椭球面元素归算至投影面——高斯投影测绘工程系 7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/472一、长度比5.1 高斯投影概述或者长度比不仅随点的位置，而且随线段的方向而发生变化7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/473n 高斯投影是等角横轴切椭圆柱投影 n 高斯投影是一种等角投影它是由德国数学家高斯 (Gauss，1777 ～ 1855)提出，后经德国大地测量学家克 吕格(Kruger，1857～1923)加以补充完善，故又称“高 斯—克吕格投影”，简称“高斯投影”二、高斯投影的基本概念7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/474NSc中央中央子子午线午线赤道高斯投影平面赤道中央子午线高斯投影采用分带投影将椭球面按一定经差分带 ，分别进行投影1、高斯投影的原理7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/475(1)中央子午线投影后为直线，且长度不 变2)除中央子午线外，其余子午线的投影 均为凹向中央子午线的曲线，并以中 央子午线为对称轴投影后有长度变 形3)赤道线投影后为直线，有长度变形(4)除赤道外的其余纬线，投影后为凸向 赤道的曲线，并以赤道为对称轴。
5)经线与纬线投影后仍然保持正交 (6)所有长度变形的线段，其长度变形比 均大于l7)离中央子午线愈远，长度变形愈大赤道中央子午线平行圈子午线Oxy2、高斯投影的特点7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/476我国规定按经差6º和3º 进行投影分带6º带自首子午线开始， 按6º的经差自西向东分成 60个带3º带自1.5 º开始，按3º 的经差自西向东分成120个 带高斯投影带划分3、投影带的划分7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4776º带与3º带中央子午线之间的关系如图:3º带的中央子午线与6º带中央子午线及分带子午 线重合，减少了换带计算工程测量采用3 º带特殊工程可采用1.5 º带或任意带7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/478按照6º带划分的规定，第1带中央子午线的经度 为3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是： L6ºN－3º （N为6º带的带号）例：20带中央子午线的经度为：L＝6º× 20－3º＝117 º按照3º带划分的规定，第1带中央子午线的经度为 3º，其余各带中央子午线经度与带号的关系是：L。
3ºn （n为3º带的带号）例：120带中央子午线的经度为L＝3º× 120＝360 º7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/479若已知某点的经度为L，则该点的6º带的带号N 由下式计算： 若已知某点的经度为L，则该点所在3º带的带 号按下式计算：（四舍五入）7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4710x轴 — 中央子午线的投影y轴 — 赤道的投影原点O — 两轴的交点OxyP（X，Y）高斯自 然坐标注：X轴向北为正，y轴向东为正赤道中央子午线4、高斯平面直角坐标系的建立7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4711由于我国的位于北半 球，东西横跨12个6º带 ，各带又独自构成直角 坐标系故：X值均为正，而Y值则有正有负u为了免出现负的横坐标，在横坐标上加上500 000m此外还在坐标前面再 冠以带号这种坐标称为国家统一坐标例如：有一点Y = 19 123 456. 789m，该点位在19°带内，其相对于中央子 午线的坐标y=376 543. 211mu为了把各带联成整体，一般规定各投影带要有一定的重叠度，其中每一6° 带向东加宽30'，向西加宽15’或7.5‘.这样在带边缘，控制点将有两套相邻带的坐标值，地形图将有两套公里格 网。
保证了控制点间的互相应用，地图的顺利拼接和使用7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4712例：有一国家控制点的坐标:x=3102467.280m ,y=19367622．380m，（1）该点位于6˚ 带的第几带？（2）该带中央子午线经度是多少？（3）该点在中央子午线的哪一侧？该点距中央子午线 和赤道的距离为多少？（1）第19带 （2）L6º×19-3º=111˚（3）y＝367622.380-500000＝-132377.620m，在西侧）（距中央子午线132377.620m，距赤道3102467.280m）7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4713三、椭球面三角系化算到高斯平面椭球面内（中央子午线ON，赤道OE）三角网PKTMQ： Ø起始点P大地坐标（B,l），l=L-L0，L、L0分别为P和轴子午线的大地经度； Ø起始边PK=S； 起始边的大地方位角APK ； ØPC为垂直于中央子午线的大地线，C点大地坐标（B0,l =0）； ØPP1为过P点平行圈，P1点的大地坐标（B,l =0）； ØX为赤道至纬度B的平行圈子午弧长。
7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4714三、椭球面三角系化算到高斯平面高斯投影面上： Ø 中央子午线和赤道分别为直线ON '及OE ' ，其他子午线和平行圈均变为曲线 Ø P'N'是PN的投影，P' P 1'是PP1的投影； Ø P'的直角坐标为（x,y）； Ø 因是等角投影，大地方位角APK投影后没有变化 Ø 三角形投影后变为边长si的曲线三角形(长度大于椭球面上的边 长)，且曲线都凹向纵坐标轴;7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47151、椭球面三角系化算到高斯投 影面问题分析（1）投影后需用连接各点间的弦线来代替曲线为此，必 须在每个方向上引进曲改直的水平方向改正； （2）根据始点P的大地坐标B,L计算其平面坐标的坐标正 算公式； （3）反算公式；7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47161、椭球面三角系化算到高斯投 影面问题分析（4）确定平面三角形各边坐标方位角a5）确定平面三角形各边长7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4717(1)高斯投影坐标计算将起始点的大地坐标B，L归算为高斯平面直角坐标x，y；根 据（x,y）反算（B,L）。
2) 通过计算该点的子午线收敛角及方向改正，将椭球面上起算 边大地方位角归算到高斯平面上相应边的坐标方位角 (3)通过计算各方向的曲率改正和方向改正，将椭球面上各三角 形内角归算到高斯平面上的由相应直线组成的三角形内角 (4)通过计算距离改正，将椭球面上起算边的长度归算到高斯平 面上的直线长度 (5)控制网跨越两投影带时，需要进行平面坐标的邻带换算2、将椭球面三角系化算到高斯 投影面的主要内容n将椭球面三角系归算到平面上，包括坐标、曲率改正、距离 改正和子午线收敛角等项计算工作7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4718第一类称高斯投影正算公式，亦即由（B, L）求（x、y） ; 第二类称高斯投影反算公式，亦即由（x、y）求（B, L） 5.2 高斯投影坐标正反算一、高斯投影坐标正算公式高斯投影必须满足以下三个条件：①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4719(1)在经经差小于3.5°时时，精度为为±0.1m7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4720(2)扩扩展到精度0.001m的公式：自赤道量起的到所求点的子午线弧长所求点的大地经度与 该点所在带的中央子 午线的大地经度之差7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4721二、高斯投影坐标反算公式投影方程①x坐标轴投影后为中央子午线,是投影的对称轴；② x坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质。
即高斯面上的角度投影到椭球面 上后角度没有变形，仍然相等投影函数φ1、φ2应满足以下三个条件：首先根据x计算纵坐标在椭球面上的垂足纬度Bf，接着按 Bf计算(Bf-B)及经差l,最后得到反算公式的推导方法的基本思想：1.高斯投影坐标反算基本思想7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47222. 精度为0.0001″的高斯投影坐标反算公式垂足纬度 其值由子午线 弧长计算公式反 算求得7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47231. 正算实用公 式5.3 高斯投影坐标计算的实用公式7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47247 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47252. 反算实用公式7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47267 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47275.4 方向改化公式u方向改正数就是指大地线的投影曲线和连接大地线两点的弦之夹角7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4728Ø设地球椭球为一圆球； ØOD为轴子午线；Ø AB为一条大地线(是球面上一 条大圆弧)，投影为曲线ab ；ØAD、B E是与轴子午线正交点 大圆弧，投影分别为垂直于x轴 的直线ad和be。
一、方向改化近似公式的推导7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4729方向改化概略 数值误差小于0.1″，可适用于三 、四等三角测量的计算由表可见，对于各等三角测量计算，方向改正都不能忽略7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47301)用勒让德尔定理解算球面三角形 1、准备知识二、方向改化较精密公式的推导 勒让德尔定理：如果平面三角形和球面三角形对应边相等 ，则平面角等于对应球面角减去三分之一球面角超 7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4731P为平面三角形的面积可直接用球面角代替平面角计算球面角超，虽然带有误差 ，但研究表明：当边长不大于90km时，这种误差小于 0.0005″，可忽略2)球面角超的计 算7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4732Ø 设地球椭球为一圆球； Ø AB为轴子午线;Ø 小圆弧P1Q与轴子午线平行，垂直于BQ、AP1，投影为P'Q'；Ø 大圆弧P1CQ的投影为曲线P1‘C’Q‘2、方向改化较精密公式的推导7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4733勒让德尔定理7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4734代入我国二等三角网平均边长为 13KM，当ym＜250km时，上 式精确至0.01″，故通常用 于二等三角测量计算。
整理，以Rm代替R7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/4735该式精确至0.001″，适用于一等三角测量计算7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47365.5 距离改化公式由S化至D所加的△S改正称为距离改正 .1)研究平面曲线长度s与其弦线长度D的关系;2)研究用大地坐标B、L和平面坐标x、y计算长度比m的公式;3) 导出距离改化的计算公式m＞1S：大地线长； s：大地线S在高斯平面的投影； D：直线长；思路 ：7 7 8 8 9 910106 65 54 43 32 21 1/47371、平面曲线长度s与其弦线长度D的关系v是一个小角，最大不会超过方向改化值δ，因 此可把cosv展开为级数： 。