Email: yc517922@数理方程与特殊函数任课教师：杨春数学科学学院1方程的化简与分类(一)、方程化简、特征方程第二章 定解问题与偏微分方程理论本次课主要内容(二)、方程分类2一般形式： 对象 ：含两个变元的二阶线性偏微方程 a11, a12, a22, b1, b2, c, f是关于x, y的函数；(一)、方程化简、特征方程f=0时，称方程为齐次方程，否则，方程 为非齐次方程3引入 二阶线性偏微分算子：则上面一般形式方程可简记为：4化简方法讨论总的思路是：通过恰当实可逆变换：将方程化为如下形式：5具体分析过程假设引入实可逆变换：将原方程变换为：6那么下面的等式成立其中：7注意到如下等式：如果：为方程：的解，那么：8所以，变换就转化为如下方程求解问题！考虑常微分方程：可以证明如下结论：是(1)的解的充分必要条件是确定的y=y(x)是(2)的解9证明：将(3)代入(1)得：如果是(1)的解，且设a11与不等于0 两边对x求导得：10同理可证4)两边除以称方程(2)为特征方程，即：11由(2)得：令：情形1：12(2)的两个线性无关通解为：作变换：得到：13再作变换 第二标准形 14情形2：(2)的两个解为：作变换：得到：15情形3：(2)的通解为：作变换：得到：16方程化解方法总结1、写出特征方程：2、计算3、作变换(1)、17(2)、18(3)、194、求出变换方程：其中：20(二）、二阶线性方程分类(1) 双曲型 抛物型椭圆型 (2) (3) 说明：分类指点的邻域内的分类！21例1 求方程 的通解 解：此方程是双曲型的第二标准形，但我们要求 解它,可将其化成第一标准形的形式，所以先得由 特征方程求特征函数：22所以2324可得 是原方程的解 25例2 化下面方程为标准型解：方程属于椭圆型26所以27可得 标准型：28例3 证明二阶线性偏微分经过可逆变换后 ，其类型保持不变。
证明：设方程：经过可逆变换：化为：29因为：所以：即变形不改变方程类型30作业P36习题2.4第1题的(1),(3)第2题的(2),(4),(6)31Thank You !32。