耦合离散mKdV方程的达布变换及其精确解

耦合离散 mKdV 方程的达布变换及其精确解阮传同，魏含玉（周口师范学院 数学系，河南 周口 466000）摘要：借助谱问题的规范变换，给出与一个离散的 矩阵谱问题相联系的耦合离散 mKdV 方程的2达布变换．作为应用，从所导出的达布变换得到了这个方程的精确解并作出图形．关键词：离散谱问题；耦合离散 mKdV 方程；达布变换；精确解孤子方程是非线性科学中的一个重大研究课题，自 20 世纪 60 年代以来,人们发现了多种求孤子方程解的方法，其中有反散射方法、贝克隆变换法、双线性直接方法、代数几何法、非线性化方法、达布变换法等等[1]．这些方法各有特点，彼此之间也有其内在的联系．其中，达布变换是一种自然而美妙的方法[2]，它能从方程的一个解出发得到新的更复杂的精确解，是一种简单而有效的求解方法．考虑离散谱问题， 1nnφU 0nnvuU（1）其中 、 是两个位势函数， 是常谱参数．特征函数 相应的时间部分为nuvnφ， ,ntnφV121nnuv（2）根据离散的零曲率方程 , 由(1)和(2)可得到耦合离散 mKdV 方程[3],1ntnUV, 1()tnnuvu（3）1、达布变换为了构造耦合离散 mKdV 方程 (3)的达布变换，首先引入半离散谱问题(1)和(2)的规范变换[4]．nφT（4）其中 由下式确定nT1nnU（5）, nntTV（6）于是 便满足与谱问题(1) 和(2) 形式上完全相同的 Lax 对，即n1nφU（7）,ntV（8）为了使相应的谱问题转化为相同形式的谱问题，假定 为如下形式nT11()2()2100()1()mmj jnj jnj jnj jABCD   T（9）其中 ， ， ， 是关于 n 和 t 的待定函数，且()jnA()jB()jn()jD()0mnA将（1）和（9）代入（5） ，比较 的系数可得2m(10)()(1)1()nnmuCvBD设谱问题(1)和(2) 有基本解组为 ， ．12,()nn12(),nn记 为nΦ1122()nnn则 为（1）的一个基解矩阵n由（4）得 11()2()2110022()1()()nnmmj jnnj jnj jj jABCD   Φ矩阵（9）表明 是关于 的 阶多项式且 ． detnT2m2()21detmnniiT故当 时， ，知 是一个退化矩阵，从而i1,2.det0nini的列向量线性相关，即存在常数 使得niΦi1,2.m12 21()()()()0n n n niiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiABABCDCD（11）将（9）代入（11）得2 2121 211() ()00() ()j jj jmmj j mniiniij jj jiiiij jABCD（12）其中2211()())nniiii（13）适当选取 ， ， ，使（12）中分别以 ， ， ，inii()jniA()jniB()jniC为未知的 个方程组的系数行列式的值均不为零．根据克莱(1)jniD0,.1jm2姆法则，这些函数可唯一确定．定理 1　 由（5）所确定的 和（1）中矩阵 具有相同的形式，即nUn0nvu变换（10）将原位势函数 ， 映射为新位势函数 ，n nuv证明：因 ，其中 是矩阵 的伴随矩阵．假设11*detnT*nT112*12,,nffU（14）由 和 的表达式可知 ， ， ， 是 的nT1,fn12,f21,fn2,fn2阶多项式且 是 的根．进而（14）可改写为2mi.mksks (15)*1(det),nnTUP其中 (1)(0)(0)112() 12,,,, , n   P由（15）知1,nnTUP（16）比较（16）式两端 ， 的系数可得2m1， ， ，(1),Pn(0)1,n(1)(0)12,mnvBPD，(0)()(1)21,mnnuDC()2,根据（10）式，有，(0)12,nPv(0)21,nPu则 ，知定理成立．,nPU定理 2 　由（6）所确定的 和（2）中矩阵 具有相同的形式，即nVn121nnnuv变换（10）将原位势函数 ， 映射为新位势函数 ，n unv证明：令（17）112*, 2,,()nnt gTV由 和 的表达式可知 ， ， ， 是 的nV1,12,n12,gn2,gn2阶多项式且 是 的根．进而（17）可改写为2mi2.m,ksgks(18)*,()(det)nnt nTVTQ其中(0) (1)1 2(2) (0)2 2, ,, , ,QnQnn n   由（18）知, ,ntnnTVT（19）比较（19）式两端 ， ， ， 的系数可得02m12m， ，()(1)2,nvBQD(1)()(1)2,mnnQDuC， ，()2,(1)2,0，(0) ()(1)(1)112,mmnnnuv(0)21,nQuv比较（5）式 的系数，有11nnvu（20）根据（10）和（20）式，有， ，(0)11,nQuv(1)2,nQv，()2(0)1u则 ，知定理成立．,nQV定理 3　（4）和（10）就是耦合离散 mKdV 方程(3) 的一个达布变换，方程的一个解在其作用下可映射为方程的一个新解 ，其中 ， ， ，,nuv ,nuv(1)mnB(1)nC()mnD由线性方程组（12）唯一确定．()1mD2、方程的精确解通过前面构造的达布变换，我们来讨论耦合离散 mKdV 方程(3) 的精确解．取（3）的一个平凡解 作为种子解，将其代入其谱问题（1）和（2）中，可nuv以得出它的一个基本解组， 1,nAtnteBt1,tnAteBt（21）其中，224A24B当 时，由（13）可得i1,2.m11()()i ii itnnAt Aiiii ttiiieBenB（22）将(21)、(22)代入线性系统（12） ，根据克莱姆法则，可得，1,2()mntBΔ2,1(1),mnntCΔ，2,()ntD2,()1,ntD其中  223221111112333331 2232212, mmmmmm nnnntnnnΔ            11111223222333 31,222322 mm mmmmnnntΔ            2323 12111 1222 123 3332 322122, mmmmmmnnnntnnnΔ            23232 2111112 22 23 3332,1 32 22 2mmmm mmmnnnntnnn Δ            232 1111222 213 3332, 32212 2mmm mm mnnnntΔ            从而，利用达布变换（10）得到方程（3）的精确解： 2, 2,1,,mntntuΔΔ121,221,,,n mttttvn特别地，当 时，我们可以得到m2(0)1nB211(0)2()(nnC112(1)2)nDn此时 (1)(0)nnuC()1nBvD从而，适当选择参数可得到方程（3）精确解的单孤子图形：6.577.58n -2-1.5-1-0.5t-0.4-0.3-0.2-0.10un-3 -2 -1 1 2 3 n-0.4-0.3-0.2-0.1un t0图 1． ， ， ，2412-505n -5-2.502.55t-10-8-6-4vn-6 -4 -2 2 4 6n-10-8-7-6-5-4-3vn t0图 2． ， ， ， 12.512周口师范学院青年科研基金资助项目 编号：zknuqn200911作者简介：阮传同（1979—） ，男，河南淮阳人，助教，硕士研究生，主要从事概率统计教学与研究Darboux transformation of a discrete coupled mKdV equation and Its explicit solutionsRUAN Chuan-tong, WEI Han-yu(Department of Mathematics, Zhoukou Teachers College, Zhoukou Henan 466000)Abstract: With the help of a gauge transformation of the spectral problem, we give the Darboux transformation of a discrete coupled mKdV equation, which related to the discrete matrix 2spectral problem． As an application, we obtain the explicit solutions of the discrete coupled mKdV equation by the formerly constructed Darboux transformation and their graph．Key words: discrete spectral problem; discrete coupled mKdV equation; Darboux transformation;explicit solution．参考文献：[1]GengX G,Tam H W．Darboux transformations of classical boussinesq system and its muti-soliton solutions[J]．J ．Math ．Phys,1999,40:3943 [2]刘萍．Broer-Kaup 系统的达布变换及其孤子解 [J]．数学物理学报，2006，26A（7）：999-1007[3]陈登远．孤子引论[M] ．北京：科学出版社，2006．46-48[4]李翊神．孤子与可积系统[M] ．上海：上海科技出版社，1999．33-34。