只是列出我们下面的讨论中要涉及到的基本假设，弗雷格的系统中当然还有其它的公理、规则 这两个隐含的假设，对弗雷格的自然数定义可以得出存在着无穷多个自然数是关键的而且，既然弗雷格的系统是要表达逻辑真理，弗雷格应该是隐含地假设了，（A）和（B）都是逻辑真理最后，（C）是弗雷格明确地陈述的逻辑 基本定律 V，它被认为是弗雷格的系统的矛盾的根源当然，由于基本定律 V 中用到了{u：P(u)} 这样的记号，它隐含地假设了（B）有了这些记号与假设，弗雷格可以定义什么是“一个概念 P 的数”，它意味着，每个概念有一个相应的对象，作为这个概念的数，其实就是落在这个概念之下的对象的数目。

我们称“概念 Q 与概念 P 等势”，假如落在概念 Q 中的对象与落在概念 P 中的对象之间可以一一对应起来，直观上这相当于，落在概念 P 中的对象的数目与落在概念 Q 中的对象的数目相同，因为，存在着一一对应蕴含着数目相同，反之亦然弗雷格的直观想法是，“拉国王的马车的马”这个概念的数，是由与“拉国王的马车的马”这个概念等势的所有概念构成的类，这当然也是所有恰好有四个对象落在其中的那些概念构成的类直观上，这可以被理解为就是那个自然数4它的确显示了自然数 4 的最根本的特征弗雷格的系统中没有用到“类”这个初始概念与类相应的是概念的外延所以弗雷格这样定义“一个概念 P 的数”，我们这里记为#P：#P =df {Q：QP}其中，QP 是包含 P 与 Q 为自由变元的公式，断言 “存在一个落在概念 P 中的所有对象与落在概念 Q 中的所有对象之间的一一对应”，即 Q 与 P 等势这个陈述很容易用弗雷格的逻辑语言的公式完整地表达出来，它就是公式 QP这里我们不再给出细节所以，给定一个概念P，概念 P 的数就是二阶概念 Q(QP)的外延显然，一个概念 Q 落在这个二阶概念之中，当且仅当落在概念 Q 中的对象与落在概念 P 中的对象之间可以一一对应起来，即它们有相同的数目。

所以这相当于说，概念 P 的数就是所有与 P 等势的概念组成的类《算术基础》一书中的这个定义，是将一个概念的数定义为一个概念的概念的外延，因此需要二阶概念概念 P 的数相当于一个由概念组成的类《算术的基本定律》一书则稍微做了修改，使得定义无需涉及二阶概念，或概念的概念要点是，必要的时候用一个概念的外延来代替那个概念这样，“概念 P 的数”，或#P，就被定义为#P =df {y：Q( y={x：Q(x)} QP)}这里，y 是取值对象的一阶变元，而公式(y) df Q(y={x：Q(x)} QP)直观上表示：“y 是某个与 P 等势的概念的外延”所以，概念 y(y)还是一阶概念在这个定义下，概念 P 的数是一个一阶概念的外延，相当于所有与 P 等势的概念的 外延 组成的类然后，弗雷格这样定义个别的自然数：0 =df #x(x  x);1 =df #x(x = 0);2 =df #x(x = 0  x = 1);3 =df #x(x = 0  x = 1  x = 2);……这里，概念 x(x  x)直观上可读作“不等于自身”这是一个空概念，即没有任何事物落在这个概念之下。