雨滴下落的动力学分析及大小雨滴下落速度比较

雨滴下落的动力学分析及大小雨滴下落速度比较雨滴下落过程没有阻力会怎样？假设雨滴从2000米的高度下落，根据自由落体公 式v = J2gh，得到v=200m/s,这样的速度接近于一般子 弹速度的一半通过查阅资料我们知道：kv ,较小时 )< 1C p Av 2 ,较大时 )〔2摘要：希望根据不同阶段主要阻力不同，分阶段得到雨滴速 度的表达式，比较大小雨滴在近地面时的速度大小第一阶段雨滴仅受竖直向下的重力和向上的阻力作用，得到运动学方 程：mg - kv = ma从中可知当达到平衡时，即雨滴开始做匀速运动时，a = 0, v =叫但是该最大值能否达到还不确定，也 max k许在达到该最大值前，该表达式已近不能很好的描述所受阻力写成微分方程形式得：mg-kvdv m _ dt解该方程，并带入初始条件:t = 0, v = 0得到:v 二 mg~~k1e1rkt i + ln mg m想法：根据第一阶段速度表达式，我们可以估计雨滴在高空时的 速度变化规律如果我们知道第一阶段持续的高度，那么可以估 算雨滴在第一阶段所经历的时间第二阶段C Av2其中k是比例系数，v是速度，C是阻力系数，A是雨滴有效截 面积，p是空气密度假设雨滴在下落的过程中，保持球形的形态不变， 则 ，其中C, p，为定值可转化为： 1C P" 丫 2 v 2此时雨滴受到重力和阻力的作用，得到动力学方程:mg -r 2 v 2 = ma当a=0时，雨滴匀速运动，速度达到最大速度，我们近似认为接 近地面时的速度为V 二「mgmax C p“ r 24把m = 兀r 3 p 代入上面的式子，得到：3 水v = rn水Imax 3 C所以由上式我们知道，雨滴半径越大，其在接近地面时的速度越 大，即大雨滴比小雨滴在近地面时下落更快。

以微分方程来表示得到：通过数学软件求解得到dvr 2 v 2 二 m代入得 tanh（f （t 土 C1）v = 2~drmC p兀r4其中壬与是由雨滴进入第二阶段的速度所确定的r2gCpp （t 土cl） 水 r通过/6 fr2gCpp — （t 土cl）我们可以了解雨滴 ）ejrgC PP水v —我们可以通过 时下落情况 进一步分析 通过查阅资料，我知道:积雨云层的高度通常在300〜500米之间， 实际上，物体在空气中运动时受到阻力和物体本身的形状，大小， 空气密度、特别是和物体的运动速率有关大体来说，物体速率 较小时，可认为空气阻力与物体速率的一次方成正比；当速率大 于某一幅度并低于200m/s时，可认为空气阻力与物体运动速率 的平方成正比；速率达到400~600m/s时，空气阻力和速率的三 次方成正比；速率很大时，阻力速率很大时，阻力与速率更高次 方成正比物体运动的速率越小，抛体运动越接近于理想状态 通过以上资料，我们可以更加准确的划分出受力分析过程当中两 个过程的分界线，即我们可以得到阻力具体适用的高度，以此得 到对应的速率的变化表达式这可以是以后的研究方向在汽车工程、航天工程、导弹轨道在物资救援中，空投已经成为一种十分重要且便利的方式，由于 降落伞难以多次利用，所以如何减少墨投的成本（利用空气动力学原理）总结：1）得到两个公式:mgkktm+ In mg ),(v较小吋/r 2 gC k （t 土 c 1）（v较大吋）2 tan来描述6雨滴下落情况 水 ）府 JrgC pp 水3 —2）同吋得出在近地面大雨滴下落更快的结论。