高中数学必修1各章知识点总结大全完整版 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函式概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由happy的字母组成的集合 (3)元素的无序性: 如：和是表示同一个集合 3.集合的表示： 如：， (1)用拉丁字母表示集合：a=,b= (2)集合的表示方法：列举法与描述法 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：n 正整数集 n*或 n+ 整数集z 有理数集q 实数集r 1）列举法： 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法 , 3）语言描述法：例： 4）venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例： b= “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。
a a ②真子集:如果a b,且a b那就说集合a是集合b的真子集，记作ab(或ba) ③如果 a b, b c ,那么 a c ④ 如果a b 同时 b a 那么a=b 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 三、集合的运算 例题：1.下列四组物件，能构成集合的是 a某班所有高个子的学生 b着名的艺术家 c一切很大的书 d 倒数等于它自身的实数 2.集合的真子集共有个 3.若集合m=,n=，则m与n的关係是 4.设集合a=，b=，若ab，则的取值範围是 5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人， 两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合m 7.已知集合a=, b=, c=, 若b∩c≠φ，a∩c=φ，求m的值 二、函式的有关概念 1．函式的概念：设a、b是非空的数集，如果按照某个确定的对应关係f，使对于集合a中的任意一个数x，在集合b中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：a→b为从集合a到集合b的一个函式．记作： y=f(x)，x∈a．其中，x叫做自变数，x的取值範围a叫做函式的定义域；与x的值相对应的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域． 注意：1．定义域：能使函式式有意义的实数x的集合称为函式的定义域。
求函式的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函式是由一些基本函式通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函式的定义域还要保证实际问题有意义. ◆相同函式的判断方法：①表示式相同（与表示自变数和函式值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函式图象知识归纳 (1)定义：在平面直角座标系中，以函式 y=f(x) , (x∈a)中的x为横座标，函式值y为纵座标的点p(x，y)的集合c，叫做函式 y=f(x),(x ∈a)的图象．c上每一点的座标(x，y)均满足函式关係y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为座标的点(x，y)，均在c上 . (2) 画法 a、描点法： b、图象变换法 常用变换方法有三种 1)平移变换 2)伸缩变换 3)对称变换 4．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 5．对映 一般地，设a、b是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合a中的任意一个元素x，在集合b中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：ab为从集合a到集合b的一个对映。
记作“f（对应关係）： a（原象）b（象）” 对于对映f：a→b来说，则应满足： (1)集合a中的每一个元素，在集合b中都有象，并且象是唯一的； (2)集合a中不同的元素，在集合b中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合b中的每一个元素在集合a中都有原象 6.分段函式 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表示式的函式 (2)各部分的自变数的取值情况． (3)分段函式的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：複合函式 如果y=f(u)(u∈m),u=g(x)(x∈a),则 y=f[g(x)]=f(x)(x∈a) 称为f、g的複合函式 二．函式的性质 1.函式的单调性(区域性性质) （1）增函式 设函式y=f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内的某个区间d内的任意两个自变数x1，x2，当x1如果对于区间d上的任意两个自变数的值x1，x2，当x1注意：函式的单调性是函式的区域性性质； （2） 图象的特点 如果函式y=f(x)在某个区间是增函式或减函式，那么说函式y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函式的图象从左到右是上升的，减函式的图象从左到右是下降的. (3).函式单调区间与单调性的判定方法 (a) 定义法： 任取x1，x2∈d，且x1作差f(x1)－f(x2)； 变形（通常是因式分解和配方）； 定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； 下结论（指出函式f(x)在给定的区间d上的单调性）． (b)图象法(从图象上看升降) (c)複合函式的单调性 複合函式f[g(x)]的单调性与构成它的函式u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减” 注意：函式的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 8．函式的奇偶性（整体性质） （1）偶函式 一般地，对于函式f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函式． （2）．奇函式 一般地，对于函式f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函式． （3）具有奇偶性的函式的图象的特徵 偶函式的图象关于y轴对称；奇函式的图象关于原点对称． 利用定义判断函式奇偶性的步骤： 首先确定函式的定义域，并判断其是否关于原点对称； 确定f(－x)与f(x)的关係； 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函式；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函式． 注意：函式定义域关于原点对称是函式具有奇偶性的必要条件．首先看函式的定义域是否关于原点对称，若不对称则函式是非奇非偶函式.若对称，(1)再根据定义判定; (2)由 f(-x)f(x)=0或f(x)／f(-x)=1来判定; (3)利用定理，或藉助函式的图象判定 . 9、函式的解析表示式 （1）.函式的解析式是函式的一种表示方法，要求两个变数之间的函式关係时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函式的定义域. （2）求函式的解析式的主要方法有： 1)凑配法 2)待定係数法 3)换元法 4)消参法 10．函式最大（小）值（定义见课本p36页） 利用二次函式的性质（配方法）求函式的最大（小）值 利用图象求函式的最大（小）值 利用函式单调性的判断函式的最大（小）值： 如果函式y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则函式y=f(x)在x=b处有最大值f(b)； 如果函式y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函式y=f(x)在x=b处有最小值f(b)； 例题：1.求下列函式的定义域： 2.设函式的定义域为，则函式的定义域为_ _ 3.若函式的定义域为，则函式的定义域是 4.函式，若，则 5.求下列函式的值域： (34) 6.已知函式，求函式，的解析式 7.已知函式满足，则 8.设是r上的奇函式，且当时, ,则当时= 在r上的解析式为 9.求下列函式的单调区间： 10.判断函式的单调性并证明你的结论． 11.设函式判断它的奇偶性并且求证：． 第二章基本初等函式 一、指数函式 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中》1，且∈*． ◆负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作。
当是奇数时，，当是偶数时， 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ， ◆0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1（2 （3（二）指数函式及其性质 1、指数函式的概念：一般地，函式叫做指数函式，其中x是自变数，函式的定义域为r． 10。