College of Automatic Control Engineering , CUIT,第八章 频率响应法 Frequency Response Method,本章主要内容： 频率响应的概念及频率响应图 绘制Bode图的一般方法 频域性能指标 对数幅相图 Matlab 绘制频率响应图 设计实例,教学目标： 深刻理解频率响应的概念及在系统分析设计中的作用 熟练掌握频率响应图的手工绘制方法和计算机绘制方法 充分理解频域性能指标及其计算，频域指标与时域响应的关系 具备利用频率响应法设计控制器满足指标要求的能力,参阅教材第8章，P345--386,College of Automatic Control Engineering , CUIT,8.1 频率响应及频率响应图,前面各章采用了基于复数域变量s 传递函数描述控制系统，并用系统极、零点在s平面的位置分布来分析系统响应，设计系统参数本章及后续章介绍另一种系统分析与设计方法----频率响应法一、线性系统的频率响应,在前面基于s域方法中，系统的测试信号采用阶跃、斜坡等，讨论在这些信号激励下系统动态与稳态响应情况频率响应法采用正弦测试信号，研究系统在它激励下的稳态响应。
对线性定常系统，当输入是正弦信号时，其稳态输出也是同频率的正弦信号而且，相对于输入信号，输出只是幅值与相位的变化，这种变化是频率的函数造成输出的幅值与相位随频率变化的根本原因就是系统性能，这就是频率法分析设计系统的理论依据1. 频率响应的定义,系统的频率响应定义为：系统对正弦输入信号的稳态响应，具体用系统输出与输入的幅值比和相位差随频率的变化关系表示College of Automatic Control Engineering , CUIT,幅频响应,相频响应,例如：图示RC电路,由相量分析法得相量比：,对一般系统,其中,输入为,其拉氏变换,College of Automatic Control Engineering , CUIT,假设pi为互不相同的极点对Y(s)部分分式展开有,取反拉普拉斯变换得,则在稳态时，输出y(t)将为：,由于pi都有负实部，稳态时指数项均趋于0当输入为正弦信号时，对于特定的频率，系统稳态输出信号的幅值和相位完全依赖于T(j)系统的频率响应就是T(j)在已知系统传递函数时，只要用j替换复变量s 即可直接得到系统频率响应函数College of Automatic Control Engineering , CUIT,2. 拉氏变换、傅立叶变换、传递函数、频率特性的关系,拉氏变换对,傅立叶变换对,传递函数,频率特性,,,由拉氏变换可以可以导出系统的传递函数，基于拉氏变换的s平面方法侧重于分析系统的极、零点分布； 由傅立叶变换可以导出系统频率特性，基于傅氏变换的频率响应法则重点研究系统的幅频和相频特性。
College of Automatic Control Engineering , CUIT,二、频率响应的图形表达,系统频率响应特性在每个频率点都是复数，复数常表示为直角坐标和极坐标形式频率响应特性通常也在直角坐标系和极坐标系中绘制其曲线---频率响应图1. 极坐标图幅相图（Nyquist图）,频率特性函数：,例如，RC电路,College of Automatic Control Engineering , CUIT,绘制方法： 计算若干特殊点频率特性，以光滑曲线连接或者,College of Automatic Control Engineering , CUIT,例1.某系统的极坐标图,幅值和相位分别为,计算特殊点的值,College of Automatic Control Engineering , CUIT,2. 对数坐标图Bode图,系统频率特性函数为,在对数坐标中，通常用以10为底的对数表示频率响应的幅值，即,对数幅值增益,单位为分贝（dB）,当 时，对数增益为,称为转折频率或转角频率College of Automatic Control Engineering , CUIT,Bode图手工近似绘制,对数幅值增益为,在低频段，即 ，对数增益为,在高频段，即 ，对数增益为,水平轴选为,幅值特性变为一条直线,直线斜率为-20dB/十倍频率,均匀刻度,十倍频率刻度,近似幅值特性，精确特性的渐近线,College of Automatic Control Engineering , CUIT,3. 基本因子项的频率特性图,频率特性函数的一般形式：,它的对数幅值为,它的相角为,特点：无论幅值还是相角，都是各因子项幅值和相位的代数和。
College of Automatic Control Engineering , CUIT,构成系统频率特性函数的基本因子项包括：,常数增益项 Kb; 原点处的极点或零点项 j; 实轴上的极点或零点项 j+1; 共轭复极点或复零点项,放大环节 比例环节,积分环节 微分环节,惯性环节 比例微分环节,二阶环节,（a) 常数增益,对数幅频增益为,常数 dB,相角为,在Bode图上幅频曲线为平行于横轴的水平线b) 在原点处的极点（或零点）,极点的对数幅频为,相角为,相频曲线为平行与横轴的直线,在原点处的一重零点的对数幅值为,相角为,College of Automatic Control Engineering , CUIT,,都要过（1，0）点,极坐标图,College of Automatic Control Engineering , CUIT,（c) 在实轴上的极点或零点,实轴上的极点，其对数幅频为,实际对数增益为 实轴上的零点，其对数幅频为,实际对数增益为 College of Automatic Control Engineering , CUIT,Bode图与此图相比，无论幅频还是相频都关于横轴对称。
College of Automatic Control Engineering , CUIT,极坐标图,College of Automatic Control Engineering , CUIT,（d) 共轭复极点或零点,一般情况下，共轭复极点对的二次因子可以写为,共轭复极点对的对数幅值为,相角为,相角趋于0度,相角趋于,在不考虑影响时，两幅频渐近线相交于u=1(=n)处College of Automatic Control Engineering , CUIT,College of Automatic Control Engineering , CUIT,College of Automatic Control Engineering , CUIT,需要讨论的问题是：u=1 附近对幅频和相频特性的影响由幅频特性曲线可以看出： 在u=/n=1附近，用渐近线近似误差较大； 近似误差与有关，且<0.707时误差明显增大，不可忽视； 当<0.707，在u=1附近幅频特性有极值（最大值）在<0.707，对幅频关于u求极值幅值|G()|的最大值--谐振峰值为,幅频取得极大值的频率称为系统谐振频率，用r表示：,当趋近于0时， 谐振频率r 趋近固有频率n。
College of Automatic Control Engineering , CUIT,由前面几章分析知：系统的固有频率n、阻尼与系统性能指标密切相关，在频率特性中，谐振频率r、谐振峰值Mp与n、有关 表明，系统性能指标将与谐振频率、谐振峰值相关谐振频率r、谐振峰值Mp与n、关系曲线,通过此曲线可以方便查出在获得系统谐振频率r、谐振峰值Mp时，系统主导极点的n和College of Automatic Control Engineering , CUIT,8.2 频率响应图的绘制,在建立频率响应概念和获得基本环节频率响应曲线特征及绘制方法后，本节介绍系统频率响应图的手工绘制方法和利用Matlab绘制方法一、极坐标图绘制----Nyquist曲线绘制,3）根据A()和()确定变化趋势，画出Nyquist图的大致形状绘制步骤：三个要素,2）补充必要的特征点(如：与实轴或虚轴的交点)：,若存在渐近线则求出渐近线,College of Automatic Control Engineering , CUIT,1. 起点：=0+ 时G(j0+) 和终点：=时G(j),设系统传递函数：,幅频：,相频：, 起点：=0+ ：,0型： 型及以上：,结论： 起点位置与系统的型有关。
College of Automatic Control Engineering , CUIT,例1 系统传递函数,垂直渐近线：,水平渐近线：,渐近线问题,,,,College of Automatic Control Engineering , CUIT,结论：终点趋于坐标原点，只是入射角不同，由分子分母的阶次之差（n-m）决定物理意义, 终点： ：,College of Automatic Control Engineering , CUIT,2. 曲线与实轴（或虚轴）的交点：,虚轴交点如何求？,令虚部为零，解得x；再将x代入Re(j) 即与实轴的交点例2 已知系统开环传递函数,绘制系统开环幅相图解： 系统开环频率特性,起始点,终止点,与虚轴交点：令,College of Automatic Control Engineering , CUIT,3. Matlab 绘制频率响应极坐标曲线,Matlab提供了绘制系统频率响应极坐标曲线的函数：Nyquist().,num=1 5; den=conv(1 3 2,1 2 5 0); sys=tf(num,den); nyquist (sys);,College of Automatic Control Engineering , CUIT,二、Bode 图绘制,系统频率响应Bode图的绘制的步骤： 1）基本环节分解； 2）将基本环节转折频率由低到高排列并依次标注到半对数坐标上； 3）绘制各基本环节幅频与相频渐近线图： 4）自低到高频做幅频渐近线叠加及相频角度叠加： 幅频：在转折频率处斜率发生变化，依据典型环节的斜率，两个转折频率之间为斜率代数和的直线； 相频：按相频渐近线转折点做直线斜率叠加得到相频渐近线。
5）根据基本环节渐近线误差进行修正获得精确图形实际上，只需要精确计算特殊关注点： 幅频：过0dB线的点和斜率；幅频极值点和谐振频率 相频：过-180角度线的点及频率College of Automatic Control Engineering , CUIT,例3.系统传递函数为:,第一步：按频率递增顺序，将各因子排列如下,1）常数增益 2）在原点处的极点 3）在 处的极点 4）在 处的零点 5）在 处的复极点对,绘制其频率响应Bode图,解：系统频率特性为:,注意： 各基本因子的标准形式！,College of Automatic Control Engineering , CUIT,第二步：画出各基本因子的幅值特性渐近线1）常数的对数增益为 ，将其标在幅值图中，如所示2）在原点处的极点，其幅值渐近线的斜率为 倍频，在 处与0dB相交，将其标在幅值图中，如所示3）在 处的极点，当频率超过转折频率 时，，其幅值渐近线的斜率为 倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为0dB线，将其标在幅值图中，如所示College of Automatic Control Engineering , CUIT,4) 在 处的零点，当频率超过转折频率 时，其幅值渐近线的斜率为 倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值渐近线为0dB线，将其标在幅值图中，如所示；,5) 在 处的复极点对，当频率超过转折频率 时，其幅值渐近线的斜率为 倍频程，而当频率低于转折频率时，其幅值。