解题化归论引例水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面ABCD时的ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分） 若带子宽度为 1，水管直径为2，则的余弦值为解题化归论认为，解数学题的过程，就是将未知的数学问题转化为已经解决问题的过程这是一种关于解题的很流行的观点， 笛卡儿（公元 15961650）在指导思维的法则一书提出的“通用方法”有化归思想的明确表达：第一步，将所论的问题化归为数学问题（数学化）；第二步，将数学问题化归为代数问题（代数化）；第三步，将代数问题化归为方程的求解（计算化）虽然这种方法不是万能的，但所体现的化归思想确实是非常有价值的比如，二次方程就是化归为一次方程方程来解决的，二元方程就是化归为一元方程方程来解决的，四边形内角和就是化归三角形内角和来解决的（上面多次提到化归）波利亚（公元1889-1985）的怎样解题一书体现了解题化归论，波利亚的著作运用化归思想十分熟练、实施化归途径非常丰富（当然波利亚的解题思想不仅仅是化归）1 波利亚的怎样解题表乔治 波利亚（ George Polya 18871985）是美籍匈牙利数学家、 数学教育家在解题方面，是数学启发法 (指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法 )现代研究的先躯 作为一个数学家，波利亚在众多数学分支多有建树作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在怎样解题 (1945年)、 数学与似真推理(1954 年)、 数学的发现 (1962 年)三部世界名著上， 涉及 “ 解题理论 ” 、“ 解题教学 ” 、“ 教师培训 ”三个领域波利亚的著作把传统的单纯解题发展为通过解题获得新知识和新技能的学习过程，他的目标不是找出可以机械地用于解决一切问题的“ 万能方法 ” ，而是希望通过对于解题过程的深入分析，特别是由已有的成功实践，总结出一般的方法或模式，使得在以后的解题中可以起到启发的作用波利亚对数学解题理论的建设主要是通过风靡世界的“ 怎样解题表 ” 来实现的 （在尔后的著作中有所发展），围绕着“ 怎样解题 ” 、“ 怎样学会解题 ” 波利亚将种种想法设计在一张解题表中，并通过一系列的问句或建议表达出来，被人们称为是一部 “ 启发法小词典 ” 1-1 怎样解题表第一， 你必须弄清问题弄清问题未知是什么 ?已知是什么 ?条件是什么 ?满足条件是否可能 ?要确定未知，条件是否充分?或者它是否不充分 ?或者是多余的 ?或者是矛盾的 ? 画张图，引入适当的符号把条件的各个部分分开你能否把它们写下来? 第二， 找出已知数与未知数之间的联系如 果 找 不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题你 应 该 最终得出一个求解的计划拟定计划你以前见过它吗 ?你是否见过相同的问题而形式稍有不同? 你是否知道与此有关的问题?你是否知道一个可能用得上的定理? 看着未知数，试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题你能不能利用它?你能利用它的结果吗?你能利用它的方法吗?为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素? 你能不能重新叙述这个问题?你能不能用不同的方法重新叙述它? 回到定义去如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个更普遍的问题?一个更特殊的问题 ?一个类比的问题 ?你能否解决这个问题的一部分 ?仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分这样对于未知数能确定到什么程度?它会怎样变化 ?你能不能从已知数据导出某些有用的东西 ?你能不能想出适合于确定未知数的其他数据?如果需要的话，你能不能改变未知数或数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近? 你是否利用了所有的已知数据?你是否利用了整个条件 ?你是否考虑了包含在问题中的必要的概念? 第 三，实行你的计划实现计划实现你的求解计划，检验每一步骤你能否清楚地看出这一步骤是正确的?你能否证明这一步骤是正确的 ? 第 四，验算 所 得 到 的解回顾你能否检验这个论证?你能否用别的方法导出这个结果?你能不能一下子看出它来 ? 你能不能把这一结果或方法用于其他的问题? 2 解题表的实践例 1 数学的发现 （第二卷 P.84 10.2 ）的例子，引自波利亚的原文 （能够展示波利亚解题风格的心路历程，娓娓道来，栩栩如生 ）我要冒昧地向读者谈一个小小的经验我将叙述一个简单又不太平常的几何定理，并把一系列引导到它的证明的想法重新整理出来我将慢慢地，非常缓慢地去作，逐个地，一个接一个地把线索揭示出来我想在我讲完整个情节之前，读者就会抓住主要想法了（除非有什么特殊情形）但是这个主要想法比较出人意外，所以读者在这里可以体验到一个小小发现的喜悦例 1-1如果 3 个有相同半径的圆过一点，则通过它们的另外 3 个交点的圆具有相同的半径1927 年匈牙利竞赛题，Royer johnson 定理 这是我们要证的定理它的叙述简短而明确，但是没有把细节充分清晰地表达出来如果我们作一图（图1） ，并且引进适当的符号，便得到下列更明确的复述：图 1 图 2 例 1-2 3 个圆, ,k l m具有相同的半径r， 并通过同一点O 此外，l和m相交于点A，m和k相交于点B，k和l相交于点C则通过,A B C的圆e的半径也是r图 1 画出了 4 个圆, ,k l m和e以及它们的4 个交点,A B C和O这个图画的不甚圆满，它既不简练，也不完全；有些东西好像漏掉了；某些本质性的东西似乎没有画进去我们处理的是圆，圆是什么？圆由中心和半径确定，它所有的点到中心的距离都等于半径的长我们在图上看不到这个共同的半径r，这样我们就没有把假设中的一个基本部分考虑进来因此让我们引进各圆的中心，k的圆心K，l的圆心L和m的圆心M我们应当在哪儿画出半径r呢？我们似乎没有理由把3 个给定圆,k l和m中任一个及3 个交点,A B和C中任一个放在优于其他圆及点的地位上，于是我们就把3 个圆的中心分别与3 个交点联结起来：K联结,B C和O，等等结果得到是一张拥挤的图（图 2） 这里面有这么多的线段和弧，使得我们很不便于去“观察”它，所以这张图“还是站不住脚”它有点像老式杂志上的某些画面，这种画有不止一种效果， 如果你按通常的方式去看它，它是一个图像，可是如果你转到另一个位置再换一种特殊方式去看它，那么另一个图像就会突然闪现在你面前，并对第一个图像发表某些诙谐的评论你能从我们这张塞满了直线段和圆的图中看出有第二种含意的图象吗？双关图我们也许会一下子看出隐藏在塞满了的画面里的真正图形，也可能是逐渐地把它认了出来我们可能是在努力解题的过程中，也可能是在一些次要的、非实质性的机会中达到了它比如当我们想去重画一下我们的不圆满图形时，我们也许会注意到整个图形是由它的直线形部分确定的（图 3）注意到这一点看来是重要的，因为它确实把几何图形简化了，而且还可能改进了它的逻辑状况它使我们能把定理复述为下列形式例 1-3如果 9 条线段,KOKCKBLCLOLAMBMAMO都等于r，则必存在一点E，使得下列3 条线段图 3 ,EAEBEC都等于r定理的这种叙述法把我们的注意力引向图3 ，这个图形是有吸引力的，它使我们想起一些熟悉的东西 （想起什么？）当然，在图 3 中，由假设， 某些四边形如OLAM的四条边相等，它们是菱形，菱形是我们熟悉的对象，认出它之后，我们就能更好地“观察”这个图形了（整个图形使我们想起什么？）菱形的对边是平行的，依据这一点，我们就能把图3 中的 9 条线段分成3 类，同一类中的线段譬如像,AL MO和BK是彼此平行的（现在这个图形使我们想起什么？）我们不应该把我们要去求的结论忘掉了让我们假定这个结论是对的， 在图中引进圆e的中心E，和以,A B C为端点的 3条半径，我们就得到了（假设的）更多的菱形，更多的平行线段，见图4 （现在整个图形使我们想起什么？） 图 4 当然，图4 是平行六面体12 条棱的一个投影图形，它的特殊性在于所有的棱的投影长度都相等因此，图 3 是一个“不透明的”平行六面体的投影，我们只看到了它的3 个面， 7 个顶点和 9 条棱，还有 3 个面， 1个顶点和 3 条棱在这个图中看不出来，所以图3 只是图 4 的一部分，但是这一部分就决定了整个图形如果这个平行六面体和投影方向是选择使得9 条棱的投影如图3 所示那样都等于r（根据假设它们应该这样），那么剩下的3 条棱的投影也一定等于r这 3 条长为r的线是由看不见的第8 个顶点的投影出发的，而这个顶点的投影E就是通过点,A B和C半径为r的圆的中心这样，我们就证明了定理这个证明意外地用了一个美术家的概念，把平面图形看做是立体的一个投影（这个证明用了立体几何的概念我希望这样做没什么大错误，即使有错也容易纠正现在我们可以很简单地把中心E的位置定下来，而且很容易不依赖任何立体几何的知识去检查EA，EB和EC的长度不过这里我们不再这样做了！） （引文完）例 2一道水管缠绕题的教学分析题目水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部若要使带子全部包住管道且不重叠（不考虑管道两端的情况），需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图5 中所示的平面ABCD时的ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分） 若带子宽度为 1，水管直径为2，则的余弦值为（2010浙江绍兴中考第 16 题，曾作高考模拟题）图 5讲解 : 这是一个对初中生难度很大的问题，据测试300人中只有9 人做对，（我们让初中教师做，成功率也很低有人怀疑超纲）我们想作为解题教学的示例讲解如下第一、理解题意就是弄清条件是什么？结论是什么？条件与结论有什么初步联系？（1）条件是什么？一共有几个？其数学含义如何？条件有四个：以水管及附图为载体给出一个圆柱圆柱的所有性质便可视为已知圆柱（水管）的底面直径为2底面及水平截面圆的周长、面积等便可视为已知以带子缠绕管道为载体给出圆柱侧面的一个斜长条图形覆盖，斜长条图形展平时底边与母线的夹角为带子宽度为1 即两平行线间的距离为 1，但应在什么地方出现带子宽度呢？（2）结论是什么？一共有几个？其数学含义如何？结论一个，求角的余弦值按定义，在直角三角形中，cos邻边斜边但直角三角形及邻边、斜边都没有明显给出（3）条件与结论有什么初步联系？结论所需要的直角三角形应该在条件的斜长条图形的展开图中而为了得出展开图需要用到条件中圆柱的性质，结合本例有，圆柱的母线与底面垂直；圆柱侧面沿母线剪开的展开图为矩形为了找出结论所需要的直角三角形，从条件、中找出提供直角的两处机会，其一是“圆柱的母线垂直于底面”，其二是“带子宽度为1”，宽度即两平行线间的距离，有垂直的含义为了找出计算余弦值所需要的的“邻边、斜边”，我们关注条件 、，由“底面直径为2”知， 圆柱的底面周长为2；由“带子宽度为1”知 A 到 BC 的距离为 1条件与结论的更深入联系由“思路探求”去完成第二、思路探求为了求角的余弦值，我们要去找所在的直角三角形为了找直角三角形，我们把缠绕一圈的带子展开，这时出现一个平行四边形ABCD和角，但还没有出现直角三角形为了出现直角三角形，我们作辅助线AC，AHBC， 有2AC，1AH，ABAC，得出三个直角三角形：,Rt BAC Rt ABH RtAHC图 6 由于RtAHC有两条已知边，每个锐角的余弦都可求，由“同角的余角相等”知，CAHB=于是思路是通的第三、书写解法解 设带子的一圈C与A重合、CD与AB共线，则缠绕一圈的带子展开后为平行四边形（图6） ，作对角线AC及BC边上的高AH，则ACAB，由ABCHAC有1cos2ABAHBCAC第四、反思回顾（1）整个问题解决的关键是将图2 中缠绕一圈的带子展开（如图 3） ，把空间问题化归为平面几何中解直角三角形的问题，有三个化归：化归 1 把一个实际问题转化为一个数学问题（需要空间想象能力）化归2把一个空间问题转化为平面问题（平行四边形） （需要构造性思维能力）化归 3把一个平面问。