精品资源·实用参考品归纳总结·汇编整理Summary compilation归纳总结·借鉴参考 4.1 数学归纳法证明不等式（2）☆学习目标：1. 理解数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤; 2. 会运用数学归纳法证明不等式 重点：应用数学归纳法证明不等式.☻知识情景： 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10. 验证n取 时命题 ( 即n＝时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当 时命题成立，证明当n=k＋1时命题 (归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题 ！(结论）要诀: 递推基础 , 归纳假设 , 结论写明 .☆ 数学归纳法的应用：例1. 求证：，其中，且． 例2 已知数列的各项为正，且. （1）证明; （2）求数列的通项公式.例3 (06湖南）已知函数, 数列满足: 证明: (ⅰ) ; (ⅱ) .例4 （09山东）等比数列{}的前n项和为, 已知对任意的, 点均在函数 且均为常数)的图像上. （1）求r的值； （11）当b=2时，记 证明：对任意的 ，不等式成立选修4-5练习 §4.1.2数学归纳法证明不等式（2） 姓名 1、正数a、b、c成等差数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn＞2bn.2、正数a、b、c成等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，试证明：an+cn＞2bn.3、若n为大于1的自然数，求证：.4、（05辽宁）已知函数, 设数列满足， 满足 （Ⅰ）用数学归纳法证明； （Ⅱ）证明. 5、（05湖北）已知不等式为大于2的整数，表 示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 证明: 6、(09广东）已知曲线．从点向曲线引斜率 的切线，切点为．（1）求数列的通项公式；（2）证明：.参考答案: 1. 关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可以采用下面方法来证明其正确性： 10. 验证n取第一个值时命题成立( 即n＝时命题成立) (归纳奠基） ； 20. 假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也成立(归纳递推）. 30. 由10、20知，对于一切n≥的自然数n命题都成立！(结论） 要诀: 递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.例1.求证：，其中，且． 分析：此题是2004年广东高考数学试卷第21题的适当变形，有两种证法 证法一：用数学归纳法证明．（1）当m=2时，，不等式成立．（2）假设时，有，则 ， ∵，∴，即． 从而， 即时，亦有． 由（1）和（2）知，对都成立．证法二：作差、放缩，然后利用二项展开式和放缩法证明． ∴当，且时，．例2（2005年江西第21题第（1）小题，本小题满分12分） 已知数列 （1）证明 （2）求数列的通项公式an.分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。
对数列进行了考查，和数学归纳法一起，成为压轴题解：（1）方法一 用数学归纳法证明：1°当n=1时， ∴，命题正确.2°假设n=k时有 则 而 又 ∴时命题也正确.由1°、2°知，对一切n∈N时有方法二：用数学归纳法证明： 1°当n=1时，∴； 2°假设n=k时有成立， 令，在[0，2]上单调递增， 所以由假设有： 也即当n=k+1时 成立，所以对一切．（2）下面来求数列的通项： 所以 则 又bn=－1，所以． 本题也可先求出第（2）问，即数列的通项公式，然后利用函数 的单调性和有界性，来证明第（1）问的不等式．但若这样做，则无 形当中加大了第（1）问的难度， 显然不如用数学归纳法证明来得简捷．例3（06 年湖南卷. 理 .19本小题满分14分） 已知函数,数列{}满足: 证明:(ⅰ);(ⅱ). 证明: （I）．先用数学归纳法证明，ｎ＝1,2,3,… (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为00成立.于是． 故．点评：不等式的问题常与函数、三角、数列、导数、几何等数学分支交汇，综合考查运用不 等式知识解决问题的能力，在交汇中尤其以各分支中蕴藏的不等式结论的证明为重点. 需要灵活运用各分支的数学知识.例4解(1) :因为对任意的,点，均在函数且均为常 数的图像上.所以得,当时,,当时,,又因为{}为等比数列,所以,公比为,（2）当b=2时，, 则, 所以 下面用数学归纳法证明不等式成立.① 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立.② 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立. 【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知求的基本题型, 并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.练习:1、试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列， 当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，考查的知识包括等差数列、等比 数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤. 技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而 ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.2.证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq ＞0且q≠1) ∴an+cn=+bnqn=bn(+qn)＞2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想＞()n(n≥2且n∈N*) 下面用数学归纳法证明： ①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴ ②设n=k时成立，即 则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) ＞(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)= (ak+ck)(a+c)＞()k·()=()k+1根据①、②可知不等式对n＞1,n∈N*都成立．3、若n为大于1的自然数，求证：. 证明：(1)当n=2时，(2)假设当n=k时成立，即 所以：对于n∈N*，且n>1时，有4、（05 年辽宁卷.19本小题满分12分） 已知函数设数列满足， 满足 （Ⅰ）用数学归纳法证明； （Ⅱ）证明分析：本小题主要考查数列、等比数列、不等式等基本知识，考查运用数学归纳法解决有关问题的能力 （Ⅰ）证明：当 因为a1=1， 所以下面用数学归纳法证明不等式 （1）当n=1时，b1=，不等式成立， （2）假设当n=k时，不等式成立，即那么 所以，当n=k+1时，不等也成立。
根据（1）和（2），可知不等式对任意n∈N*都成立 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知， 所以 故对任意）5、（05年湖北卷.理22.本小题满分14分） 已知不等式为大于2的整数，表示不超过的最大整数. 设数列的各项为正，且满足 （Ⅰ）证明（Ⅱ）猜测数列是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；分析：本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想.（Ⅰ）证法1：当即 于是有 所有不等式两边相加可得 由已知不等式知，当n≥3时有，∵证法2：设，首先利用数学归纳法证不等式 （i）当n=3时， 由 知不等式成立.（ii）假设当n=k（k≥3）时，不等式成立，即则即当n=k+1时，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （Ⅱ）有极限，且 （Ⅲ）∵则有故取N=1024，可使当n>N时，都有6、解：（1）设直线：，联立得 ， 则，∴（舍去） ，即，∴（2）证明：∵ ∴由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立， 又，则有，即.7、已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145.(1)求数列{bn}的通项公式bn;(2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a＞0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和， 试比较Sn与logabn+1的大小，并证明你的结论.(1)解：设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n－2(2)证明：由bn=3n－2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+) =loga［(1+1)(1+)…(1+ )］ 而logabn+1=loga,于是，比较Sn与logabn+1的大小 比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小. 取n=1，有(1+1)= 取n=2，有(1+1)(1+ 推测：(1+1)(1+)…(1+)＞ (*) ① 当。