阶电路的零输入响应

4.3 一阶电路的零输入响应 如果动态电路在换路前已经具有初始储能，那么换路后即使没有独立源激励，电路在初始储能作用下也会产生响应 这种独立源9激励为零，但具有初始储能的电路称为零输入电 路 电路中仅由初始储能产生的响应， 称为零输入响应 4.3.1 一阶RC电路的零输入响应￿￿图4.3-1(a)所示一阶RC电路，t＜0时已经稳定，电容电压uC(0-)=Ust=0时，开关S由位置1切换至位置2，根据换路定律，电容元件的初始电压U0=uC(0+)=uC(0-)=Us,其初始储能为 换路后，电容储能通过电阻R放电，在电路中产生零输入响应随着放电过程的进行，电容初始储能逐渐被电阻消耗， 电路零输入响应则从初始值开始逐渐衰减为零 图 4.3 – 1 一阶RC电路的零输入响应 (4.3- 1)(4.3-2)按图4.3-1(a)中设定的电流、电压参考方向，写换路后电路的KVL方程为 Ri+uC=0 将电容元件伏安关系 代入上式经整理，得￿ 该式是一阶齐次微分方程， 解的一般形式为 uC=Aept 令式(4.3-2)中t=0+，并考虑初始条件uC(0+)=U0, 可得 A=uC(0+)=U0 由特征方程 RCp+1=0 求出特征根为 于是，求得式(4.3-1)微分方程的解为￿ t≥0 (4.3-3) 式中τ=RC，具有时间单位 故称为时间常数。

电路中的放电电流和电阻R上的电压分别为￿ t≥0 t≥0 (4.3-4） (4.3-5) 画出电路零输入响应uC、i和uR的波形如图4.3-1(b)所示￿由上可知，在t＜0时，电路已经处于稳定状态(简称稳态) 换路后，随时间t的增加，RC电路中的电流、电压由初始值开始按指数规律逐渐衰减至零，我们把这一过程称为过渡过程 或暂态过程当t→∞时，暂态过程结束，电路进入新的稳态 时间常数τ的大小反映了电路暂态过程的进展速度τ愈大，电路零输入响应衰减愈慢，暂态过程进展愈慢实际上，该电路的暂态过程就是RC电路的放电过程，在电容初始电压一定时，电容量C愈大，电容中存储电荷愈多，放电时间就愈长；电阻R愈大，则放电电流愈小，也会延长放电时间 因此，RC电路中的时间常数τ与RC成正比关系￿对式(4.3-3)，分别令t=τ、3τ和5τ， 并考虑到 U0=uC(0+)，可求得 4.3.2 一阶RC电路的零输入响应￿￿一阶RL电路如图4.3-2(a)所示t＜0时，开关S处于位置 1，电路已达稳态，电感中流过电流 在t=0时，开关由位置1切换至位置2， 通过电感元件的初始电流 电感初始储能为 换路后，在电感初始储能的作用下，电路产生零输入响应。

图 4.3-2 一阶RL电路的零输入响应 根据KVL，列出换路后的电路方程为 即 这是一个一阶齐次微分方程，应用与解式(4.3-1)相同的方法 ， 得到电感电流iL为 t≥0 (4.3-7) 式中， ,为RL串联电路时间常数，单位为秒 综上所述，一阶电路的零输入响应是由电路的初始储能引 起的，并且随着时间t的增长，均从初始值开始按指数规律衰减至零如果用yx(t)表示输入响应，并记初始值为yx(0+)，那么一阶电路的零输入响应可统一表示为￿ (4.3-8) t≥0 式中,τ为一阶电路的时间常数具体地说，对于一阶RC电路， τ=R0C；对于一阶RL电路，τ=L/R0其中R0是零输入电路中， 从储能元件C或L看过去的戴维宁等效电阻 例 4.3-1 如图4.3-3(a)所示电路，已知Us=30V，Rs=R1=3 Ω,R2=2Ω,R3=4Ω,C=4.5F，t＜0时电路已处于稳态， t=0时开关S开启 ￿(1) 试求电路零输入响应uCx、i1x和i3x；￿(2) 试验证整个放电过程中各电阻消耗的总能量等于电容的初始储能￿ 图 4.3-3 例 4.3-1 图 解 (1) t＜0时电路已处于直流稳态， 电容C可视为开路， 故有 由换路定律，得 画出0+时刻等效电路如图(b)所示，由欧姆定律可得 由于换路后放电电路的等效电阻为￿ 故电路时间常数为 根据式(4.3-8)， 其零输入响应为 t≥0 t≥0 t≥0 (2) 电容元件初始储能wC（0＋）、电阻元件R1和R2上耗能ω1,2、R3上耗能ω3分别为￿ 可见，在电路放电过程中，各电阻元件总的耗能在数量上等于电容元件的初始储能。