立体几何”高考复习专题训练教学设计——求点到平面的距离一、内容及其解析（一）内容1、主要内容2、主要问题考查问题一：根据直观图中棱柱（锥）的线面位置关系和数量关系，证明和求解其他线面位置关系和数量关系（二）解析1、各层次问题的关系2、主要的能力、思想方法和技能(1) 主要的能力和思想空间想象能力与计算求解能力；转化与化归、数形结合的思想方法(2) 解决基本问题的一般方法1、 等体积法如果一个几何体的底面面积和高较难求解时，采用等体积法求解可以利用 三棱锥的特性，任意一个面都可以作为底面，任意一个面点都可以作为顶点，通 过选择合适的底面和高来求解点到平面的距离或几何体体积2、 寻找体高，即寻找顶点在底面上射影的位置点到平面的距离不易求时，可转化为求几何体的高求几何体体积的关键是 确定其高，而确定高的关键就是找到顶点在底面上射影的位置，即做出几何体的 体高二、目标及其解析具体问题目标小问题目标考查问题目标求六种空间距离：求空间中两点 间、点到直线、点到平面、两点直 线间、平行线面间、平行平面间的 距离，将其转化为三角形或四边形 中线段的长，并用几何法求之(求多面体中的数量关系)能将棱 锥、柱等简单多面体中与距离或角 有关的数量关系转化为平面数量 关系转化为代数关系式，是经运算 得解。
考察问题一能利用转化与化归、数形结合等思 想方法将空间位置关系和几何量 进行转化，通过推理、运算，证明 和求解棱锥、柱等简单多面体中的 位置关系和与距离、角有关的数量 关系三、教学问题诊断分析1、 学生在训练过程中可能遇到的第一个困难是无法快速识别判断出等体积法应转化哪个顶 点主要原因是对几何体的几何特征观察的不够，所以应对学生进行如何看图的指导，并通 过大量的练习和训练让学生明确何种几何特征转化为哪个顶点；2、 遇到的第二个困难是在求底面面积时遇到不是特殊三角形的面积求起来不熟练当遇到 非等腰三角形、直角三角形时，应指导学生求底面面积时，正确应用正余弦定理将其他未知 量求出来，从而应用正弦定理求面积；3、 遇到的第三个困难是寻找几何体体高时已知棱不能作为体高，无法自己寻找做出体高并 证明此类问题出现的情况是学生对几何体结构特征不明确，也无法熟练应用题目给定的垂 直等关系和第一问位置证明得到的结论，所以要指导学生合理适时应用已知结论四、教学过程设计本次训练的流程如下:（一）考查问题题目1、测试题如图，已知四棱锥P- ABCD , APAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC //AD ,CD 1 AD，PC = AD = 2DC = 2CB=2，E 为 PD 的中点.求 点E到平面PBC的距离.方法一：连结BF，过F作FM 1PB于M，连结PF ,PA = PD，.\ PF1AD，推导出四边形BCDF为矩形，BF1AD， ••• AD1 平面 PBF，又 AD / /BC，BC 1 平面 PBF，BC 1 PB，设 DC = CB = 1，由 PC = AD = 2DC = 2CB，得 AD = PC = 2，PB = \PC2 — BC2 4-1 = % 3，BF = PF = 1，MF =1，2又 BC 1 平面 PBF，BC 1 MF，••• MF 1平面PBC，即点F到平面PBC的距离为1，2MF = 1, D到平面PBC的距离应该和MF平行且相等，为1, 2 2• •E为PD中点，E到平面PBC的垂足也为垂足所段的中点，即中位线，E到平面PBC的距离为14方法二：设。
为AD中点，连接OB、OP则OP 1 AD,四边形OBCD为正方形又 AD//BC :. OP 1BC且 OB c OP = O:.BC 1 面POBPB u 面POBBC 1 PB则ABPC为直角三角形...S% = 2 x PB x BC = gS球=2 x CD x BC = 2设点D到平面BPC的距离为刁,过点P做PH 1面ABCD，垂足为点H易知H在BO延长线上且PH = 22由 V - PBC= VTD 得3 x SPBC X d = 3 x SBCD x PH得d = 1 即点D到平面BPC的距离为14 42、变式题如图，四棱锥 P-ABCD 中，/ABC=/BAD=90°, BC= 2AD,APAB和^PAD都是边长为2的等边三角形.PB1CD；求点A到平面PCD的距离.解：方法一：取PD的中点F，连结OF，则OF//PB.PBLCD，故 OF1CD.又 OD= 1 BD= v'2，OP=JPD2 -OD2 =寸2，2故Apod为等腰三角形，因此of±pd.又PDCCD=D，所以OF上平面PCD.因为 AE^CD, CD u 平面 PCD, AE二 平面 PCD,所以AE〃平面PCD. .X因此。
到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD 项；V\11^距^,而 OF= 2 PB = 1. 一 ”7《厂'土 〔.所以、A到平面PCD的距离为1 （二 厂 "^一 /；方法二：设E为BC中点，连接DE、AE与BD交于点O,连接PO在 APDB中, O为BD中点，PD = PB,则PO ± BD.PB 1 CD,PB 1 PD, CD c PD = D 则 PB 1 面 PCD,则 PB 1 BC.PE =1 CB = 22同理PO 1 EAPO 1 BD, PO 1 EA, BD c EA = O :::PO 1 面ABCD设点A到平面PCD的距离为d1 1 /S =-(2 + 4) x 2 — — x 4 x 2 = 6;aacd 2 21 .一 .一S = x2x 2\2 = 2\2APCD 2A—PCD P—ACD* 1 ,1 -艮口 - x SPCD x d = 3 x SACD x PO得d=1即点A到平面PCD的距离为13、目标检测题如图，在四棱锥P — ABCD中，CD 1平面尸40, AB //CD,CD = AD = 4AB = 4, 且AC 1 PA, m 是线段 CP 上一点PM = 4PC且AP =2AD,求证MB//平面PAD, \ >并求点M到平面ABCD的距离证明：在PD上取一点E，使得PE = 4PD.PM = - PC, ME II-CD且ME =1 CD. 4 4 4又 AB 111 CD且AB= - CD, ... ME IIAB且ME=AB, 4 4• •四边形ABME为平行四边形MB IIAE, 又AE u 面PAD, MB 二 面PAD,MB 11面PAD.PA 1 面ACD, • PA 1 ADI 1 1 _AD = 4, AP = — AD.即点 P至 UAD 的距 离为一AD=2.2 2• •即得点P到面ACD的距离为2.PM = 1 PC,所以点M到面ABCD的距离为3 x 2=34 4 2（二）小问题题目如图，四棱锥P — ABCD中，/DAB = 60。
AB = 2 AD=2, 求点D到平面PBC的距离.底面ABCD为平行四边形，PD 1 底面 ABCD. PA 1 BD ；1、测试题解析：设D到平面PBC的距离为dPD平面 1 ABCD• PD 1 平面 ABCD:.PD 1 BD由（i）知BD 1 PA，PD cPA = P,:.BD 1平面尸4 BD 1 AD在平行四边形A8CQ中，ZDBC = 90BD = J3在 NPDB 中，PB = 2在APDC中，PC =扬在 APBC 中，PB 2 + BC2 = PC = 5△PBC为直角三角形S = 2 x <3 x 1 = 1S = Lx^xi =提ABDC 2 2由/ V 得 M x d = 1S x PDD - PBC P - BDC 3 XPBC 3 ABDC得d Q2Di G2、例题如图，直四棱柱ABCD- A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4, AB=2，Z BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点.求点C到平面C1DE 的距离.设计意图：通过小问题测试题发现学生对于有特殊位置位置关系的几 何体的转化上存在问题，针对性的对学生存在的问题：位置关系和数量关系如何应用、普通 三角形的面积如何求解进行指导 解析：设点C到平面C]DE的距离为d在直四棱柱人8。
ABCD中，有Cq 1 平面ABCD,故qE = "17，£D = 2^5 在菱形ABCD中，DE1 BC, DE =如13在ACDE中，DE2 + CE2 = 20, CD2 = 201 1 1.A CDE为直角三角形1.Q — 1 成 ，，有—P'51..S = — x y 3 x 7 = S = 2 x ^3 x1 = ~2~匕广DEC 匕-C[DEan1 一 1 ,艮口-SDEC x CC] = 3SCDE xd则得d =翌717即点^£的距离为也7i 173、目标检测题,求点C到如图，在三棱锥P - ABC中，AB = BC = 2互PA = PB = PC = AC = 4 , O 为 AC 的中点.PO 1平面ABC ;点M在棱BC上，且MC = 2MB ,AABC平面POM的距离.解析：在AB = BC = 2顷2, AC = 4,AB2 + BC2 =16 = AC2.. AABC为等腰直角三角形ZOCM = 45在 AOMC 中,MC = 2MB 得 MC =翠E OC2 + MC2 - OM 22OC - MC由余弦定理得cos45 =o...OM =号=岑由（1）知 PO ± WABC,OM u 面ABC. PO 1OMSAPOM=I' 2、"3 U =些SAOMC1 ,,,，一=—• \O^ - MC sin 452 1Mc - POM=匕-OMC得1 ,1c 7如OM * d = 3 SomC * d则点C到面POM得距离为455（三）具体问题题目1、测试题长方体ABCD - A1B1C1D1，底面为边长为2的正方形，高 cq=2•典，E为CC1的中点，则直线AC1上任意一点P平面 BED的距离为（ ）A. 2 B. C.典 D. 1答案：D2、变式题点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线BC1上运动判断:三棱锥A—D/C的体积是否 为定值 解析：是定值；VA—D1PC=VP—AD1C点P到面AD1C的距离，即为线BC1与面ADQ的 距离，为定值3、目标检测题在三棱柱ABC—A]B]C]中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1,底面三角 形A]B]C]是边长为1的正三角形，E是BC的中点，则点A到平面BCC B1的距离为答案: （四）思想方法指导1、 考察问题的指导明确高考试题主要是要求根据直观图中棱柱（锥）的线面位置关系和数量关 系，证明和求解其他数量关系，而解决此类问题的关键是从已知条件、几何 体的结构特征和线面、面面平行的判定定理、性质定理等寻找所需要的位置 关系和数量关系，。