3扩展Dicke模型的热力学极限性质 13.1正常相 23.2超辐射相 43.3相变讨论 83.4系统量子纠缠和量子关联 133扩展Dicke模型的热力学极限性质早在1954年Dicke『23 ］提出7N个两能级原子的集体相干辐射率超过单独的N个原子自发的辐射率，原子集体属于一种相干的辐射押个自发辐射的原子放在光学腔场里，所有原 子和一个共同的辐射场发生作用，因此不能简单看成每个原子是独立的自发辐射态由于原 子之间的距离比辐射波长小很多，但是比粒子物质波长大许多，这样原子之间相互作用可以 忽略，但是可以形成相干自发辐射波他说，该系统中的这些相关多个原子态展示的非同寻常的大辐射率叫“超辐射态”(super-radiance)超辐射态是指原子集体激发的密度与N2 成比例，而不匙，原子是相干辐射的这样，邸个两能级原子和单模玻色场相互作用的系 统叫做Dick e模型这是凝聚态物理和量子光学关联的一个重要物理模型，比如在研究量子 点中的超辐射行为『641，玻色一爱因斯坦凝聚f651以及一些耦合的光学腔场模拟强关联系统的行为［66］，量子电动腔场QED等系统中有广泛的应用Dicke模型中原子看成是由N个相同但可区别的两能级原子形成的集体系统，并且每个原子的 上下能级差为V oDicke哈密顿量描述玻色场与N个原子的相互作用如同在一个理想腔场里的偶极子作用。
这里，多个两能级原子看成是由N个相同但可区别的集体系统，并且每个原子 的上下能级差为V其中，第i个原子可以描述成一个自旋1；的算符Is；；k = z,士｝，遵从 对易关系"，s ］ =±s ；fjs，s ］= 2s我们考虑单模波色场的情况，这些两能级原子与频率 z ± 士 + — z为①的单模玻色场发生作用，耦合强度为人，扩展的Dicke模型哈密顿量可以写成(3-1)H =① l^si + ① a fa + 2^—^= (a f + a)(si + si) + —云 si si+10 z n + - N z zi=1i=1 i=i ' i=1这里h = 1，if,a是波色产生和湮灭算符，V为原子-原子相互作用项，这里为Ising耦合原子-波色场相互作用项出现的kn因为是因为偶极子耦合强度最初与!?「成比例，v是强场体积强场里原子密度P = N/V，因此耦合强度正比于V ,带入相互作用项我们得到,/
上升和下降算符作用在这 些态上得到：J±| j,m = Jj(j +1)-m(m±1)| j,m±1)j是Dicke态的“共同量子数”， 当N确定后，j取值为1;23・2L ,N2，我们选择j的最大值N/2N个两能级原子系 统可以看成是一个N +1能级的系统，总的赝自选矢量长度j = N2利用集体算符，上面的哈密顿量可以表示为入 V T(3-2)H =① J + ①ata + —— (at + a)(J + J ) + ^^ J2热力学极限下，原子个数无穷N *，也就是说角动量j -8，零温下，扩展Dicke模型在耦合强度七=也(气-v)/2会发生量子相变为了描述这种相变，把哈密顿量分成两个 有效哈密顿量H 1(H2)，一个H1描述正常相人〈七的系统，另一个H 2描述对称性破缺的 超辐射相入〉七首先角动量部分做Holstein-Primakoff皮化，用玻色子表示J = btj2 j — btb, J = J2 j — btbb, J = btb — j，并且玻色算符满足对易关系何,bt ] =1 o 将上述变化带入哈密顿量(3-2)，可以得到两类玻色子的哈密顿量H =①(btb — j) + ①ata + 人寸号(at + a)(bt ,1 — ^tj + .1 — ^jb) + -N (btb — j)2 (3-3)3.1正常相btb 八 l btb -通过对哈密顿量(3-3)中含J的项做简单的近似处理：因为——0，所以令1 ：1-丁^ 1 o2 j \ 2 J我们得到系统正常相的有效的哈密顿量H1H = Wat a + (①一边 v)btb + 人」—(a t + a)(bt + b) + {jv-① j} (3-4)1 0 N \ N N 0为了将这个含有双线性的玻色算符的哈密顿量对角化， 引入以下两个具有玻色模式的位置和动量算符:x = -^(a t + a)<2®y = , 1 _(bt + b)\如 0 - *)PyPx令①0 — N =^，用上面的位置动量算符去表示正常相的哈密顿量（3-4）：（3-5）[①2X2 + p2 +B 2y2 + p2 + 4人用下面的方法变化位置算符，即将X - y平面旋转一个角度到另一个平面上，可以将上面的哈密顿量对角化:x = q cos Y + q sin Y，1 1 2 1y = -q sin Y + q cos Y，（3-6）这里旋转角度Y i满足条件:tan(2Y 1) = B 2 -®2对于共振态® = b，y广％，这时x = （%+02）/J2和y = （-%+%）/^2。
这样的变化消除了哈密顿量中xy的相互作用项，得到两种退耦合谐振子的形式H = — [£ (1)2 q2 + p 2 + £ (1)2 q2 + p2 — ® —B ] + {^— v — ® j}1 2 - 1 1 + 2 2 N 0（3-7）现在引进两个新的玻色算符去量子化哈密顿量H2e ⑴ 1 1—,'£P2= \ T (c2t— c2)1 一、 q =」](c t + c )故对角形式的哈密顿量为ww 1 , 、 ，j 2H =£⑴c ?c + £ c c + — (£ + £ —®—B) + { V — CO j}1 — 1 1 + 222 + — N 0（3-8）（3-9）这里使得哈密顿量H对角化的玻色算符｛c ,c t,c ,c t｝是玻色算符｛a,at,b,bt｝的线性组 1 112 2合至此，我们就得到了正常相的两支独立震荡模式的能量表：y8 (1)2±①2 +B 2 ±2 一①2)2 + 2j 16人2①B(3-10)如果激发态能量8⑴是实数，那么必须满足条件①2 +W 2 z 面2-①2)2 + 2-16人2®W ,等N价于拦胃*°因此可以看到哈密顿量气仅在E有效，即正常相。
在正常相，(3-11)系统的基态能量是：E1 / j 2 j• — v —3 —N 2 0 N这里忽略了高阶项0(j)，而上面的激发态能量8⑴是忽略了 0(1)，也就是说在基态上面的 ±激发态谱在j T8是准连续的3.2超辐射相为了描述超辐射相，考虑到场与原子系综都有宏观占据数，采用Holstein-Primakoff变换去转换哈密顿量(3-3)，假设两类玻色子算符做如下变化aT T ct +、：N侦,b T d t + 京P严格来说，我们做上面的变换，其实就意味着平移参也和P是0(j)，也就是说在X>x c时，他们满足非零宏观场将上面的平移算符带AH-P变换的式子中，可以得到J = 4k只"NP(§),J =据(，Ed -
x/k -J N 以①=0]捋^( j - n p 2)—4N® 0 p-24N 阮(p 2 - 2)= 0(3-14)平庸解寸五=耶=0是满足正常相哈密顿量H1的解，这里对超辐射相有意义的解是①p 2 = ；(1-二)2 u + v(3-15)4人2 : 4人2这里 u = ，而且令 w = (1- p 2) = u (1- p 2)① w利用这些参量，获得了有效哈密顿量%H = wcrc + wd r d2u p 2(1- 1 p 2)+[ 2 + vp 2](d ? + d)2(1-p 2)2人 1八+ (--p 2)(c? + c)(d + d)<1 -p 2+N{w (p2 -：) + w以2 - 4人以p J1-p 2 + v(p 2 -1)2}(3-16)为了促进这个双线性哈密顿量的对角化，我们引进如下定义的位置-动量算符:X =-^(cr + c) P = l ■-(cr -c).<2w X V 21 ,， ，、Y =-——(d f + d)Py =喉(d f - d)(3-17)这样超辐射相的有效哈密顿量H 2变为:H 2 = 1[① 2 X 2 + P2 + (u 2 - 4uvP 4)Y 2 + P；(3-18)+8 人 2(1-2P 2) XY-o-o]+N{o ( P 2 — 2) +O以2 — 4入以P J1 - P 2 + v(P 2 — 2)2}虽然（3-17）式的位置-动量算符表达式与（3-6）定义的有所不同，但是这里的对角化过程 与之前正常相的过程是类似的，也就是将X-y平面旋转一个角度到另一个平面上，使得上面的有效哈密顿量H2对角化X = Q cos y + Q sin y，Y = -Q siny + Q cosy(3-19)这里旋转角度度2满足条件:.1 八16 人 2(2-P 2)tan(2y 1) = (u2 - 4uvP 4)-o21:H 2 = 2件 ⑵ 2 + P2 + Q28 (2)2 + P2 -o-o ]+N{o ( P 2 。