第五章 图像复原(image restoration )如何恢复离焦形成的模糊原始图像运动形成的模糊原始图像图像复原目的：尽量减少或去除获取图像或处理图像过程中的图像降质(图像退化)，恢复其本来面目图象退化的主要表现形式： 图像模糊；图像受到干扰产生原因光学系 统中的 衍射传感器 非线性 畸变光学系 统的像 差摄影胶 片的非 线性大气流 的扰动 效应对象运 动造成 的模糊几何 畸变亚采样图像复原方法：找到降质或退化的原因，分析引起降质或退化的因素，建立相应的数学模型，并沿着图像降质的逆过程恢复图像 图像退化模型决定图像复原效果图像复原和图像增强的区别：n图像增强不考虑图像是如何退化的，而是试图采用各种技术来增强图像的视觉效果n图像复原需知道图像退化的机制和过程等先验知识，并据此找出一种相应的逆处理方法，从而得到复原的图像n二者的目的都是为了改善图像的质量5.1 图像退化的数学模型 5.2 无约束图像恢复5.3 有约束图像恢复成像过程中的“退化”，是指由于成像系统各种因素的影响，使得图像质量降低退化模型：退化过程可以被模型化为一个退化函数和一个噪声项可以用连续数学模型描述，也可以用离散数学模型描述。
5.1 图象退化的数学模型5.1.1 连续图象退化模型f(x,y)表示一幅输入图像； g(x,y)是f(x,y)产生的一幅退化图像由于图像质量退化原因非常复杂，为了处理简单，退化函数一般用线性系统H近似；η(x,y )表示外加噪声给定g(x,y)，分析退化函数H和噪声项η(x,y )，计算原始图像的近似估计？线性系统H的性质：(1) 线性： (2) 相加性（k1 = k2 = 1 ）： (3) 一致性（f2(x, y) = 0 ）： (4) 位置（空间）不变性： 一幅图像f(x,y)可以看成由无穷多点源形成的，并且可以看作是由一系列冲激函数的取样组成的 为冲激函数，对点光源进行采样H位置不变性H可加性H一致性空间域退化模型频率域退化模型因此有：空域卷积对应频域的乘积对连续图象退化模型中的f，h均匀采样，并进行周期延拓（周期大小为M×N），然后离散化：5.1.2 离散图象退化模型给定退化图像g(x,y)，分析退化函数h(x,y)和噪声项η(x,y )，计算原始图像的近似估计 ！连续图像退化模型离散图像退化模型需要确定退化参数h(x,y)和η(x,y )？Ø退化函数h(x,y)Ø观察估计法：利用图像的结构相似性Ø试验估计法：利用采集设备相似装置Ø模型估计法：根据退化原因分析构建Ø噪声函数(x,y)噪声的概率密度函数5.1.3 退化参数的确定1、观察法估计退化函数利用图像中可能存在的包含简单结构的子图像，使用目标和背景的样品灰度级，构建不退化的图像。
在图像中确定一个观察子图像gs(x,y)；对强信号区采样目标和背景的样品灰度级，构建观察子图像的估计图像 忽略噪声的情况下，有 ，H(u,v)与Hs(u,v)形状相同2、试验法估计退化函数n如果可以使用与获得退化图像的设备相似的装置，理论上可以得到一个准确的退化模型n利用相同的装置，拍摄一个脉冲（亮点），则得到的退化响应，一个线性移不变系统可完全由其冲击响应来描述，并且脉冲图像的傅立叶变换是常数，则退化函数的傅立叶变换为：3、分析构建退化数学模型n观察法和试验法只能针对特定情况处理n根据退化原因构建数学模型则有可能解决一类图像的复原问题基于大气湍流模型的退化模型Hufnagel和Stanley提出k=0.0025k=0.001k=0.00025K值近似0由匀速直线运动引起的图像模糊拍摄过程中快门打开的时间决定了对胶片的曝光时间，胶片上的总曝光量是在快门打开到关闭这段时间的积分，因为物体与相机的相对运动而造成图像模糊n图像f(x, y)在平面上相对运动，x0(t)，y0(t)是运动分量；t是运动时间；T是快门打开到关闭的时间。
n退化图像g(x,y)是T时间内的积分：运动退化模型n数字图像的噪声主要来源于图像的获取（包括数字化过程）和传输过程n噪声的产生地点和强度都是不确定的，因此需要采用概率分布来描述，即把噪声当作随机变量来处理n假设噪声独立于空间坐标，且与图像本身无关联3. 噪声模型一些重要的噪声模型 Ø 高斯噪声 Ø 瑞利噪声 Ø 伽马（爱尔兰）噪声 Ø 指数分布噪声 Ø 均匀分布噪声 Ø 脉冲噪声（椒盐噪声）n高斯噪声：也称为正态噪声，数学上非常容易处理，因此在噪声没有明显表征的情况下，常采用高斯分布近似处理噪声：均值，或期望值：是标准差：是方差瑞利噪声n伽玛（爱尔兰）噪声n指数分布噪声n均匀分布噪声n脉冲噪声（椒盐噪声）设b>a，则灰度值b在图像中是一个亮点，a则是一个暗点，若Pa和Pb中有一个为0，则称为单极脉冲，视觉上，双击脉冲噪声类似于餐桌上的胡椒和盐粉，因此也称为椒盐噪声，其中，亮点对应于“盐粉”，而暗点对应于“胡椒”b和a通常是饱和值，即它们是图像中可表示的最大值和最小值，因此一般为255和0测试图，只有三种不同的灰度级，因此它的直方图只有三条线条n前面几种噪声模型在视觉上很难区分，但在直方图上差异非常明显；n椒盐噪声是上述唯一会引起视觉区分识别的噪声，其直方图也很特别。
n周期噪声：图像获取过程中电力或机电干扰中产生的，是一种空间依赖型的噪声，例如特定频率干扰的一张图像4. 噪声模型的估计n从传感器的规格说明中获取；n通过傅立叶频谱检测；n使用一张标准图像检测成像系统的噪声参数，例如黑色背景下的一个白色方块图；n利用图像本身的信息？¨截取图像区域中较为平缓的一个子区域，作为标准测试图像，检测噪声直方图形状5.2.1 无约束代数复原法方法：不同的误差最优准则，得到不同的复原方法目的：已知降质图像g, 对噪声n没有先验的知识，估计原始图像 , 使得某种事先确定的误差最小5.2 无约束图象恢复使得 最小的准则称为最小二乘方准则，此时的复原方法是无约束的图像复原根据范数定义有：使得准则函数最小：记离散图像退化模型 g=hf+nn=g-hf根据向量微分性质：则：5.2.2 逆滤波（去卷积）连续图象退化模型 G(u,v)=F(u,v) H(u,v)H(u,v)不为0时考虑噪声：令 ，它是H(u,v)的逆，代表滤波器的转移函数，该恢复方法取名为逆滤波F(u,v) H(u,v)+ +M(u,v)G(u,v)N(u,v)当H(u,v)很小或等于零，即出现了零点，就会导致不定解。
即使没有噪声，一般也不可能精确地复原f(x,y)如果考虑噪声项N(u,v)，则出现零点时，噪声项将被放大，零点的影响将会更大，对复原的结果起主导地位考虑到退化系统的传递函数H(u,v)的带宽比噪声的带宽要窄的多，其频率特性具有低通性质，取恢复转移函数M(u,v)为 存在振铃现象可以用下式消除振铃现象： 逆滤波改进后的逆滤波逆滤波图像复原寻找一个最优估计图像，使得准则函数最小，此外不受任何其它约束，是一种无约束复原但是由于传递函数存在零点的问题，复原只能局限在离原点不太远的有限区域内进行，使得无约束图像复原具有相当大的局限性5.3 有约束图像复原在了解图像退化函数的基础上，还需要知道某些噪声的统计特性或噪声与图像的某些相关情况根据所了解的噪声先验知识的不同，采用不同的约束条件，从而得到不同的图像复原技术Ø有约束代数复原方法Ø维纳滤波Ø功率谱均衡复原在约束最小二乘法复原问题中，令Q为f的线性算子，要设法寻找一个最优估计 ，使形式为 、服从约束条件 的函数最小化5.3.1 有约束代数复原方法拉格朗日系数求导并使 为零 ，则式中γ=1/α，这个量必须调整到约束条件被满足为止。
求解最优估计 核心就是选择一个合适变换矩阵Q；不同的Q对应不同类型的有约束的最小二乘法图像复原方法 一、能量约束当Q矩阵为单位矩阵时，即其物理意义是：当有若干个可能的解时，能量最小的解为最佳解，此时约束条件最小二、特征约束特征约束是以图像空间的滤波特征为依据确定约束矩阵，令上述的Q表示在垂直方向和水平方向都取二阶差分，则此时的解是在所有解中二阶差分最小的解就是该约束条件的解Rf和Rn分别是图像f和噪声n的相关矩阵：Rf = E{f fT}； Rn= E{nnT} Rf的第ij个元素是E{ij}，代表f 的第i和第j元素相关Rf和Rn都是实对称矩阵对大多数图像来说，像素间的相关不超过20-30个像素，所以典型的相关矩阵只在主对角线方向上有一条非零元素带，而在右上角和左下角的区域将为零值5.3.2 维纳滤波对应Rf和Rn中相应元素的傅立叶变换，并分别记为Sf(u,v)和Sn(u,v)表示 1、如果γ=1，称为维纳滤波器 ；γ为变量 ，则称为参变滤波器 2、无噪声时，Sn(u,v)=0退化成逆滤波器因此，逆滤波器可看成是维纳滤波器 的一种特殊情况 3、如果不知道噪声的统计性质，即 当Sf(u,v)和Sn(u,v)未知时：逆滤波复原图像改进的逆滤波复原图像维纳滤波复原图像5.3.3 功率谱均衡复原如使估计图像的功率谱与原图像f(x,y)的功率谱Sf(u,v)相等，即则导出功率谱均衡复原滤波器。
维纳滤波和功率谱均衡复原异同：1、基本形式相同，无噪声时，都能简化成逆滤波器；2、无信号时，两种信号完全截止在H(u,v)=0处，维纳滤波器恢复转移函数强迫响应为零，功率谱均衡复原滤波器恢复转移函数不为零因此维纳滤波器的频率响应曲线有较大剧变，其点扩展函数有更多旁瓣和细微结构易引起假象 因此，功率谱均衡复原滤波器具有较强的图像复原能力，优于维纳滤波器。