二次函数根的分布、知识点二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 一元二次方程ax2 + bx + c = 0根的分布情况 表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于 0 两个正根即两根都大于 0 —正根一负根即一个根小于(x1<0,x2<0)(x1〉0,x2A0)0, 一个大于 0(x1<00{ -- <02af 0 ：0{ -- >02af 0 二 0综合结论{不讨论a)0>0b -- <02aa f 00A>0-b 02aa f 00表二：（两根与k的大小比较）分布情况两根都小于k即两根都大于k即 一个根小于k , 一个大于k即x1 :: k, x2 :: kx1 k, x2 kx1 ：： k :: x2得出的结论得出的结论oA>b-2a(k综合结论{不讨论a)TnA>0 b一一 0a f k ：二 00>Q上k2aa f k 0分布情况两根都在（m, n ）内两根有且仅有一根在m,n内（图象有两种情况，只画了一 种）一根在（m, n ）内，另一根在（p, q ） 内，m ：： n ：：： p ：：： q得出的结论：0f m । > 0f n)、0bm 二-——二 n2af m p 0f (n)<0 或 Jf (m)f (n)<0f p ;0" f p f q ：二0f q 0得出的结论：0f m ： 0f n ： 0bm n2af m f n ：： 0f m ： 0f n 0「f m f n ； 0 或《''f p 0 f p f q ：： 0f q :：0综合结呼不讨论a)f(mf (n)<0f (m > f (n )< 0{[f(p)f(q k0表三：（根在区间上的分布）、经典例题例1：(实根与分布条件)已知a, P是方程x2+(2m _1)x+4 _2m = 0的两个根，且a <2 < P ,求实数m的取值范围。
变式：关于x的方程(1—m2)x2+2mx-1 = 0的两个根，一个小于 0, 一个大于1,求m的 取值范围例2：(动轴定区间)函数f (x) =x2 -2ax-3在区间1,2】上是单调函数，则a的取值范围 是？变式2：函数f (x) =2x2 -kx+3在［―1,收］上是增函数，求实数 k的取值范围列3：(定轴动区间)求函数f (x) =x2 —2ax—1在0,2】上的值域变式3：已知函数f (x) =4x2 —4ax + a2 —2a+2在区间b,2】上有最小值3,求实数a的取值范围例4：(定轴动区间)已知二次函数f(x) = x2-2x-3,若f(x)在t,t+1］上的最小值为g(t),求g(t)的表达式变式4：已知二次函数 f(x)满足f(1+x)= f(1 —x)，且f(0) =0, f⑴=1 ,若f(x)在区间m, n ]上的值域是m, n ],求m,n的值例5：(恒成立问题)已知函数f (x) = x2 + mx -1,若对于任意x^m, m+1】，都有f(x)<0 成立，求实数 m的取值范围21变式5：已知函数f(x)=x -mx+1在(-,2)上恒大于0,求实数m的取值范围。
三、课后练习21、已知二次万程(2m+1)x -2mx+(m-1 )=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围2、函数f (x )=ax2 -2ax+2+b(a #0-12,3】上有最大值5和最小值2,求a,b的值3、讨论函数-.2，…一 •一f(x) = x+x — a+1的最小值4、已知函数 的取值范围2f (x) = mx +x-1的图像与x轴的交点至少有一个在原点的右侧，求头数5、已知函数f (x) =x2+ax+3 ,当xw匚1,1】时，f(x)〉a恒成立，求a的取值范围。