第9期 张小明：例谈局部调整法在不等式证明中的应用 ·37· 例谈局部调整法在不等式证明中的应用 ●张小明 (海宁市高级中学浙江海宁314400) 在中学数学竞赛中，局部调整法(又称磨光法)是证明不等式常用的手段与技巧．理论上其逐步逼近 目标，直至最后彻底解决问题，实际上它主要可以表示成如下定理1～4．本文选用一些常见的数学竞赛题 和网络流行题为例，说明局部调整法的作用． 定理1设凡∈N， ≥2，1c_(一∞，+∞)是一区间，若对于任意的 ， ，…， ∈，，凡元连续对称函数 满足 ， z， ，，…， )≥(≤) 贝U厂( ， ：，…， )≥(≤) A，A，…，A)，其中A= 足 1+ 2戈1+ 2 2 ’ 2 、 ’ 3'…' nl， ± 为它们的算术平均． —— 匕 llJH 畀个1- · 定理2设凡∈N，n≥2，， (0，-I-∞)是一区间， n 若对于任意的 ， ，…， ∈，，n元连续对称函数 满 1， 2， 3，…， )≥(≤) 贝0 ， ：，…， )≥(≤)-厂(G，G，…，G)， ， ， …， )， 其中G= 它们的几何平均． 称定理1为“和调整”(可参考文献[1])，定理2为“积调整”． 1任意2个自变量之间的调整 (算术一几何平均基本不等式)已知 ≥2， ∈N， 1>0(i=1，2，…，n)，求证： 令 1， 2，…， )= 厂( ， ：， s，…， )≥ l+ 2+…"4- n 1+ 2+…-I- n 1+ 2 1+ 2 2 ’ 2 ，则 √ 1 2… ，JJ{U ， ，，…， 1甘 ， 姜__ + 芸 + 3+…-I-Xn — 十— 十 3十… n ≥ ( 由定理 1，知 ， ，…， )≥ ^(A，A，…，A)，即 例2在AABC中，求证： 1+ 2+…+ n 凡 ∑sin ncc。
s ≤ ， 证明 设 A，B，c)=∑sinBsincc A，则 ≥ 9√3 8 1+ 2+…-I- n r—————————————————————————————————一 ／ ． … 甘2 2 一 一 ’ f(a，B，c)= 1 cs A[cs(B—c)+cs( +c)]+2sinAcs导(sin导+sin )= s(… 0s(…)]+2si卟s …s孚)sin cos = ≥ 一 S ∞ 一2 ·38· 中学教研(数学) 2014盘 丢cs( —c)+ 1 cs( +c)+2si cs拿 sin cs + 2si s sin cos ， 从而 B’C)一 B丁+C， )--c1s s(¨)_1]+2si s sin (cos 由定理 2sinAsin (cos cos 一-) 1，知 A，B，C)≤ 6O) 9 例3设口>求证：(丢)(6+古)(c+÷)≥( + ． 证明因为(口+ )(6+ )≥( + ) 甘詈+ b≥2，所以由定理2，知 (丢)(6+寺)(c+÷)≥( + 2 2个特定自变量之间的调整 2．1 在最大值与最小值之间的调整 定理3设17,∈N，17,>12，IC_(一∞，+∞) ≥ 时，I'L元连续对称函数 满足 则 1 、 。
一t)+ 是一区间，若对于任意的 1， 2，…， E，，当 1≥ 2≥…≥ )≥(≤) 一， 1+ n、 丁J’ ， ，…， )≥(≤ A，A，…，A)，其中A= 为它们的算术平均． 定理4设 ∈N，凡≥2，IC_(0，+∞)是一区间， 1， 2，…， ∈，，当 1≥戈2≥…≥ 一1≥ 时，n元连 续对称函数／满足 ．( l， 2，…， 一l， )≥(≤) ， …， )， ~Uf(x ， ：，…， )≥(≤ G，G，…，G)，其中G= ： 它们的几何平均． 则 例4设a1，口2，…，a 均为正数 ，a1口2…a =1，求证： 1 1 l ——+——+…+——+ n 口1 a2 0n a1+a2+…+an 证明 由对称性不妨设a≥ ≥…≥0 ，且设 n1，a2，…，an) a1，口2，…，a )-／( ， …，0 1 l ——·I-———— 口1 口R ，' —_====十一 Ja1ah口1 l +——+ 0 ~／口l口 )： 凡 +口 + ≥n+1． 口1+口2+…+an n —n一1． …+0n 2 +2+…+口 一1 二 竺! ± ± ±：：：± 二 ! ≥ aln (ol+n2+…+n )(2~／01D +口2+…+0 一1) 二 竺 二 ± 二 二 !> alan(a1+a2+…+nn)(2~／口1n +口2+…+口 一1) ( 一 ) (n [2 +( 一2)a 】 一nala ) 01口 (口1+02+…+an)(2 +口2+…+。
一1) i>0． + ●一 + 一 = 第9期 张小明：例谈局部调整法在不等式证明中的应用 ·39· 由定理3，知 0 ，o ，…，口 ) 1，1，…，1)：0，即证． 与例4和练习题2相关的结果可参见文献[2]． 2．2 自变量最小(大)值不参与的调整 例5 设0>0，b>0，c>0，求证：n+6+c+3 ≥2( + + )． 证明 设口≤6≤c 口，6，c)=n…b c+3 一2( + + )，则 口，6，c)一 0， ， )=6+c一2 一2 ( + 一2 )= ( 一 ) 【( + ) 一2同≥( 一 ) (4 一2 Jh-)>0． -F~f(口， ， )>10．若设t=J~->a，只要证口+3 3 a,／~一4 J~／1>o．令上=s ≥1，s≥1，则1+ 3s 一4s ≥0，即(s一1) (3s +2s+1)I>0，至此知待证式成立． 侈4 6设x1>O，y1>O，z1>O，t1>O， +y+ +t=4，求证： (1+3x)(1+3y)(1+3z)(1+3t)≤130+126xyzt． 证明 不妨设x>Iz>ly>It ，y,z，t)=130+126xyzt一(1+3 )(1+3y)(1+3z)(1+3￡)．此时 +t≤ 2，zt≤1，从而 f(x,y ， 叫 6xyzt 6( )‘zt一 【(1+3x)(1+3y)一(1+3． )(1+3． )】(1+3z)(1+3t)= 三[9+27( + )一45zt]≥ [9+54 一45荔]i>0． 由定理3，调整4个自变量中的最大值、第二大值和第三大值，直至它们的平均，此时可令 ：y： ：4-} 下证 ， ， ， ，即 l3o+126(孚)3t一( 3· ) (1+3t)≥o铮15—4￡一42“36 5t4≥o甘(1 (15+26 t2)地 上式对于00，cI>0，口+6+C=1，求证：(1一n ) +(1—6 ) +(1一C ) ≥2． 证明设 0，6，c)=(1一口 ) +(1—6 ) +(1一c ) ．先证，(口，6，c) 0，口+6，c)，其等价于 (1一口 ) +(1一b ) +(1一c ) ≥(1—0) +[1一(口+6) ] +(1一c ) ， 即 1≥口 + 3口6+6 ． ． 由1=(口+b+c) ≥(口+6) =口 +2ab+b 知上式为真．此时 0，6，c)≥厂(0，口+6，c)= c，口+6，0)≥ 0，0+6+c,0)=2，即证． 例8已知正实数 1， 2，…， ，满足 1戈2… =1，求证： 1 1 1 T + T 一+ T ≤ ’ ·40· 中学教研(数学) (1999年罗马尼亚数学奥林匹克国家队试题) 证明 先证如下的结论(1)和结论(2)，此处略． (1)若 ≥n一1 y≥n一1，贝0 1 1 1 1 丁 + T ≤ T 十_—■ 甘 n叫十 ———二— _i 二 { } 丢==1_。
丽[xy2n 2 1 xy 1 1 Y 一( 一-) ]≥． ( 一 )[(n一 ) + ]( 一 + )(n一 + ) ， (2)若 ≤n一1，)，≤n一1，贝0 +南≤ _1) ． + ≤ ≤( )‘· 设A={ >／7,一1}和B={ ≤ 一1}．若集合A是空集，则由结论(2)知， ：，…， 都可以逐 步两两调整到它们的几何平均1，结论为显然．若集合A不是空集，不妨设A={ …， }，由结论(1) 知，可以把它们调整到t一1个n—l和1个 ，前者都并入集合B中，此时A的元素为1个，B中的 I n—l J 元素为 一1个，可以继续调整到它们的几何平均． 至此，只要证 ，_1，…，一1，sn一 的情形，其中sn-1>n一1，即只要证 + -(，卜1)S+n--2≥O， ，‘一J T S 由于易证最后一式的左边关于s单调且能在s=1时等号成立，即证． 关于局部调整法，还有微分判别准则，具体可见文献[3]． 4练习题 ·．设口，6，c，d为正数，口+6+c+ =t，求证：(n+ )(6+ )(c+÷)(d+ )≥( ) ． 2．设·，口：，…，口 >0~la2．．．an--1求证：1口 + 1+…+ + ≥凡+2．(提示：采取自变 量的最大值不参与的积调整，其结果强于例4．) 3． AABC中，求证： + + ≥÷．(提示：最小内角不参与的和调整，证明过程 可参考例2．) (2005年全国高中数学联赛试题) (在成文过程中，得到“局部调整法”研究专家石世昌先生的帮助。
在此表示衷 感谢!) 参考文献 [1] 赵德钧．关于求多元对称函数极值的一个磨flL~[J]．数学通报，1998(12)：31-32． [2] 杨学枝．数学奥林匹克不等式研究[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009：330-331． [3] 张小明，褚玉明．解析不等式新论[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009：217 259． 。