控制系统的误差分析与计算

第七章 控制系统的误差分析与计算第七章 控制系统的误差分析与计算系统的误差又可分为系统的误差又可分为稳态误差稳态误差和动态误差两部分瞬态响应的性能指标可以评价系统的快速性和稳 定性，和动态误差两部分瞬态响应的性能指标可以评价系统的快速性和稳 定性，系统的准确性系统的准确性指标要用误差来衡量评价一个系统的性能包括指标要用误差来衡量评价一个系统的性能包括瞬态性能瞬态性能和和稳态性能稳态性能两 大部分两 大部分第一节 控制系统的稳态误差概念第一节 控制系统的稳态误差概念一、偏差、误差、稳态误差的定义一、偏差、误差、稳态误差的定义偏差信号偏差信号E(s)是指参考输入信号是指参考输入信号X(s)和反馈信号和反馈信号 B(s)之差，即之差，即 ( )( )( )( )( ) ( )1( )1( )( )E sX sB sX sH s Y sX sG s H s（（7-1））G(s)H(s)B(s)E(s)+-图图 7-1 误差和偏差的概念误差和偏差的概念1/H(s) Y(s)X(s)Yd(s) (s)-误差信号误差信号 (s)是指被控量的期望值是指被控量的期望值Yd(s)和被控量的 实际值和被控量的 实际值Y(s)之差，即之差，即)()()(sYsYsd   由控制系统的工作原理知，当偏差由控制系统的工作原理知，当偏差E(s)等于零时， 系统将不进行调节。

此时被控量的实际值与期望值 相等于是由公式（等于零时， 系统将不进行调节此时被控量的实际值与期望值 相等于是由公式（7-1）得被控量的期望值）得被控量的期望值Yd(s)为为)()(1)(sXsHsYd （（7-2）（）（7-3）将式（）将式（7-3）带入式（）带入式（7-2）求得误差）求得误差 (s)为为:)()()()()()()(1)(sHsYsHsXsYsXsHs （（7-4））由式（由式（7-1）和式（）和式（7-4）得误差与偏差的关系为）得误差与偏差的关系为:)()(1)(sEsHs   图图7-1系统中，虚线部分就是误差所处的位置，由 图系统中，虚线部分就是误差所处的位置，由 图7-1可知误差信号是不可测量的，只有数学意义可知误差信号是不可测量的，只有数学意义 对于单位反馈系统，误差和偏差是相等的对于 非单位反馈系统，误差不等于偏差但由于偏差 和误差之间具有确定性的关系，故往往也把偏差 作为误差的度量对于单位反馈系统，误差和偏差是相等的对于 非单位反馈系统，误差不等于偏差但由于偏差 和误差之间具有确定性的关系，故往往也把偏差 作为误差的度量。

7-5））00( )lim ( )lim( )lim( )sstssE stsssH s （（7-6））稳态误差稳态误差对式（对式（7-5）进行拉氏反变换，可求得系统的误差）进行拉氏反变换，可求得系统的误差  (t) 对于稳定的系统，在瞬态过程结束后，瞬 态分量基本消失，而对于稳定的系统，在瞬态过程结束后，瞬 态分量基本消失，而 (t)的稳态分量就是系统的 稳态误差应用拉氏变换的终值定理，很容易求 出稳态误差：的稳态分量就是系统的 稳态误差应用拉氏变换的终值定理，很容易求 出稳态误差：( )( ) ( )1( )Y sG s X sG s（（7-7））一、误差传递函数与稳态误差一、误差传递函数与稳态误差首先讨论单位反馈控制系统，如图首先讨论单位反馈控制系统，如图7-2所示其闭 环传递函数为所示其闭 环传递函数为第二节 输入引起的稳态误差第二节 输入引起的稳态误差误差误差 (s)为为1( )( )( )1( )sE sX sG s)(sB)(sG)(sX)(sY ( )E s图图7-2 单位反馈系统上式中单位反馈系统上式中 1/1+G(s)称为误差传递函数 。

称为误差传递函数 根据终值定理，系统的稳态误差为根据终值定理，系统的稳态误差为00lim ( )lim( )1lim( )1( )sssstssee tsE ssX sG s （（7-8）如果为非单位反馈系统，如图）如果为非单位反馈系统，如图7-3所示其偏差的 传递函数为所示其偏差的 传递函数为( )1 ( )1( )( )E s X sG s H s)(sB)(sG)(sH)(sX)(sY ( )E s图图7-3 非反馈控制系统（ 非反馈控制系统（7-9））稳态偏差为稳态偏差为001lim( )lim( )1( )( )ssssesE ssX sG s H s（（7-10）系统的稳态误差为）系统的稳态误差为0011lim( )lim( )( )1( )( )sssssssX sH sG s H s （（7-11）即）即( )(0)ss sses H（（7-12）从式（）从式（7-8）和式（）和式（7-11）可以看出，系统的稳 态误差取决于系统的结构参数和输入信号的性 质可以看出，系统的稳 态误差取决于系统的结构参数和输入信号的性 质。

1212(1)(1)......(1)( )(1)(1)......(1)m N nKsssG ssT sT sT s   （（7-13）图）图7-2所示的单位反馈系统，其开环传递函数所示的单位反馈系统，其开环传递函数G(s)， 可写成下面形式：系统按， 可写成下面形式：系统按开环传递函数开环传递函数所包含的积分环节的数目不 同，即所包含的积分环节的数目不 同，即N=0、、N=1、、N=2......分别称为分别称为0型、Ⅰ型、 Ⅱ型系统，Ⅱ型以上的系统则很少，因为此时系 统稳定性将变差型、Ⅰ型、 Ⅱ型系统，Ⅱ型以上的系统则很少，因为此时系 统稳定性将变差二、二、静态误差系数静态误差系数1．静态位置误差系数．静态位置误差系数Kp 系统对阶跃输入系统对阶跃输入X(s)=R/s的稳态误差称为位置误 差，即的稳态误差称为位置误 差，即0 01lim.1( )1lim( )sss sRRsG ssG s    （（7-14）静态位置误差系数）静态位置误差系数Kp定义为定义为0lim( )(0)psKG sG   （（7-16）所以）所以1ss pR K（（7-15）由于系统的结构不同，系统的开环传递函数）由于系统的结构不同，系统的开环传递函数G(s) 是不同的，因而是不同的，因而Kp也就不同。

也就不同1) 0 型系统（型系统（N=0））静态位置误差系数为：静态位置误差系数为：012012lim( )(1)(1)......(1)lim(1)(1)......(1)psmsnKG sKsssKT sT sT s1ssR K   稳态误差：稳态误差：(2)Ⅰ型系统（Ⅰ型系统（N=1））静态位置误差系数为：静态位置误差系数为：)1)......(1)(1()1)......(1)(1(lim)()(lim212100sTsTsTssssKsHsGKnmssp稳态误差 ：稳态误差 ：0ss  (3)Ⅱ型系统（Ⅱ型系统（N=2））静态位置误差系数为静态位置误差系数为Kp=∞，稳态误差，稳态误差 ss=0图7-4 所示为单位反馈控制系统的单位阶跃响应 曲线，其中图所示为单位反馈控制系统的单位阶跃响应 曲线，其中图7-4a为为0型系统；图型系统；图7-4b为Ⅰ型或 高于Ⅰ型系统图为Ⅰ型或 高于Ⅰ型系统图7-4 单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线20 01lim.1( )lim( )sss sRRsG sssG s    （（ 7-17 ）静态速度误差系数）静态速度误差系数Kv定义为：定义为：0lim( )vsKsG s  （（ 7-18））2. 静态速度误差系数静态速度误差系数Kv 系统对斜坡输入系统对斜坡输入X(s)= R/s2的稳态误差称为速度误 差，即所以的稳态误差称为速度误 差，即所以ss vR K（（ 7-19））(1) 0 型系统（型系统（N=0））静态速度误差系数为：静态速度误差系数为：012012lim( )(1)(1)......(1)lim0(1)(1)......(1)vsmsnKsG sKssssT sT sT sss    稳态误差：稳态误差：(2)Ⅰ型系统（Ⅰ型系统（N=1））静态速度误差系数为：静态速度误差系数为：012012lim( )(1)(1)......(1)lim(1)(1)......(1)vsmsnKsG sKssssKs T sT sT s ssR K  稳态误差：稳态误差：(3)Ⅱ型系统（Ⅱ型系统（N=2））静态速度误差系数为：静态速度误差系数为：012 2012lim( )(1)(1)......(1)lim(1)(1)......(1)vsmsnKsG sKsssss T sT sT s  0ss  稳态误差：稳态误差：图图7-5为单位反馈系统对单位斜坡输入的响应曲线。

其中，为单位反馈系统对单位斜坡输入的响应曲线 其中，a、、b、、c分别为分别为0型、Ⅰ型、Ⅱ型（或高于Ⅱ 型）系统的单位斜坡响应曲线及稳态误差型、Ⅰ型、Ⅱ型（或高于Ⅱ 型）系统的单位斜坡响应曲线及稳态误差图图7-5 单位斜坡响应曲线单位斜坡响应曲线上述分析表明，上述分析表明， 0型系统不能跟踪斜坡输入； Ⅰ型系统能跟踪斜坡输入，但有一定的稳态误差 （见图型系统不能跟踪斜坡输入； Ⅰ型系统能跟踪斜坡输入，但有一定的稳态误差 （见图7-5b），开环放大系数），开环放大系数K越大，稳态误差越 小； Ⅱ型或高于Ⅱ型的系统能够准确地跟踪斜坡输入， 稳态误差为零（见图越大，稳态误差越 小； Ⅱ型或高于Ⅱ型的系统能够准确地跟踪斜坡输入， 稳态误差为零（见图7-5c）320 01lim.1( )lim( )sss sRRsG sss G s    （（ 7-20 ）静态加速度误差系数）静态加速度误差系数Ka定义为：定义为：20lim( )asKs G s  （（ 7-21 ））3、静态加速度误差系数、静态加速度误差系数Ka 系统对加速度输入系统对加速度输入 X(s)= R/s3的稳态误差称为加 速度误差，即：所以的稳态误差称为加 速度误差，即：所以ss aR K（（ 7-22 ））(1) 0 型系统（型系统（N=0））静态加速度误差系数为：静态加速度误差系数为：20212012lim( )(1)(1)......(1)lim0(1)(1)......(1)asmsnKs G sKssssT sT sT sss    稳态误差 ：稳态误差 ：(2) Ⅰ型系统（Ⅰ型系统（N=1））静态加速度偏差系数为：静态加速度偏差系数为：0)1)......(1)(1()1)......(1)(1(lim)()(lim21212020sTsTsTssssKssHsGsKnmssa稳态误差：稳态误差：ss    (3)Ⅱ型系统（Ⅱ型系统（N=2））静态加速度误差系数为：静态加速度误差系数为：20212 2012lim( )(1)(1)......(1)lim(1)(1)......(1)asmsnKs G sKssssKs T sT sT s。