- 1 - 第一章第一章 绪论绪论 第二章第二章 函数函数 第一节第一节 函数概念函数概念 2222 222222 1. (1); ,,;. ,,22,()() ; . xyxy x yx yxyx yxy xxyyxx yyxxyyxyxy xyxy ? 证明下列不等式： 证明：对于总有于是 又由于那么即 开方后即得 1212 22 22 1212 12 12 (2).; .,,,22; 2 .1, nn kk k xxxxxx ix yx yxyxx yyxxyy xyxyn iinkxxxxxx iiinkyxxx xx ? 证明：使用数学归纳法； 对于总有于是有 整理后可得，即当时所证成立 假设当时所证不等式也成立，即 当时,取于是有： 11 1 121 121 1 kkk k kk kk xxyx yx xxxx xxxx nk 即当时所证不等式也成立。
那么由数学归纳法可知题证成立 1212 1212 1212 121 (3).(). ,,; , ( nn nn nn n xxxxxxxx x yxyxy xxxxxxxx xxxxxx xxxxxx ? 证明：易知对于总有于是可得 又由于因此 2 ). n xx - 2 - 2 111 ( ),( ) 1 ()(); 11 2(1)(1) , 1(1)(1)11 abab abab x f xf x x abababf abf abab ababab ababab abababbaab ababbaab 求证 证明：令易知是一个增函数 容易证得,那么即 由于因此 2 . 11111 abababababab abababababab 3.max( , );min( , ). 2222 .max( , ); 2222 max( , ). 2222 .min( , ); 2222 abababab a ba b abababab iabaa b abababba abba b abababab iiabba b ab 求证： 证明： 当时 当时 当时 当min( , ). 2222 max( , ),min( , ) 2222 abababba aa b abababab a ba b 时 于是有成立。
4.( ), sin , sin ( ). 2 (0,180 ). abs ahb ab s 已知三角形的两条边分别为 和 ，它们之间的夹角为 ，试求此三角形的面积并 求其定义域 解：由题意可知在三角形中以边 为底的高于是有 显然在三角形中其中一角 2 2 2 23 5. ,; 4 4 (0, r h hRr VR h hrh h 在半径为 得瑟球内嵌入一内接圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并求此函数 的定义域 解：设其高为那么圆柱的底面半径为于是圆柱体积 由于圆柱为球的内接圆柱，故有2 ).r - 3 - 6.20,5(5)1 515(15)225 1 (0,5] ( )2 (5,15] 2. KmKmKm KmKmKm yx x y xx 某公交车路线全长为票价规定如下：乘坐以下 包含者收费 元；超过 但在以下 包含者收费 元；其余收费 元 角试将票价表示成路线的 函数，并作出函数的图像 解：设 为票价, 为路程,则有 . 5 (15,20]x 它的函数图像如下： 画图板作图 7.( ), (0)0,(10)20,(20)0,( )(020), 2 [0,10] ( ) 402 (10,20] tf t ffff tt tt f t tt 一脉冲发生器产生一个三角波，若记它随时间 的变化规律为且三个角分别对应关 系求并作出函数的图形。
解：由题意可知所求函数为： 其函数图像为： -10102030 5 10 15 20 25 30 Mathematica 作图 - 4 - 2 4 2 2 8. (1). ( )1 2 (2) ( )sin (3) ( ) (4) ( x x f xx f xxx f xx e f x 判断下列函数的奇偶性： 偶函数； 奇函数； 偶函数； 2 )lg(1) xx非奇非偶函数 2 22 2222 2 9. (1). ( )cos; ( )()( ),coscos() , 2()2. 22 f xx tf xf xtf xxxt xkxtxtxt ktxt 判断下列函数是否是周期函数，若是，试求其周期： 解：设 是的最小正周期，则应有即可得 即求方程的解，显然没有一个非零常数满足方程故原函数没有周期 (2) ( )cos2sin; 23 cos4sin6 23 12 . xx f x xx 解：由于的最小正周期为，的最小正周期为，取它们的最小公倍数。
即原函数的最小正周期为 (3). ( )cos; 4 2 8. 4 (4). ( )tan . tan. f xx T f xx x 解：由三角函数的性质可以知道此函数的最小正周期为 解：由于函数的最小正周期为 ，故此函数的最小正周期也是 2 2 2 2 2 10.( )(,) 1 6,(,)( )6. 6660 1 ( 1)1441430, (,)( )6( )(,) 1 x f x x Mxf xM x xx x x xf xMf x x 证明：在有界 证明：取现证明对，都有 即要证明恒成立，这等价于不等式恒成立；而此一元二项式的判 别式于是不等式恒成立 因此对于，都有；即在有界 - 5 - 2 0 0 2 1 11.( )( , )( )(0,1) 0,( , ),( ),( )( , ) 1 0,(0,1), 1 ()1. 1 ( )(0,1) f xa bf x x Mxa bf xMf xa b Mx M f xMM f x x 用肯定语气叙述函数在无界，并证明在内无界。
解：对于总使得则在区间内无界 对任意取显然有 故在上无界 12. .( )( )( )(), ( )(). ( )( ) ( )() ()(). .( )( if xg xf xfx g xgx F xf x g xfx gxFx iif xg x 试证明两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是奇函数，一个奇函数和一 个偶函数的乘积是奇函数 证明： 设与是两个偶函数，即有那么必有 于是两个偶函数的乘积是偶函数 设与)( )(), ( )(). ( )( ) ( )()[()](). .( )( )( )(), ( )(). f xfx g xgx G xf x g xfxgxGx iiif xg xf xfx g xgx 是两个奇函数，即有那么必有 于是两个偶函数的乘积是偶函数 设是一个偶函数，而是一个奇函数，即有那么必 有 ( )( ) ( )()[()]().H xf x g xfxgxHx 因此一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数 13.( )(,)( ) ( ),( )( )()( )( )() ( )( ) ( ). 2 ( )( ) 22 f xf x f xG xf xfxF xf xfx G xF x f x G xF x 设为定义在上的任意函数，证明可以分解为奇函数与偶函数的和。
证明：对任意的可以证明是偶函数，而是奇 函数；于是有 显然还是偶函数，还是奇函数，即得所证 000 1212 00 0 14.(,) (1) ( ) (2) ( ) (3) ( ) (4) ( ) (1)(,)()(); (2)(,)()(); (3)(,)()0; (4)0,(, f x f x f x f x xf xf x xxf xf x xf x Mx 用肯定语气叙述：在上 不是奇函数； 不是单调上升函数； 无零点； 无上界 解： 存在，使得 存在，使得 对任意，总有 对任意的总有 0 ),().f xM使得 - 6 - 第二节第二节 复合函数与反函数复合函数与反函数 1 1.( ),( ( )). 1 111 1 1( )2 11 ( ( )). 111 1( )2 1 11 x f xf f xx x xxx f xx xx f f xx xxx f x xx 设求证 证明：得证 2 2 2 2 2. 11 (1)(),1; 2 11 ()1(1,). 2 11 () 2 244 1; 2 (1,),1. ( )1,(1,). yxx x yxxy x yx x yy xyy xxyy f xxxx 求下列的函数的反函数及其定义域： 解：函数，当时，有 由可以反解出 因为故 于是原函数的反函数为 2 22 1 (2)(),; 2 1 (,)(,);() 2 210 1,01 xx xx xx xxx yeex xyyee eye eyyeeyy 解：当时，可以解出由可以整理出 ； 于是可得解得由于恒成立，于是有，即 2 2 ln(1). ( )ln(1),(,). xyy f xxxx 因此原函数的反函数为 2 2 1 (3) 14. 2 4 1, 1 14, 116, log 4, 16 x xx yxx x yxy xyxy yxy 解：依次可以解得于是所求反函数为 2 1 116. log 16 xx yxx xx - 7 - 121212 121122 3.( ), ( )( ( )) ( ), ( );,()(), ()(). ( ),,()(), f x g xf g x f x g xxxf xf xg xg x yg xxxyg xg xy ? ? 设为实轴上单调函数，求证也是实轴上的单调函数。
证明：不妨设的单调上升函数 即对总有 设于是对任意总有于是有 12 。