线性空间基和维数的求法方法一根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数,即:性空间▽中，如果有 n个向量a1,…,a满足：(1)a 1a2…,a〃线性无关2) V中任一向量a总可以由a 1, a 2 a.线性表示那么称V为n维(有限维)线性空间，n为V的维数，记为dim v = n，并称a a 2…,a”为线性空间V的一组基如果在V中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成V为无限维的例1设V = {x|AX = °}，A为数域P上m X n矩阵，X为数域P上n维向量，求V的维数和一组基解设矩阵A的秩为r，则齐次线性方程组AX = 0的任一基础解系都是V的基，且V的 维数为n-r例2数域P上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成(0 a \[-a b)的线性空间，求此空间的维数和一组基解易证"―1 0 八量组，且对V中任一元素(0 a \、一a b[—a(0[1a 0\b J|々,b e p }的一组线性无关的向+b(0 1 \ (0 0 \ 一 一按定义10 ,01为V的一组基，V的维数为2[1 07 [0 1)方法二在已知线性空间的维数为n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线 性空间的基。
例3假定R[J是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间， n证明：1,(x — 1), (x — 1>, , (x — 1)n-1 构成R lx ]的基证明考察 k」1 + k2 (x-1)+ + k (x-1)n-l= 0• • •由xn-1的系数为得k〃=0，并代入上式可得xn-2的系数、=0• • •依此类推便有k广kn \= = k1=0，故 1,(x — 1), , (x — 1)〃T 线性无关又R L］的维数为n，于是1,(x -1), ,(x - 1)n-1为R L］的基n n方法三利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的 维数0 —1、例4设A= ，证明：由实数域上的矩阵A的全体实系数多项式f (A)组成的 11 0 )空间V = ]f(A)| A = K -J]与复数域c作为实数域R上的线性空间 V' =(a +洞a,b€R｝同构，并非求它们的维数证明V中任一多项式可记为f (A)=aE + bA, (a, b E R)，建立V'到V的如下映射b : a = a + bi T f(A)= a E + b A (a , b e R)1111 1 1 1 1易证b是V到V上的单射，满射即一一映射。
再设 a = a + bi, a , b e R, K e R，则有 2 2 2 2 2b(a +a ) = b「(a + a )+(b + b )i］ = (a + a )E + (b + b )A = b(a )+b(a )1 2 1- 1 2 12」12 1 2 1 2b (ka ) = b (ka + kbi )= ka E + ka A = kb (x )故b是V'到V的同构映射，所以V到V，同构另外，易证V，的一个基为1，i，故dim V' = 2... dim V = 2方法四利用以下结论确定空间的基：设a , a , , a与P R , R是n维线性空间V中两组向量，已知0 , P , , P可由1 2 n 1 2 n 1 2 na1,a2, ,a〃线性表出：• •• ••• •••P = a a + a a + + a a1 11 1 21 2 n1 na a + a a + + a a2 12 1 22 2 n 2 nn 1n 12n2 nn n• • ・令A =(a11 a21 也 、n1a12a22an2a1n '•.•a2n...ann)如果a1组基a 2,,an为•"一组基，那么当且仅当A联时，P「%• • •|3 = a a + a a + + a a,Pn也是V的一例5已知1, x; X2, x3 是p Lx］的一组基，证明1,1+ X, (1 + X )2 , (1 + X》也是p Lx］的一 组基。
证明因为1 = 1 ・1 + 0 - X + 0 - X 2 + 0 - X 31 + X = 1 ・1 + 1 - X + 0 - X 2 + 0 - X 3(1 + x » = 1 , 1 + 2 . x +1 , x 2 + 0 . x 3(1 + x) = 1 , 1 + 3 • x + 3 • x2 +1 , x311110 12 3 0 0 12 0 0 0 1所以 1,1+ X, (1 + X^2 , (1 + x* 也为 p [x]的一组基0方法五如果空间V中一向量组与V中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组 基例6设RL｝表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明X2 + X, X2 - X, X +1为这空间的一组基证明k1Cx 2 + x)+ k2C2-x)+ k (x +1)=则 | k1+k2=0< k - k + k = 01 k = 0于是x2 + x, x2 - x, x +1线性无关，它们皆可由x2, x,1线性表示，因此 12 + x, x2 - x, x +1与x2, x,1等价，从而R [%]中任意多项式皆可由x2 + x, x2 - x, x +1线性表示，故x2 + x, x2 - x, x +1为R [x]的基。
方法六利用下面两个定理：定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系定理二：任何一个mxn矩阵A，总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵:，其中I表示r阶单位矩阵rB )0 /依据这两个定理，我们可以很方便地求出匕匕的一个基，从而确定了维数例7设V — L (a, a), V — L(P , P)是数域F上四维线性空间的子空间，且 1 1 2 2 1 2% — (1,2,1,0),a2 = (-1,1,1,1)也一(2,-1,0,1),吧一(1,-1,3,7 ).求 V V 的一个基与维 数解若r g V V，则存在x ,x ,-y ,-y g F，使1 2 12 1 2r = x a + x a = - y P - y p (1)11 22 11 22即有 xa +x a + y P + y— 0 （ 2 ）11 22 11 22若a ,a , P , P线性无关，（2）仅当x = x — y — y = 0时成立12 12 2 1 2那么V V是零子空间，因而没有基，此时维数为0，V+V是直和若存在不全为零的数12 12V2有可能是非零子空间x , x , y , y使（2）成立，则V12 12 1若为非零子空间，由(1)便可得到基向量r。
A以％,气,p「p2为列向量作矩阵A，经行初等变换将A化为标准阶眦矩阵A1 -1 2 1、<10 0 -1、2 1 -1 -10 10 4A — >—A110 3行初等变换001 3<0117 ,10 0 0 0 JP = -a + 4a + 3 P....r = -a1 + 4a2 = _3料 + % = (—5,2,3,4 )是匕 V2的-个基dim (V1 匕)二1同时知,「",气是V 的-个基，dim V = 2P ,P是V的一个基，dimV = 2 1 2 2 2a, a , % , % 是 V + V 的一个基，dim (V + V )=秩(A)=3 1212 1 2 1 2方法七性空间V中任取一向量a，将其表成线性空间V-线性无关向量组的线性 组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的这一线性无关向量组就是我们要找的基例8求V = L (a, a 2)与V2 = L (%, %2) 的交的基和维数设 fai = (1,2,1,0) J 料二(2,-1,0,1)攻］a' = (-1,1,1,1)，［『=(1,-1,3,7)v 2 v 2解任取a gV V，则a gV, a = xa + xa，且a gV, a = y% + y% , 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2a=xa +x浏=y% +y % (注：此时a虽然已表成一线性组合的形式但它仅仅11 22 11 2是在匕、V2侦表示并非本题所求，即要在空间匕匕中将也线性表出)/. x a + x a 一 y % 一 y % = 0，求 x , x , y , y11 22 11 2 1 2 1 2x1 一％ 一 2 y1 一七=02 x + x 一 y + y = 0< 12 12x1+ x2 - 3 y2 = 0x -y-7y = 0解得(x , x , y , y ) = (k, -4k, -3k, k)12 12.•.a = k (a1 - 4a 2) = k (-3%1 + % 2) = k (5, -2,3,4)故匕 匕是一维的，基是(5,-2,3,4)易知(5, -2,3,4)是非零向量，是线性无关的。
方法八按维数公式求子空间的交与和的维数和基维敏公式：如果是有限维线性空间V的两个子空间，那么 1, 2dim（F）+dim（V ）=dim（F +V ）+dim（F V ）1 2 1 2 1 2例 9 已知a =（3-1,2,1）,a 二（0,1,0,2小（3 二（1,O,1,3）R =（2-3,1,-6）^ 由向量1 2 1 2a,a生成的少的子空间V=L（a,a）与向量00生成的子空间V =L（P,P ）的交1 2 1 1 2 1, 2 2 1 2与和空间的维敏的一组基机/,a”也为列的娜施行同等变换:解因为V+V = L（a ,a ,P ,P1 2 12 12“3012、“0000、-110-3-110-3201100-11<123~6J00一3/秩4 =秩8 = 3,所以U+U的维敏是31 2且％气叫,％为极大线性无关组，魅们是匕+匕的-组基又由气，气线性无关知匕的维数为2,同理V项维数也为2,由维数公式气匕的 维敏为（2 + 2）—3 = 1 °从矩阵B易知p =a -2a P +P =（3-3,2,-3）是公有的非零向量,12 1 2 12 1 2所以它是交空间V V的一组基。
1 2n方法九由昔换定理确定交空间的维敏昔换定理：设向量组a ,a , ,a线性无关，并且a ,a , ,a nJ由向量组1 2 r 1 2 r线性表出，那么1 2 s• • • • • •（1） r < s• • •（2） 必要时可适当对中的向量重新编号，使得用a,a, ,a昔换12 5 12 rB，B， ，B后所得到的向量组a,a, ,a,B , ,0与向量组0,0,用等价12 r 12 r r+1 s 12s• • • . • .特肌。