第二章 测度论的知识要点与复习自测一、Lebesgue外测度的知识要点：◊熟练掌握Lebesgue外测度的定义和外测度的基本性质(包括基本性质：非负性、 单调性、次可数可加性；Lebesgue外测度的特有性质：距离分离性)；◊会用定义或性质求一些典型集合的外测度(例如： Rn中至多可数集，区间，Cantor (三分)集，黎曼可积函数(特别是连续函数)图象等的外测度) ；◊特别注意零测集的含义和性质 【如Rn中的任何集合并上零测集或减去零测集外 侧度不变；零测集的子集仍为零测集；至多可数个零测集的并集仍为零测集】 自测题：1、 叙述只“中Lebesgue外侧度的定义及性质，并用定义和性质解决如下问题：(1) 设Qn Rn为有理点集，计算m*Qn 0 ；(2) 设E Rn为至多可数集，计算m*E 0 ；(3) 设 E,F Rn，m E 0，贝U mF E mFmFE2、 据理说明下面的结论是否成立：设 E Rn，(1) 若E为有界集，则m*E ；(2) 若m*E ，则E为有界集；(3) 若m*E ，则E为无界集；(4) 若E为无界集，则m*E 3、 设I Rn为区间，证明：m*l |l|，其中I表示I的体积(注意I分有界 和无界两种情况来证明)；并利用此结论和外侧度的性质再解决如下问题：(1) 设P [0,1] R1为三分Can tor集，贝U m*P 0 ；(注意三分 Cantor集 的构造)(2) 设f(x)为定义在[a,b] R1上的黎曼可积函数，Gp(f) (x,y) y f(x),x [a,b] R2，f (x)在[a,b]的图像，贝9 m*Gp(f) 0 ;(注意黎曼可积的充要条件的使用)(3) 设E Rn有内点，贝V m*E 0 ；(4) (外侧度的介值性)设E R1为有界集，m*E 0,则对任意0 c m*E， 存在E1 E，使得，m*E1 c ;(注意构造适当的连续函数，利用连续函数的介值性）（5）（外侧度的介值性的一般形式） 设E R1 ,m*E 0,则对任意0 c m*E ,存在Ei E，使得，m*Ei c。
注意：此结论要用到后面的等测包定理和单调递增可测集列的测度性质）二、Lebesgue可测集的知识要点：◊熟练掌握Lebesgue可测集的卡氏定义（即 C.Caratheodory定义）及等价条件（如：余集的可测性；对任意的 A E和B Ec，总有m* A B m*A m*B ）,会用定义或等价条件来证明一些点集的可测性（例如：零测集，区间等） ；◊熟练掌握可测集的并、交、差、余运算性质，并会熟练地运用这些性质来判断 集合的可测性；◊记 E Rn E是可测集，则—2c c，其中c为连续基数；◊熟练掌握单调可测集列测度的极限性质，理解对单调递减的可测集列为什么要 加上条件“其中至少有一个的测度是有限数”才能保证结论成立，并弄清楚此条件在 证明中所起的作用；◊熟练掌握下面的常用测度等式或不等式（以下集合都是 Rn中的可测集）(1)E2，E2，(2)设E1，E2，，Em为互不相交的可测集，则m mm Ei mEi （有限可加性）；i 1 i 1，Em为可测集（注意没有互不相交的要求），则m mm Ei mEi （次有限可加性）i 1 i 1为互不相交的可测集，则，Ek，Lmk1Ek设E1，E2，，Ek，LmEk （可数可加性）；k 1为可测集列（注意没有互不相交的要求），则mEk （次可数可加性）。
3)k 1差集测度的关系（注意思考：条件“ mE ”的作用）设E和G都是可测集，且E G，贝U① mG m（G E） mE ；② 当 mE 时，m（G E） mG mE设E和G都是可测集，则① mG m（G E） mE ；② 当 mE 时，m（G E） mG mE(4)单调可测集列测度的极限性 (注意思考成立的条件) 设Ek为单调递增的可测集列，则EdiKmkEm^Hkmm mEk ；设Ek为单调递减的可测集列，且存在Eko，使得mEk0 ，则m kim Ek mkiEk kim mEk5) 一般可测集列测度的极限性设Ek为可测集列，则① mljmEk lim m( Ek) lim mEk (关于测度的Fatou定理【入不敷出】)；k k i k k② 若存在k使得m Ej ，则i komlim Ek lim m( Ek) lim mEk;k k i k k③ 若lim Ek E存在，且存在ko,使得mEk ，则lim mEk存在，且k kkimmEk mE6) 【可测集的直积的可测性及测度的计算公式 】设A Rp为可测集，B Rq为 可测集，则A B为Rp+q上的可测集，且m(A B) = mA mB。
自测题：1、 证明下面的差集测度或外侧度的关系(注意思考：条件“ mE ”的 作用)设 E,G Rn(1) 若E和G都是可测集，且E G ,则① mG m(G E) mE ;② 当 mE 时，m(G E) mG mE2) 若E和G都是可测集，则① mG m(G E) mE ;② 当 mE 时，m(G E) mG mE3) 若E和G不是可测集，则① m G m (G E) m E ；② 当 m*E 时，m*(G E) m*G m* E2、 利用1和可测集的性质证明：（1） 设E,G Rn都是可测集，则m G E m G E mG + mE ;【注意：m G E G E G E】（2） 利用（1）和等侧包定理证明：设 E,G Rn （不必为可测集），则m G E m G E mG + mE3、 试利用差集的测度关系以及区间的测度再证明：（1） 设 P [0,1] R1 为三分 Cantor 集，则 mP 0 ；2n 1【注意：三分Can tor集的构造P [0,1] U（UI「）），其中Iin（ i 1,2,L ,2n 1 ）为 n 1 i 1Cantor集的构造过程中第n步去掉的长度均为 乙的幵区间】3n（2） 对于任意给定正数 0 a 1,不改变Can tor集的构造思想，只是将在 Can tor集的构造过程中每一步去掉的幵区间分别换为长度分别为L ,冷丄的幵区间（比如第n步换为去掉2n1个长度都为 T 的3 3 3 3 3互不相交的幵区间），并记这样得到的集为 P。
称为类Cantor集或一般Can tor 集，它是闭集也是完全集还是疏朗集），证明：mF0 a o4、 证明一般可测集列测度的极限性：设Ek为可测集列，则① m lim Ek lim m（ Ek） lim mEk （关于测度的 Fatou定理【入不敷kk i k k出】）；② 若存在k使得m Ei ，则i komlim Ek lim m（ Ek） lim mEk;k k i k k③ 若lim Ek E存在，且存在 ko，使得mEk ，则lim mEk存在，且k kkimmEk mE o④ 若 m*Ek ，则 鬲Ek和lim Ek都是零测集k 1 k k三、可测集的结构的知识要点：◊ Rn中的几种常见的具体的可测集：零测集，任何区间，开集，闭集， F型集，G型集，Borel集◊熟练掌握并熟记下面的几种关系（可测集的结构）:(1) 对任意E Rn，E与G型集的关系(等测包定理);(2) 可测集与开集的关系，可测集与 G型集的关系；(3) 可测集与闭集的关系，可测集与 F型集的关系自测题：1、仔细体会等测包定理的证明思想，解决下面的问题：(1)如何将一个G型集表示成一列单调递减的开集的交集？2)设E Rn，则存在一列单调递减的开集列 Gk，使得，对每一个k 1，Gk m ^HkEmkGm(3) 设E Rn有界，则存在一列单调递减的有界幵集列 Gk，使得，对每Gk m ^Hk注: (2)和(3)为等测包定理的更为细致的形式。
2、试利用等测包定理和单调递增可测集列测度的极限性质证明：设Ek Rn ( k 1,2丄)为一列单调递增的集列，每个 Ek不必为可测集， 则(1)存在一列单调递增的G型集Gk ( k 1,2丄)，使得，对每一个k 1，Ek Gk，且 m Ek mGk ；EmHkm(单调递增集列的外侧度的极限性(2) lim m Ek m U Ekk k 1质)3、试证明可测集与幵集和闭集的下面的关系( 可测集与幵集和闭集的更细致的关系):(1)设E Rn是可测集，则对任意的 0，存在幵集m GG，使得E G，且(2)E ；Gk ( k 1,2,L )，使得，对每一个 k 1，存在一列单调递减的幵集厂 1E Gk，且 m Gk E k(3)存存在一列单调递增的闭集E，且 m E Fk 1 ok k4、试利用可测集的结构和幵集的结构证明“ 可测集的直积的可测性及测度FkFk ( k 1,2,L ),使得，对每一个 k 1 ,的计算公式”，即，设A Rp为可测集，B Rq为可测集，则A B为Rp+q上的可 测集，且m（A B） = mA mB5*、定义1 :设f :E [0,），其中E R1为可测集，记Gp f,E （x,y）x E,0 y f（x） R2，则称Gp f ,E为非负实函数f在E上的下方图形（相当于数学分析中定义在[a,b]上的一元非负函数所构成的曲边梯形）；m定义2:设E R1为可测集，且E UEi，其中Ei（ i 1,2丄，m ）都是R1中i 1m的可测集,且互不相交 （UEi称为可测集E的一个有限不交的可测分解），现i 1定义f : Ef(x)[0,)如下:G, x E1C2, x E2MCm , x EmEim(x) C2 E2(x) L Cm Em (x) @ C Ei(x)，x E，1其中c 0（i 1,2, L ,m ）都为常数，Ei （x）为E为全集时Ei的示性（特征）函数,则称f在可测集E上的一个非负简单函数试利用4 “可测集的直积的可测性及测度的计算公式 ”解决下面的问题：设f是按定义2定义的可测集E上的非负简单函数，Gp f,E的含义如定义1,则m（1） Gp f,E UEi [0,Ci），其中 Ei [0,g）（ i 1,2 丄，m）互不相交；i 1（2） Gp f,E是R2上的可测集；m（3） mGp f, E q mEi。
i 1四、记住一个在构造反例时有用的结论：对任意E Rn，只要m*E 0，则存在E1 E， 使得巳为不可测集（即Rn中一定存在不可测集）自测题：据理说明：（1） 为什么Rn中的零测集中一定不存在不可测子集？（2） 为什么Rn中的不可测集总有外侧度，且外侧度一定大于零?（3） 为什么Rn中的不可测集一定是不可数集？。