第四章点群及其应用复习:4.1点群点群描写系统的宏观对称性； 平移对称操作与微观对称性、空间群正当转动点群及其非任意性（除球之外） 极点、极点星（〃，V ） 除单位元外，群的极点数满足2工匕(闿一l) = 2(g —1)7=11 < (1 ) + (1 ) + — (1 ) < 2g 叫 叫即 1<2-(—+ — + ••• + —)<21 m2 mA得到入二2或3组：两个极点星(n, 1)、(n, 1) ； Cn群 三个极点星(2, n)、 (2, n)、 (n, 2) ； Dn群(2, 6)、(3, 4)、(3, 4) ； T群(2, 12)、(3, 8)、 (4, 6) ； O群（2, 30）、（3, 20）、（5, 12） ； P群 第一类点群（正当转动点群），11个， 第二类点群（含有非正当转动点群）,21个 晶体点群共有32个准晶体，包含5度对称轴的点群； 新增加了5个晶系、28个准晶点群4.2晶体点群的对称操作及对称元素 晶体点群的对称操作：4种8个（1） c , （5个）n（2） 镜面反射（镜面反映）o（3） 中心反演I（4） 旋转反射（旋转反映）s （只有s独立）n 4对称操作之间的关系：（1） 同轴的两个转动（2） 两个镜面的连续操作〜转动（转角20 ）（3） （镜面）（转动0 ）〜镜面（夹角厅）（4） C C〜C （转角％ ,转轴）w丄几zz2v 2u w（5） 可对易的对称操作对称元素在对称操作下，不动的点、线（转轴）、面。
1） 对称元素之间的关系：71两镜面（夹角刃）之间的交线，必为一转轴;（镜面）+ （n度转轴）一共n个镜面；兀两个2度轴（“）〜垂直的n度轴；2度轴+与之垂直的n度轴一共n个2度轴2） 某些特殊的对称元素主轴等价轴、等价面双向轴（定义，两个判定）（3） 图示对称元素的方法（群的图示）极射投影图（无主轴） 作业：1.习题4.12. 图示上述6对可对易的对称操作3. 习题4. 3 4.3晶体点群4.3.1 32个晶体点群附：可能的正多面体，只有5种: ■ j面心立方晶体的布里渊区（形状为截角八面体）H体心立方晶体的布里渊区体心立方晶体布里渊区的形状名称?正十二面体？不是！形状称为菱形十二面体、或菱十二面体体心立方晶体的布里渊区，形状被称为 正十二面体的有：[11黄昆.固体物理学•人教,1979.2 黄昆，韩汝琦.固体物理学.高教，1988. [3]李冠告.晶体结构几何学基础.南开大学岀版社,2000. 110.正确的有：[1] 方俊鑫，陆栋.固体物理学（上册）. 上海科学技术出版社，1980. 235.[2] 顾秉林，王喜坤.固体物理学.清华大学出版社,1989. 62〜63. 4.3.2 32个点群的符号及所属晶系 点群的符号：熊夫利符号国际符号晶系：七类对称性、七种单胞坐标系 4.4点群的特征标表阿贝尔群的特征标表有16个点群是阿贝尔群 Cn、Cnh、S2m、C2V、D2、D2h阿贝尔群：C = g,所有g个不可约表示都是1维的。
每个不可约表示是一组数； 这组数也就是该表示的特征标系其中循环群有9个：Cn、C]h、^2m不仅c = g,而且群元的阶二g, Rg = E.对于循环群群元的阶二g,第/个不可约表示为严A = e•、 E = A8 =12兀 id兀即 A = e - > A2 =e ■、…、E = Ag =\i—2 z2—2A = e 、 A2 =e "2兀 =2龙…、E = Ag =\i—g 0 i2——gA = e 、A =e “例如：(1) C2={c2, E}群：A = e 2i— i2—即 c2=e 2 =-l A E = e 2 = i込(2) C4={c4,C42,C43,E}群：A =i警.q i2 毎 _ i3— z4—c4=e 4 =i =e 4 =_］、= 4 = -z E = e 4 =1e^2 = 1、fi1 = 一1、E = = i/2—3 ：舟3 Z4—3e 4 =一1、土=幺 4 = i、E = e 4 = 1已3c4=e 4 =—i、满足矩阵元的正交归一、完全性关系;满足特征标的正交归一、完全性关系对于一般的阿贝尔群各群元的阶都是一个有限的整数，记为h,2兀i即 Ah =1, A = e h （注意力＜g二厂） 利用特征标的正交归一、完全性关系，适当 地排列各群元的这些h个数。
例如：C2h={E, c2, 1}各群元的阶都是2,特征标均为1或-lo 按照特征标的正交归一、完全性关系，得到E c2 61 1111111-1-11 -1 -1 11-11-1点群的特征标表1、记号说明：一维：A （主轴转动的Z = D和B二维：E三维：T下脚标g （反演对称）和u （反演反对称）. 例如：C2h2、 基函数的变换性质例如:r 2h、C2V3、 时间反演对称性及其简并 例如：c44.5双点群 对于点群G = { E , A, •:R,・・・}（称为单群） 对应的双点群为G={巨,A,・・・，R,・・・，兹，EA,…，ER,-}={E,A,・・・，R,・・・，E,入，…，臣,…}简介：群表C?类:重新分类特征标表：同态，附加表示4.6晶体的宏观性质与晶体的对称性。