人教版七年级上册数学《有理数》知识点梳理

人教版七年级上册数学《有理数》知识点梳理 一．正数和负数 ⒈正数和负数的概念 负数：比 0 小的数 正数：比 0 大的数 0 既不是正数，也不是负数 注意： ①字母 a 可以表示任意数， 当 a 表示正数时， -a 是负数； 当 a 表示负数时， -a 是正数；当 a 表示 0 时，-a 仍是 0 （如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，例如+a,-a 就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“+” ，有时“+”省略不写所以省略“+”的正数的符号是正号 2.具有相反意义的量 若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如： 零上 8℃表示为：+8℃；零下 8℃表示为：-8℃ 支出与收入;增加与减少;盈利与亏损;北与南;东与西;涨与跌;增长与降低等等是相对相反量，它们计数： 比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;相反， 比原先少了的数， 减少降低了的数一般记为负数 3.0 表示的意义 ⑴0 表示“ 没有” ，如教室里有 0 个人，就是说教室里没有人； ⑵0 是正数和负数的分界线，0 既不是正数，也不是负数。

二．有理数 1.有理数的概念 ⑴正整数、0、负整数统称为整数（0 和正整数统称为自然数） ⑵正分数和负分数统称为分数 ⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数 理解：只有能化成分数的数才是有理数①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数 注意： 引入负数以后， 奇数和偶数的范围也扩大了， 像-2,-4,-6,-8…也是偶数， -1,-3,-5…也是奇数 2. (1)凡能写成)0pq, p(pq为整数且形式的数， 都是有理数.正整数、 0、 负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0 即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，+a 也不一定是正数；不是有理数； (2)有理数的分类: ①按正、负分类: 负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ②按有理数的意义来分:负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 总结：①正整数、0 统称为非负整数（也叫自然数） ②负整数、0 统称为非正整数 ③正有理数、0 统称为非负有理数 ④负有理数、0 统称为非正有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1 是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数 0 和正整数；a＞0  a 是正数；a＜0  a 是负数； a≥0  a 是正数或 0  a 是非负数；a≤ 0  a 是负数或 0  a 是非正数. 三．数轴 ⒈数轴的概念 规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

注意：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可； ⑶同一数轴上的单位长度要统一； ⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的 2.数轴上的点与有理数的关系 ⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示， 正有理数可用原点右边的点表示， 负有理数可用原点左边的点表示，0 用原点表示 ⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系 （如，数轴上的点π不是有理数） 3.利用数轴表示两数大小 ⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数； ⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小 4.数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是 0，无最大的自然数； ⑵最小的正整数是 1，无最大的正整数； ⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数 5.a 可以表示什么数 ⑴a>0 表示 a 是正数；反之，a 是正数，则 a>0； ⑵a<0 表示 a 是负数；反之，a 是负数，则 a<0 ⑶a=0 表示 a 是 0；反之，a 是 0,，则 a=0 6.数轴上点的移动规律 根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

四．相反数 ⒈相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0 的相反数是 0 注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶0 的相反数是它本身；相反数为本身的数是 0 2.相反数的性质与判定 ⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵0 的相反数是 0； ⑶互为相反数的两数和为 0，和为 0 的两数互为相反数，即 a，b 互为相反数，则 a+b=0 3.相反数的几何意义 在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等0 的相反数对应原点；原点表示 0 的相反数 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称 4.相反数的求法 ⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：5 的相反数是-5） ；0的相反数还是 0； ⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-” ，然后化简（如；5a+b 的相反数是-（5a+b） 化简得-5a-b） ；注意： a-b+c 的相反数是-a+b-c；a-b 的相反数是 b-a；a+b的相反数是-a-b； ⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-” ，然后化简(如：-5 的相反数是-（-5） ，化简得 5)；)相反数的和为 0  a+b=0  a、b 互为相反数 5.相反数的表示方法 ⑴一般地，数 a 的相反数是-a ，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或 0。

当 a>0 时，-a<0（正数的相反数是负数） 当 a<0 时，-a>0（负数的相反数是正数） 当 a=0 时，-a=0， （0 的相反数是 0） 6.多重符号的化简 多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略； “-”号的个数决定最后化简结果；即： “-”的个数是奇数时，结果为负， “-”的个数是偶数时，结果为正 五．绝对值 ⒈绝对值的几何定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作|a| 2.绝对值的代数定义 ⑴一个正数的绝对值是它本身； ⑵一个负数的绝对值是它的相反数； ⑶0 的绝对值是 0. 可用字母表示为： ①如果 a>0，那么|a|=a； ②如果 a<0，那么|a|=-a； ③如果 a=0，那么|a|=0 可归纳为①：a≥0，<═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数 ） ②a≤0， <═> |a|=-a （非正数的绝对值等于其相反数； 绝对值等于其相反数的数是非正数 ） 3.绝对值的性质 任何一个有理数的绝对值都是非负数， 也就是说绝对值具有非负性 所以， a 取任何有理数，都有|a|≥0。

即 (1)正数的绝对值是其本身，0 的绝对值是 0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；绝对值是 0 的数是 0.即：a=0 <═> |a|=0； ⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是 0.绝对值可表示 为：)0a (a)0a (0)0a (aa或)0a (a)0a (aa ；即：|a|≥0；绝对值的问题经常分类讨论； ⑶任何数的绝对值都不小于原数 即： |a|≥a； 0a1aa ； 0a1aa； ⑷绝对值是相同正数的数有两个， 它们互为相反数 即： 若|x|=a （a>0） ， 则 x=±a； ⑸互为相反数的两数的绝对值相等即：|-a|=|a|或若 a+b=0，则|a|=|b|；|a|是重要的非负数，即|a|≥0；注意：|a|·|b|=|a·b|, baba ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数即：|a|=|b|，则 a=b 或 a=-b； ⑺若几个数的绝对值的和等于 0，则这几个数就同时为 0即|a|+|b|=0，则 a=0 且b=0 （非负数的常用性质：若几个非负数的和为 0，则有且只有这几个非负数同时为 0） 4.有理数大小的比较 ⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的数总比右边的数小，或者右边的数总比左边的数大 ⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。

（3）正数的绝对值越大，这个数越大； （4）正数永远比 0 大，负数永远比 0 小； （5）正数大于一切负数； （6）大数-小数 ＞ 0，小数-大数 ＜ 0. 5.绝对值的化简 ①当 a≥0 时， |a|=a ； ②当 a≤0 时， |a|=-a 6.已知一个数的绝对值，求这个数 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点到原点的距离， 一般地， 绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为 0 的数是 0，没有绝对值为负数的数 六．有理数的加减法. 1.有理数的加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； ⑵绝对值不相等的异号两数相加， 取绝对值较大的加数的符号， 并用较大的绝对值减去较小的绝对值； ⑶互为相反数的两数相加，和为零； ⑷一个数与 0 相加，仍得这个数 2.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律：a+b=b+a ⑵加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法” ； ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法” ； ③分母相同的数先相加——“同分母结合法” ； ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法” ； ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法” 。

3.加法性质 一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加 0 后的和等于原数即： ⑴当 b>0 时，a+b>a ⑵当 b<0 时，a+b

互为倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数；注意：0 没有倒数；若 a≠0，那么a的倒数是a1；倒数是本身的数是±1；若 ab=1 a、b 互为倒数；若 ab=-1 a、b 互为负倒数. 注意：①0 没有倒数； ②求假分数或真分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可；求带分数的倒数时，先把带分数化为假分数，再把分子、分母颠倒位置； ③正数的倒数是正数，负数的倒数是负数 （求一个数的倒数，不改变这个数的性质） ； ④倒数等于它本身的数是 1 或-1,不包括 0 3.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等即 ab=ba ⑵乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等即(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律：一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即 a(b+c)=ab+ac 4.有理数的除法法则 （1）除以一个不等 0 的数，等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0a （2）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 5.有理数的乘除混合运算 （1）乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。