《全等三角形》问题中常见的辅助线的作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线 也可将图对折看，对称以后关系现角平分线平行线，等腰三角形来添角平分线加垂线，三线合一试试看线段垂直平分线，常向两端把线连要证线段倍与半，延长缩短可试验三角形中两中点，连接则成中位线三角形中有中线，延长中线等中线常见辅助线的作法有以下几种】1、 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2、 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等 变换中的“旋转”3、 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，禾U用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4、 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5、 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长， 是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、 差、倍、分等类的题目6、 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来, 利用三角形面积的知识解答。
倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图（一）例题讲解ABC中，AB 5，AC 3，求中线AD的取值范围分析：本题的关键是如何把 AB，AC，AD三条线段转化到同一个三角形当中解：延长AD到E，使DEDA，连接BE又••• BD CD，BDECDABDECDASAS，BE AC 3••• AB BEAEABBE （三角形三边关系定理）即 2 2ADAEF经验总结：见中线，延长加倍例2、如图， ABC中，E、F分别在AB、AC 上, DE DF，D是中点，试比较 BE CF与EF的大小 证明：延长 FD到点G，使DG DF，连接BG、EG••• BD CD， FD DG， BDG CDF••• BDG CDF••• BG CF••• DE DF• EF EG在 BEG 中，BE BG EG•/ BG CF , EF EG••• BE CF EF例3、如图， ABC中，BD DC AC , E是DC的中点，求证：AD平分 BAE.证明方法一：利用相似论证证明：••• BD DC AC1•- AC BC2••• E是DC中点EC DC AC,ACE BCA22BCA sACEABCCAEAC DCADCDAC ,ADC ABCABCBADDAE CAEBADDAEAD平分BAEBAD即证明方法二:利用全等论证。
证明：延长使EMAE ,连结DM易证 DEMCEAC MDE, ACDM又••• BD DC AC• BD DM,ADCCAD又••• ADBC CAD ,ADMMDE ADCADMADBMADMADBBADDAE即AD平分BAE（二）实际应用:1 、 ( 2009BAD CAE(1)如图1是 崇文二模）以90，连接DE,当ABC为直角三角形时,ABC的两边 AB、AC为腰分别向外作等腰 Rt ABD和 等腰 Rt ACE ,M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系（2）将图1中的等腰Rt ABD绕点A沿逆时针方向旋转 如图2所示，（1）理由图1图2(解：（1）ED 2AM，证明：延长AM到G，AM ED ;使MG AM，连BG,则ABGC是平行四边形• AC BG, ABG 又T DAE BACBAC 180180• ABG DAE 再证： DAE ABG• DE 2AM , BAG 延长MN交DE于EDABAG DAH90HDA DAH90• AM ED（2 ）结论仍然成立.证明：如图，延长CA至F,使AC FA , FA交DE于点P,并连接BF••• DA BA,EAAF• BAF 90•••在 FAB和DAFEAD中EADFA AEBAF EADBA DAFABEAD (SAS)• BF DEF AENFPDAPE AEN 90F• FB DE又••• CA AF ,CMMB••• AM //FB，且 AM1 FB2• AM DE, AMIde2BAC，且 AD BD，求证：CD ACD、截长补短（一）例题讲解 例1、如图， ABC中，AB 2AC , AD平分 证明：过D作DM AB，垂足为M• AMD BMD 90又••• AD BD , DM DM• ADM BDM• AM BMT AB 2AC• AC AMt AD平分 BAC• BAD CAD在ADC和ADM中AC AMBAD CAD ,AD ADADMADCACDADM 90即：CDAC例 2、如图，AC// BD , EA, 证明：在AB上截取AF AC , 在CAE和EB分别平分连接EFCAB ,DBA, CD 过点 E,求证：AB AC BDAC AFFAE中FAECAEFAECEAFEACEABED即FEBDEB在DEB 和FEB中FEAFEBDEBCAEAE AEFEB90BE BEFBEDBEDEBFEB(ASA)二 BD BF二 AB AF BFAC BD例3、如图，已知在ABC 内,ABC的角平分线。
求证:BACBQ60AQ40，P, Q分别在BC,CA上，并且 AP, BQ分别是BAC ,ABBPD,使 BDPD .贝UBAC•- 1230 ,ABC 180 60 40• - QBQC又 D534 80D40在 APD与APC中AP AP ,12, D C 40• APDAPC(AAS)• ADAC即ABBDAC• BQAQABBP•、如图,在四边形ABCD 中, BC BA,求证：AC180证明：延长AB到连接BQ分别是•/ AP,BAC ,80ADBP,ABC的角平分线,C60 ,403CD , BD 平分 ABC .解：过点D作DE BC于E,••• BD 平分 ABC过点D作DF AB交BA的延长线于F••• DE DF , F DEB 90 在 Rt CDE 和 Rt ADF 中AD CDDE DF二 Rt CDE Rt ADF (HL)FAD CBAD C BAD FAD 180例5、如图，在ABC 中，AB AC ,BADCAD , P为AD上任意一点求证：AB AC PB PC证明：如图，在 AB上截取AE,使AE AC，连接PE 在 AEP和ACP中AE ACBAD CADAP AP••• AEP ACP (SAS)••• PE PC在 PBE 中，BE PB PE，即 AB AC PB PC（二）实际应用如图，在四边形 ABCD中，AD//BC，点E是AB上一个动点，若 B 60 , AB BC，且 DEC 60，判 断AD AE与BC的关系并证明你的结论。
分析：此题连接AC,把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明 三角形全等解决它们的问题解：有 BC AD AE连接AC,过E作EF // BC并AC于F点则可证 AEF为等边三角形即 AE EF , AEF AFE 60• CFE 120又••• AD // BC , B 60• BAD 120又••• DEC 60• AED FEC在ADE与FCE中EAD CFE , AE EF , AED FEC• ADE FCE• AD FC• BC AD AE点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题，然后利用全等三角形的性质解决平移变换（一）例题讲解例1、AD为 ABC的角平分线，直线MN AD于A. E为MN上一点， ABC周长记为Pa , EBC周长记为Pb .求证：PB PA.证明：延长 BA到F,使AF AC,连接EF••• AD为ABC的角平分线••• BAD CAD••• MN AD•- FAE 90 BAD 90 CAD CAEAF AC, AEAEAFE ACEEF ECBE EF BFBE EC ABAF AB AC• BC+BE+CE>AB+AC+BC BE EC BC AB AC BC• ABC的周长小于 EBC的周长，即PB PA例2、如图，在 ABC的边上取两点 D、E,且BD CE，求证：AB AC AD AE .解析：先连接AF并延长至G,使FG AF ,其中F是BC的中点，连接GB，GC, GD，GE.可知四边形 ABGC, 四边形ADGE是平行四边形，延长 AD至H，交BG于H •运用三角形的三边关系：“两边之和大于第三边”即可 进行证明。
证明：连接 AF并延长至G,使FGAF ,其中F是BC的中点，连接GB, GC,X?'1## iGD , GEA••• BD• DFCEEF•四边形ABGC,四边形ADGE是平行四边形//\• BGAC ,DGAE/!\\延长AD至H，交BG于Hz.厶J—iBDF。